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FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA
Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ
Matemática 2º Ano – 3º Bimestre/2012
PLANO DE TRABALHO
PIRÂMIDES E CONES
Tarefa 2
Cursista: Cintia de Oliveira Santos
Tutor: Flávia Cristina e Silva Henriques
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Aprendizagem Interativa sobre Pirâmides: Atividades e Exercícios, Notas de estudo de Cálculo
Documento contendo atividades interativas para ensinar conceitos básicos de geometria, particularmente sobre pirâmides. Alunos irão identificar diferentes tipos de pirâmides, relacionar-las com suas planificações e calcular suas áreas e volumes. Recursos educacionais utilizados: folhas de atividades, planificações de pirâmides, lápis, régua e cola.
O que você vai aprender
- Given the length of the base and height of a piramid, how to calculate its volume?
- Qual é a relação entre o número de arestas e o número de lados de um polígono da base de uma pirâmide?
- Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular, given that the area of its square base is known?
- Qual é a relação entre o número de lados da base de uma pirâmide e a quantidade de faces dela?
- Qual é a área total de uma pirâmide triangular, given that the area of one of its triangular faces is known?
Tipologia: Notas de estudo
2022
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FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA
Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ
Matemática 2º Ano – 3º Bimestre/
PLANO DE TRABALHO
PIRÂMIDES E CONES
Tarefa 2
Cursista: Cintia de Oliveira Santos
Tutor: Flávia Cristina e Silva Henriques
SUMÁRIO
- Introdução
- Desenvolvimento
- Avaliação
- Fontes de pesquisa
- Anexos
DESENVOLVIMENTO
Atividade 1: Habilidades relacionadas: o H4 – Reconhecer prismas, pirâmides, cones, cilindros ou esferas por meio de suas características. o H7 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações. o H8 – Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. Pré-requisitos: Figuras geométricas planas. Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utilizados: Folhas de atividades, planificações de diversas pirâmides, cartolina, cola, tesoura, lápis de cor, régua. Organização da turma: Turma dispostas em duplas, propiciando uma maior troca de conhecimento entre os alunos. Objetivos: O aluno deverá ser capaz de reconhecer um sólido geométrico a partir de sua planificação. Além disso, deverá ser capaz de relacionar o número de vértices, faces e arestas de uma pirâmide qualquer. E deve identificar as características deste sólido geométrico. Metodologia adotada: Professor, antes de começar, entregue aos seus alunos a planificação da pirâmide de base quadrangular (Anexo II).
a) Você recebeu do seu professor uma planificação de um sólido geométrico. Quais são os polígonos presentes nesta planificação? R: ___________________________________________________________________________________ b) O que você pode dizer sobre os triângulos? Eles são congruentes? São isósceles, equiláteros ou escalenos? R: ___________________________________________________________________________________
Neste momento verifique se os alunos sabem o que significa “triângulos congruentes”. Caso contrário faça uma breve explicação.
c) Com o auxílio de uma régua, meça a base e a altura de um dos triângulos. E, além disso, verifique quanto mede o lado do quadrado. R: ___________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
d) Pinte a sua planificação da maneira que você desejar. e) Recorte nas linhas pontilhadas e monte-a. Você já viu essa forma em algum lugar? Onde? R: ___________________________________________________________________________________
f) Qual é o nome desse sólido geométrico? R: ___________________________________________________________________________________
A Pirâmide é um poliedro em que uma das faces é um polígono qualquer, a qual chamamos de base. As outras faces são triângulos congruentes que possuem um vértice em comum, denominamos de vértice da pirâmide. Professor, neste momento, entregue aos seus alunos a planificação da pirâmide de base triangular (Anexo I).
g) Você recebeu uma nova planificação. Realize todos os procedimentos tal como você fez para a planificação anterior. R: ___________________________________________________________________________________
Chame a atenção do aluno para o fato de que o nome das pirâmides varia de acordo com o polígono em sua base. Assim, se a base é um triângulo, chamamos de pirâmide triangular (ou tetraedro), se a base é um quadrado, dizemos que é uma pirâmide quadrangular, e assim por diante.
h) Qual é a relação entre a quantidade de lados do polígono da base e a quantidade de faces da pirâmide?
j) Complete a tabela com base nas pirâmides que você montou e nas conclusões que você chegou ao analisá-las.
Pirâmide Número de lados do polígono da base^ Número de faces^ Número de arestas^ Número de vértices Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Utilizar os exercícios do livro didático para a fixação dos conceitos envolvendo identificação de pirâmides e de suas características.
Atividade 2: Habilidades relacionadas: o H24 – Resolver problemas envolvendo a medida da área total e/ou lateral de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera). Pré-requisitos: Figuras geométricas planas e cálculo de suas respectivas áreas. Teorema de Pitágoras. Pirâmides triangulares e quadrangulares construídas na atividade anterior. Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utilizados: Pirâmides triangulares e quadrangulares construídas na atividade anterior, folhas de atividades, livro didático. Organização da turma: Turma disposta em dupla para um melhor aproveitamento das atividades. Objetivos: Desenvolver as habilidades de cálculo de área de pirâmides triangulares, quadrangulares, pentagonais e hexagonais. Metodologia adotada: Neste momento, faça uma breve revisão sobre o cálculo de área de figuras planas. Nas atividades a seguir, iremos calcular as áreas de triângulos, quadrados, pentágonos e hexágonos. Se considerar necessário, prepare uma lista de exercícios sobre o tema para os seus alunos.
a) Considere a pirâmide triangular, tal como a da figura, que você construiu na atividade anterior. Quantos triângulos a compõe? R: ___________________________________________________________________ Você já sabe que para calcular a área de um triângulo qualquer utilizamos a fórmula:
2 A base ^ altura
b) Na atividade anterior você mediu a base e a altura dos triângulos das faces laterais. Você viu que eles são congruentes. Calcule a área de um desses triângulos. R: ___________________________________________________________________________________
c) Qual é a área total das faces laterais dessa pirâmide? R: ___________________________________________________________________________________
Observe que a pirâmide triangular possui três triângulos que formam suas faces laterais. Portanto, para calcular a área total dessas faces, você deve multiplicar o valor de uma dessas áreas por 3. d) Agora que você calculou a área lateral, calcule a área da base. Note que, a base é formada por um triângulo equilátero. R: ___________________________________________________________________________________
Caso não tenha colocado a fórmula para o cálculo da área de um triângulo equilátero nas atividades de revisão, este é um bom momento para fazê-lo. 4 A lado^2 ^3 Ou seja, para calcularmos a área de um triângulo equilátero não precisamos saber o valor de sua altura.
e) Qual é a área total dessa pirâmide triangular? R: ___________________________________________________________________________________
Neste momento, espera-se que o aluno chegue a conclusão de que área total de uma pirâmide qualquer é obtida pela seguinte fórmula: At Ab Al , onde:
A área lateral
A áreadabase
A áreatotal
l
b
t
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – Utilizar os exercícios do livro didático para a fixação dos conceitos envolvendo o cálculo de área de diversas pirâmides.
Atividade 3: Habilidades relacionadas: o H24 – Resolver problemas, envolvendo a medida da área total e/ou lateral de um sólido (pirâmide). Pré-requisitos: Figuras geométricas planas e cálculo de suas respectivas áreas. Teorema de Pitágoras. Tempo de duração: 100 minutos Recursos educacionais utilizados: Folhas de atividades, livro didático. Organização da turma: Turma disposta em dupla para um melhor aproveitamento das atividades. Objetivos: Desenvolver as habilidades de cálculo de área de pirâmides Metodologia adotada:
Questão contextualizada: Um peso de papel possui a forma de uma pirâmide de base hexagonal. A aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral, 10 cm. Deseja- se revestir toda a pirâmide com papel colorido. Qual é a quantidade de papel
necessária? (Considere 2 1 , 41 e 3 1 , 73 ).
a) Qual é o polígono da base da pirâmide? R: _____________________________________________________________
Lembre-se que podemos dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros. Portanto, para calcular a sua área devemos calcular á área de um desses triângulos e depois multiplicamos o valor obtido por 6. b) Calcule a área da base.
R: ____________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
c) Qual é o polígono que compõe as faces laterais da pirâmide? E quantos são? R: ___________________________________________________________________________________ d) Calcule a altura de um desses triângulos. R: ___________________________________________________________________________________
Verifique se o aluno percebeu que deve considerar o triângulo a seguir:
A altura de um triângulo é sempre perpendicular a base, ou seja, ela forma um ângulo de 90º com a base. E como o triângulo da figura é isósceles, a altura intercepta a base em seu ponto médio. Assim obtemos o triângulo retângulo GMC. Para calcular a altura (neste caso, representado por a ) do triângulo, o aluno deve utilizar o teorema de Pitágoras: ( hipotenusa )^2 ( cateto )^2 ( cateto )^2 Se considerar necessário faça uma revisão sobre teorema de Pitágoras e suas aplicações.
e) Agora que você já possui o valor da altura desse triângulo, calcule a área. R: ___________________________________________________________________________________
f) Calcule a área lateral. R: ___________________________________________________________________________________
Pré-requisitos:Tempo de duração: Cálculo de áreas de figuras planas. Volume de um prisma triangular. 100 minutos. Recursos educacionais utilizados: Folhas de atividades, planificações de prisma e pirâmide, Organização da turma: cartolina, lápis, régua, tesoura, cola. Turma disposta em duplas, para um trabalho mais colaborativo entre os Objetivos: alunos. Trabalhar o conceito de volume da pirâmide a partir da comparação com o volume de outros sólidos geométricos. Metodologia adotada: Professor entregue as planificações do prisma e das pirâmides que o decompõe (Anexos III e IV) para os seus alunos.
a) Recorte e monte as planificações que você recebeu. b) Que sólidos geométricos você montou? R: ___________________________________________________________________________________
c) A partir dos três tetraedros (pirâmides de base triangular) você consegue montar um prisma triangular? Tente montá-lo. Professor neste momento escolha uma dupla de alunos e entregue: um prima de base triangular com a base aberta, as três pirâmides que o decompõe também aberta e 1kg de arroz ou feijão, etc, para que possam realizar a atividade a seguir. Se puder fazer os prismas e as pirâmides em material transparente fica melhor para a visualização dos outros alunos.
d) Encha as três pirâmides que o professor te entregou com o arroz (feijão, etc). e) Você acha que o conteúdo que está nas pirâmides irá caber no prisma? Vai faltar? Vai sobrar? Verifique! O que aconteceu? R: ___________________________________________________________________________________
Ao montar o quebra-cabeça, você deve ter obtido algo parecido com a figura abaixo.
Para determinar o volume da pirâmide triangular iremos considerar o prisma anterior. Você pôde perceber que o prisma pode ser obtido com a junção de três pirâmides triangulares. Então, vamos dividir o prisma anterior nessas três pirâmides conforme a figura abaixo.
Note que: P 2 e P 3 são pirâmides de bases equivalentes ( (^) ABC e (^) DEF) e mesma altura. Logo, possuem volumes iguais. P 3 e P 4 são pirâmides com têm (^) DEC em comum e mesma altura. Logo, possuem volumes iguais. Assim, o volume do prisma é a soma dos volumes das pirâmides triangulares. Ou seja,
3 ( ).
. 3. ( )
( ) 3. ( )
V ABCE A^ h
A h V ABCE
V ABCDEF V ABCE
b
b
Dessa forma, concluímos que o volume da pirâmide é obtido calculando-se um terço da área da base pela altura. Professor, se considerar conveniente, relembre seus alunos como calcular o volume do prisma. Para concluir que os volumes das pirâmides triangulares são iguais usamos o teorema: “Duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm o mesmo volume”. A demonstração acima foi retirada do livro: “Matemática: Ciência e Aplicações”, para maiores informações consulte a bibliografia.
Depois que todo o conceito de área e volume de pirâmide foi trabalhado, se achar conveniente, elabore uma lista de exercícios, apenas com questões de concursos, vestibular, Enem. Para que os alunos se familiarizem com esses tipos de questões.