Introdução: Origem da Trigonometria. Seno ,Cosseno e Tangente. Page 3. 3. Relações entre seno, cosseno e tangente. Razões trigonométricas (30º, 45º e 60º).

Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas

2022

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Plano de aula sobre

Razões

trigonométricas no

triângulo retângulo

JOSÉ RANGEL ALCANTARA ALVES

SÉRIE: 1º ANO

GRUPO: 5

TUTORA: LEZIETI CUBEIRO DA COSTA

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Plano de aula sobre

Razões

trigonométricas no

triângulo retângulo

JOSÉ RANGEL ALCANTARA ALVES

SÉRIE: 1º ANO

GRUPO: 5

TUTORA: LEZIETI CUBEIRO DA COSTA

INTRODUÇÃO:

È possível fazer uma série de estimativas de distâncias e alturas associando os conhecimentos sobre triângulo retângulo à ideia de semelhança entre triângulos. Por exemplo, com auxilio de um simples graveto, podemos estimar a altura de uma montanha, desde que tenhamos ideia da distância que nos separa de sua base.Dá-se o nome de trigonomêtria ao ramo da geometria que estuda os métodos para calcular a calcular a medida dos lados e dos ângulos de um triângulo qualquer. Aplicavél em várias áreas, como Engenharia, Astronomia, Geografia, Música e Topografia, a trigonometria é fundamental na prática de profissionais dessas áreas. O objetivo desde plano de aula é apresentar uma abordagem complementar para o ensino da trigonometria no triângulo retângulo, em que se pretende introduzir os conceitos das razões trigonométricas, seno, cosseno e tangente de maneira significativa. Assim sendo , será apresentado fatores importante para a construção do ensino aprendizado, contando com a colaboração dos alunos do 1º ano do ensino médio onde será apresentado o conteúdo a partir de situações problemas, cosntextualização e manipulação de modelos de instrumentos adequados para os cálculos apresentados. A falta do reconhecimento da matéria como uma atividade presente em nosso cotidiano desestimula o aprendizado

DESENVOLVIMENTO:

O plano de aula está dividio em três partes, sendo cada aula contendo dois tempos de 50 minutos. Na primeira aula, será apresentado as definições e alguns exemplos. Na segunda aula, será apresentado a exemplos do cotidiano para que possam compreender melhor a matéria. Na terceira será feito um trabalho de campo, utilizando o teodolito caseiro como objeto de estudo.

Conteúdos a serem aplicados:

Introdução: Origem da Trigonometria Seno ,Cosseno e Tangente

CONTEÚDOS APLICADOS:

1º aula Duração: 2 aulas de 50minutos cada. Tema: Relações Métricas

Procedimento: Iniciar a aula com algumas perguntas, para despertar o interesse dos alunos no novo conteúdo, depois proceguir com as definições.

Inicio:

1.1 Introdução

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são:  Determinação da altura de um certo prédio.

 Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.  Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.  Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.

 Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

1.2 Relembrando definições de triângulos:

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo. O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. O triângulo possui propriedades e definições de acordo com o tamanho de seus lados e medida dos ângulos internos. Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado da seguinte forma:

Equilátero: possui os lados com medidas iguais. Isósceles: possui dois lados com medidas iguais. Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados:

Acutângulo: possui os ângulos internos com medidas menores que 90º Obtusângulo: possui um dos ângulos com medida maior que 90º. Retângulo: possui um ângulo com medida de 90º, chamado ângulo reto.

No triângulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras , que diz o seguinte: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.

1.3 Relações trigonométricas:

1.4 SENO, COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS DE 30º, 45 E 60º

Apesar de serem muito usados nos cálculos de Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo , os valores de seno cosseno e tangente dificilmente podem ser decorados, até mesmo porque são mais de 80. Existem entretanto, alguns ângulos que são tidos como Notáveis.

quadrado de lado l e diagonal Triângulo eqüilátero de lado I e altura A) Seno, cosseno e tangente de 30º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

B) Seno, cosseno e tangente de 45º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:

C) Seno, cosseno e tangente de 60º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Esses ângulos são muito frequentes e por isso formam uma tabela bem mais simples que quando decorada, ajuda muito na resolução dos exercícios.

2º aula Duração: 2 aulas de 50minutos cada. Tema: aplicações das razões trigonométricas Local : sala de aula

2.1 APLICAÇÕES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Elas são utilizadas principalmente na determinação de distâncias incessíveis. Assim, para calcualr a altura de uma montanha ou a distância entre as margens de um rio, por exemplo, usa-se um instrumento de precisão para medir ângulos, chamado teodolito, e aplica-se as razões trigonométricas.

Exemplos

1- Uma pessoa está distante 80m de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16º em relação à horizontal. Qual é a Altura do prédio? Dado: tg 16º = 0,28.

X = cateto oposto ao ângulo de 16º 80 = cateto adjacente ao ângulo de 16º

Resolução: Tg 16º = = x 22,40m A altura di prédio é aproximadamente 22,40m

2- O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50m da base de uma encosta, ao topo da encostaé de 60º. Que medida deve ter um cabo que ligue o pé da árvore ao topo da encosta?

Resolução:

Ele quer saber a hipotenusa do triângulo.

Cos 60º =

Substituindo cos60º por

= x = 2. 50 x = 100 m

A medida de um cabo que ligue o pé da árvore ao topo da encosta é de 100m. Utilizar exemplos do livro didático.

Atividade em sala- valor 1,0 ponto

a) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)

b) Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. (Sen 60° = 0,866 )

c) Sabe-se que, em um triângulo retângulo isósceles, cada lado congruente mede 30 cm. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.

d) Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô:

3º aula Duração: 3 aulas de 50minutos cada. Tema: aplicações das razões trigonométricas Local : sala de informática e pátio da escola

3.1 USO E CONSTRUÇÃO DO TEODOLITO

O projeto orientado pelo professor deve ser dividido em duas partes: uma parte teórica e outra prática. A teórica deverá abordar a história da trigonometria, quem inventou o Teodolito, como era o primeiro objeto, a utilização das medidas obtidas. A parte prática abordará a construção do Teodolito caseiro e o seu manuseio.

1 - Teórica

Você já ouviu falar no teodolito? O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia, na geodésia e na agrimensura para realizar medidas de ângulos.

FIGURA 2

Figura 1: mostra o teodolito e suas partes. Figura 2: O instrumento que o homem está utilizando é um teodolito, que vem sendo utilizadodesde o século XIX e já avançou bastante até os dias de hoje.

Atividade para ser dada aos alunos

a)Você tem alguma sugestão para calcular a altura de uma árvore utilizando um teodolito e uma trena? Veja quais são as ideias de seus colegas e tentem chegar a um conclusão. Registre a conclusão e discuta as ideias surgidas.

b) Perceba que podemos considerar o triângulo retângulo indicado na figura, pois é razoável considerar que a árvore faz um ângulo reto com o plano horizontal. Na figura 2, temos indicado o ângulo de 30º. Esse ângulo pode ser obtido com o auxílio de um teodolito. Conhecendo a medida de AB , você acha que é possível determinar a altura da árvore? Como? Discuta com seus colegas e registre.

2.2 CONSTRUÇÃO DO TEODOLITO

a) Orientações

. Faça uma relação do material e apresente à turma para as devidas providências. Coloque uma caixa no canto da sala ou do laboratório de Matemática e recolha o material trazido pelos alunos. Para a construção do teodolito, solicite aos alunos que tragam:

Pote redondo com tampa (tipo tronco de cone).
Canudo oco em formato cilíndrico reto ou tubo de antena de TV (20 cm).
Dois pedaços de placa de isopor grosso de 20 cm X 20 cm ou pedaços de tábuas com as mesmas dimensões (neste caso será necessário pregos e martelo).
Pedaço de arame de comprimento maior que o dobro do diâmetro da tampa do pote.
Cola de isopor.

Enquanto os alunos trazem o material providencie fita crepe, fotocópias de um transferidor de 360º e uma tabela das razões trigonométricas de ângulos de 1 a 89º.

Mostre aos alunos que a situação pode ser representada por uma figura como a que aparece abaixo:

a altura inacessível, representada pela letra h, sem desprezar a altura x do suporte (base) do teodolito.
a distância do observador até a linha vertical que passa pelo ponto mais alto, representada por r.
a hipotenusa (p) do triângulo retângulo.
o ângulo a obtido no Teodolito.

Leve os alunos para o pátio da escola para que possam fazer um trabalho de campo com o Teodolito. Proponha que cada grupo formado por 4 alunos no máximo, encontre monumentos que possam ser calculados e apresente esses cálculos em uma cartolina para ser exposto no colégio. Valor da pesquisa: 1,0 ponto.

Referências Bibliográficas

GIOVANNI, José Ruy ; BONJORNO, José Roberto; JR., José Ruy Giovanni- Matemática Fundamental - Uma Nova Abordagem, Volume único- São Paulo, Editora FTD

FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Claúdio Xavier da- Matemática Aula por Aula - 1º ano do Ensino Médio – Editora FTD-1º edição-

Sistema de Ensino SER Formação inteligente - Ensino Médio -2º ano- Editora afiliada- 1ºedição – 2007

Roteiro de ação 4- Razões Trigonométricas-1º ano- 1º série – Campo conceitual

www.somatematica.com.br/so exercicios / razoes http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula= educador.brasilescola.com/estrategias.../construindo-um- teodolito .htm portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=