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2) Uma equação polinomial do 2° grau ímpar e coeficientes reais tem um número ímpar de raízes reais. Veja um exemplo: x² -4x + 5 = 0. Δ = 16 - 20 = -4. -4 é ...
Tipologia: Exercícios
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Matemática 3˚ ano - 4˚ Bimestre/ 2012
Avaliação da Implementação do Plano de
Trabalho I
Polinômios e Equações
Polinomiais
1 – Pontos Positivos
O plano de trabalho foi bem estruturado e bem organizado. Eu destaquei os pontos principais do conteúdo polinômios e equações polinomiais e enfatizei esses pontos para os alunos. Dúvidas foram esclarecidas durante as explicações para o entendimento do conteúdo. A ficha resumo das matérias auxiliaram bastante os alunos, pois eles conseguiram generalizar o conteúdo da matéria e identificar os pontos mais importantes para o entendimento da mesma. As aulas práticas no laboratório de informática por meio do software geogebra foram atrativas e auxiliaram e muito os alunos na aprendizagem dos conteúdos.
2 – Pontos Negativos
O que poderia ser feito para melhorar ainda mais o plano de trabalho, é mudar as fontes de pesquisa, colocando estas fontes de acordo com as normas da ABNT.
3 – Alterações
A alteração que pode ser feita para melhorar ainda mais o plano de trabalho colocar as fontes de pesquisa de acordo com as normas da ABNT.
4 – Impressões dos alunos
Os alunos tiveram uma boa impressão do plano, pois as aulas foram atrativas pelo fato da ficha resumo identificar os pontos principais e mais importantes do conteúdo. Isso facilitou o entendimento da matéria, de modo que o aluno pode compreender o conteúdo de forma clara e objetiva. Por exemplo, com relação ao Teorema do Resto, Teorema D’Alembert e o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, eles entenderam que o Teorema D’Alembert é uma consequência do Teorema do Resto e isso facilitou a prática de exercícios. Com relação ao Dispositivo Prático de Briot-Ruffini eles viram que é muito mais fácil e rápido dividir dois polinômios quaisquer com o auxílio deste dispositivo.
1 - Introdução
O objetivo deste plano de trabalho e permitir que os alunos percebam, através de assuntos do cotidiano, a utilização da Matemática para resolução de problemas. Transmitir o conhecimento sobre o conteúdo denominado “Polinômios e Equações Algébricas” fazendo, sempre que possível, com que os próprios alunos construam o conhecimento e enriqueçam sua “bagagem” através de atividades diferenciadas e exercícios práticos.
É comum a dificuldade por parte de muitos alunos concernentes a interpretação de enunciados e utilização de raciocínio lógico. Por isso, é extremamente importante mostrar em quais áreas da vida e/ou profissões o tema estudado é utilizado e mostrar que eles têm capacidade de aprender e não simplesmente “gravar” como se faz isso ou aquilo. Basta um pouquinho de boa vontade!
O assunto exige conhecimentos sobre valor numérico, no sentido do aluno desenvolver a expressão algébrica até achar o valor numérico atribuído. Identificar polinômio identicamente nulo, polinômios idênticos inclusive distinguir estes polinômios. Operar as quatro operações fundamentais com os polinômios e no caso da divisão Método dos Coeficientes a Determinar, Divisão de Polinômios por Binômios do 1° grau, Teorema do Resto, Teorema D’Alembert. Nas equações algébricas Teorema Fundamental da Álgebra, Raízes Múltiplas , Raízes Complexas, Relações de Girard e Raízes Racionais. Por isso, faz-se necessário revisar alguns temas ao longo do caminho, como por exemplo, valor numérico, raízes de uma equação algébrica do 1° ou 2° grau, identificar por meio da equação parâmetros que auxilia na determinação das raízes da equação etc
Entregar para os alunos uma folha contendo um resumo da matéria apresentada. Nesta folha, será destacada :
1 – Grau de um polinômio, polinômio identicamente nulo e polinômios idênticos. 2 – Valor numérico de um polinômio.
Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:
a 0 xn^ + a 1 xn^ –^1 + a 2 xn -2^ + ... + an – 1 x + an
A função polinomial será definida por:
P(x) = a 0 xn^ + a 1 xn^ –^1 + a 2 xn -2^ + ... + an – 1 x + an
Com: a 0 , a 1 , a 2 , … , an – 1 e an são números complexos e n N.
a) Valor numérico de um polinômio
Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x^4 – 3x^3 + x^2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x. Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.
P(2) = 5. 2^4 – 3. 2^3 + 2^2 – 2 + 2
P(2) = 5. 16 – 3. 8 + 4 – 2 + 2
P(2) = 80 – 24 + 4
Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x^4 – 3x^3 + x^2 – x
b) Raiz ou zero do polinômio
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x^3 + 5x^2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando x = b.
Exemplo:
P(x) = x^2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:
x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = + 1 ou - 1
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x^2 - 1.
c) Grau de um polinômio
Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:
P(x) = x^3 - x^2 + 2x -3 é do 3º grau.
Questão 1
(MACK – SP) Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 2l) é nulo.
Questão 2
Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.
Questão 3
Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.
Questão 4
(MACK – SP) Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m − 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x +4 seja de grau 2.
Questão 5
Quais são os valores de a e b considerando p(x) = – 4x³ + ax² + bx – 18, onde 2 é raiz de p(x) e p(–1) = – 18.
Questão 6
(FAAP–SP)
Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio p(x) = a(x + c)³ + b(x
Questão 7
Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4?
Questão 8
(FEI – SP)
Sendo p(x) = ax^2 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.
ATIVIDADE 2 : Operações com Polinômios
Habilidade Relacionada: efetuar as quatro operações com os polinômios e destacar na divisão o Método dos coeficientes a determinar, o Teorema do Resto, oTeorema D’Alembert e o Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Pré-requisitos: efetuar as operações de adição,subtração, multiplicação com os polinômios e aplicar o Teorema do Resto, Teorema D’Alembert e o Dispositivo prático de Briot-Ruffini na divisão.
Tempo de duração: 300 minutos
Recursos Educacionais Utilizados: Livro didático, quadro e caneta, RESUMO/EXPLICAÇÕES.
Organização da Turma: Individual para a apresentação do conteúdo e dupla para realização dos exercícios de fixação.
adição e a subtração entre eles.
Adição
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
Subtração
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
1 – Multiplicação de Polinômios
a) Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
(3x^2 ) * (5x^3 + 8x^2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x^5 + 24x^4 – 3x^3
b) Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:
(x – 1) * (x^2 + 2x - 6)
x^2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. Observe o seguinte esquema:
Exemplo 3:
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0 6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5
Exemplo 4:
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7) 12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) 12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 12x³ – 19x² + 15x – 3
É um método também conhecido como Método dos Descartes a Determinar, que tem como funções :
Vejamos um exemplo:
Determinar pelo método de Descartes o quociente e o resto da divisão de:
por.
pois grau Q( x ) = grau D( x ) - grau d( x )
grau Q( x ) = 4 - 3 = 1 e grau R( x ) < grau d( x ), grau R( x ) < 3, grau R( x ) = 2.
Assim temos:
Logo:
= 1
Corolário
Se é uma raiz do polinômio P(x) , isto é , se P(a) = 0 , P(x) é divisível por ( x -a ) e pode ser posto sob a forma de produto: P(x) = ( x -a ). Q(x)
Exemplo:
O polinômio anula-se para x = 1 , ou seja , P(1) = 0 , logo , o polinômio P(x) é divisível por x - 1.
Assim:
O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x – a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.
Exemplo 1 Calcule o resto da divisão (x^2 + 3x – 10) : (x – 3).
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:
P(3) = R 32 + 3 * 3 – 10 = R 9 + 9 – 10 = R 18 – 10 = R R = 8 Portanto, o resto dessa divisão será 8.
Exemplo 2 Verifique se x^5 – 2x^4 + x^3 + x – 2 é divisível por x – 1.
Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) =
P(1) = (1)^5 – 2*(1)^4 + (1)^3 + (1) – 2 P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2 P(1) = 3 – 4 P(1) = – 1
Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.
Exemplo 3 Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio P(x) = x^4 – mx^3 + 5x^2 + x – 3 por x – 2 seja 6.
Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 2^4 – m2^3 + 52^2 + 2 – 3 24 – m2^3 + 52^2 + 2 – 3 = 6 16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
