Pirâmides e Cones, Provas de Cálculo

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Pirâmides

e

Cones

Tarefa 2- 2º Ano – 3º Bimestre/

Tutor: Susi Cristine Britto Ferreira

Cursista: Simone Nascimento de Albuquerque

Índice

Atividade 1: Que Sólidos são esses?

Duração Prevista : 100 minutos

Área De Conhecimento : Matemática

Assunto : Geometria Espacial – Prismas, Cilindros, pirâmides e cones.

Objetivos : Apresentar os sólidos geométricos, mostrando suas principais

características.

Pré-Requisitos : O Conceito de volume de sólidos geométricos.

Material Necessário : Algum tipo de “latinha” no formato de cilindro, barbante, régua,

calculadora, água ou pedrinhas de piscina e medidor de volume e material

disponibilizado para escola pelo projeto da Firjan.

Organização Da Classe : Turma disposta em duplas, propiciando trabalho organizado

e colaborativo.

Descritores Associados :

H04 – Reconhecer prismas, pirâmides, cones, cilindros ou esferas por meio de suas

principais características.

Metodologia Adotada:

a) O professor deverá pedir que os alunos meçam o diâmetro da circunferência da

base de suas latinhas com régua e com a ajuda do barbante o comprimento das

circunferência das mesmas. Dividindo o comprimento da circunferência pelo seu

diâmetro, deve-se chegar a um valor próximo de 3,14. Deve-se fazer o aluno concluir

que este valor é o da constante PI.

b) O aluno deverá medir a altura da latinha, e dividir o diâmetro da circunferência

por 2 para a determinação do raio, dessa forma poderá ser calculado o volume desse

cilindro.

c) Com o auxilio do material da Firjan (sólidos geométricos em acrílico) é possível

demonstrar o volume de alguns sólidos fazendo comparações de prismas e pirâmides

de mesma base e altura assim como cilindros e cones. O professor poderá usar água ou

pedrinhas de piscina para encher os sólidos, e quando retirar esse material colocar nos

recipientes de medir volume para as devidas comparações.

Atividade 2 : Um pouquinho de teoria.

Duração: 200 minutos.

Assunto: Geometria Espacial - Pirâmides

Objetivos: Apresentar o conteúdo através da interpretação de enunciados e

generalização de situações para resolver problemas.

Pré-requisitos: Conhecer os sólidos geométricos.

Material necessário: Livro didático e exemplos adicionais.

Organização da classe: Turma disposta em duplas, propiciando trabalho organizado e

colaborativo.

Descritores associados:

H 24 - Resolver problemas envolvendo a medida da área total e/ou lateral de um

sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).

H 25 - Resolver problemas envolvendo noções de volume.

A PIRÂMIDE

Relembrando: dados um plano , um polígono P contido em  e um ponto V

que não pertence a  temos:

A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do polígono P denomina-se pirâmide.

Exemplos:

(figura 9)

Cálculo da área total:

S S S S 80 64 144 cm^2 t  l  b  t    Cálculo da área da folha de papel:

S  15  12  S  180 cm^2 Sobra de papel:

P S S 180 144 P 36 cm^2   t    

Portanto, sobrarão 36cm^2 de papel.

5.2- O volume da pirâmide

Teorema1: duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm mesmo volume.

Teorema 2: O volume de uma pirâmide triangular é igual a um terço do produto da área

da base pela altura.

Teorema 3: o volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da

base pela altura.

Volume da pirâmide= 3

(área da base) x (altura)

Exemplo: A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 3 cm. Sabendo-se que a altura da pirâmide mede 10 cm, calcular o volume dessa pirâmide. Resolução:

ComoV   Sb  h 3

, temos:

Cálculo da área da base: A base é quadrado; logo:

S l^2 S 32 9 S 9 cm^2 b   b    b  Cálculo do volume:

9 10 30 3 3

V   Sb  h  V     V  cm

EXERCÍCIOS

1. Um prisma reto com 1,5 m de altura tem seção transversal como mostra a figura. Determine

a área total desse prisma.

2. Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela

figura.

3. Calcule a área total do solido indicado na figura.

Atividade 3 : E mais teoria.

Duração: 200 minutos.

Assunto: Geometria Espacial - Cones

Objetivos: Apresentar o conteúdo através da interpretação de enunciados e

generalização de situações para resolver problemas.

Pré-requisitos: Conhecer os sólidos geométricos.

Material necessário: Livro didático e exemplos adicionais.

Organização da classe: Turma disposta em duplas, propiciando trabalho organizado e

colaborativo.

Descritores associados:

H 24 - Resolver problemas envolvendo a medida da área total e/ou lateral de um

sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).

H 25 - Resolver problemas envolvendo noções de volume.

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone

 Base : A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.  Vértice : O vértice do cone é o ponto P.  Eixo : Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.  Geratriz : Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.  Altura : Distância do vértice do cone ao plano da base.

 Superfície lateral : A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.  Superfície do cone : A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.  Seção meridiana : A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação : Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

1.Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

g^2 = h^2 + R^2

4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

ALat= R g

5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

ATotal= R g + R^2

5. Calcule a área da superfície lateral e a capacidade de um cone de revolução de altura 9cm, sabendo que sua área lateral vale o dobro da área da sua base.

a) 50  cm^2 e 80  cm^3 b) 54  cm^2 e 80  cm^3 c) 52  cm^2 e 81  cm^3 d) 54  cm^2 e 81  cm^3 x

6. Construa um copo de papel! Recorte um círculo de papel de diâmetro igual a 12cm. Divida-o em três partes iguais e cole cada parte, conforme indicado na figura. Pronto! Você fez três copos de papel! Qual das ilustrações a seguir melhor representa as dimensões dos copos construídos seguindo as instruções acima?
7. O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128 m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros:

a) 9 e 8 b) 8 e 6 x c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e 8

8. A base de um cone equilátero foi pintada com 10 latas de tinta, cada uma contendo 1,8 litros de tinta. Nessas condições, para pintar a área lateral desse cone a quantidade de tinta necessária, em litros, é igual a:

a) 18 b) 27 c) 30 d) 36 x e) 40

9. Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento R 2 e lado AB de comprimento 2R. O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a:

a)^3 2

R



b)  R^3 c) R^3

x d) 2  R^3 e) 3  R^3

Atividade 4: Descobrindo as áreas da pirâmide e do cone

Duração Prevista : 100 minutos

Área De Conhecimento : Matemática

Assunto : Geometria Espacial - Pirâmides e cones

Objetivos : Trabalhar o conceito de área da pirâmide e do cone

Pré-Requisitos : Área das figuras planas

Material Necessário : Folha de atividades, lápis, folhas com as cópias das

planificações, régua, tesoura.

Organização Da Classe : Turma disposta em duplas, propiciando trabalho organizado

e colaborativo.

Descritores Associados :

H04 – Reconhecer prismas, pirâmides, cones, cilindros ou esferas por meio de suas

principais características.

H07 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações.

H24 – Resolver problemas, envolvendo a medida da área total e/ou lateral de um

sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).

1ª parte – Áreas da Pirâmide

1. Observe a planificação que você recebeu de seu professor. Recorte na parte pontilhada e

monte-a.

2. Que sólido geométrico você obteve após a montagem?
3. Quanto de papel seu professor deve ter utilizado apenas para construir a superfície desta

pirâmide? Discuta com seu colega e dê um palpite!

4. Vamos começar, medindo a altura e a base de um dos triângulos da lateral da pirâmide

triangular. Com estas informações, calcule sua área. Que valor encontrou? Compare seu resultado

com os de seus colegas.

5. Quantos triângulos congruentes compõem a lateral desta pirâmide? Então, podemos com a

medida da base e da altura de um único triângulo dessa lateral calcular sua área e multiplicá-la por

para obtermos a área lateral.

6. Calcule a área lateral dessa pirâmide.
7. Meça a altura e a base do triângulo da base da pirâmide triangular e calcule sua área.

começarmos, calculando a área da base? Para isso, com o auxílio de uma régua, meça o raio do

círculo da base que está em destaque pontilhado e calcule sua área, e seu comprimento, considerando

π=3,14. Que valores você encontrou? Compare com a resposta do seu colega.

4. Chegou a vez de calcularmos a área do setor circular, que chamaremos de Área Lateral. Mas

antes, vamos pensar na seguinte questão: Qual é o comprimento deste setor? Dica : você já o

calculou. Compare o antes e depois do cone montado. Leia a observação a seguir, converse com seu

professor e registre o valor desse comprimento!

5. Com as informações obtidas no item 3, a medida da geratriz e uma regra de três simples,

complete a tabela a seguir e encontre a área sA do setor circular. Se tiver alguma dúvida, além do

professor, a Tabela do item 6 a seguir pode lhe ajudar!

6. Repita esta conta com os dados literais constantes da Tabela a seguir e encontre uma fórmula

para a área lateral de um cone com raio da base medindo r e geratriz medindo g.

7. Descobriu quanto de papel seu professor gastou na planificação? Esse resultado é próximo

de sua estimativa? Comente com seus colegas o seu resultado e faça um resumo do que você

aprendeu, e revisou com esta atividade.

AVALIAÇÃO

A avaliação envolve aluno e professor e deve ser realizada de maneira que ambos

possam avaliar o quanto se desenvolveu cada uma das competências relacionadas aos

temas estudados.

O maior objetivo desse plano de trabalho foi mostrar que o conceito geometria

espacial não está pautado apenas nas técnicas de resolução e sim mostrar que o

conteúdo já faz parte de nossas vidas e às vezes nem sabemos que estamos utilizando

esse conceito matemático. Dessa forma todas as atividades sugeridas nesse plano de

trabalho serão avaliadas. Os exercícios apresentados nas páginas 08, 09, 12, 13, 14, 15

e 16 deverão ser feitos em sala, como trabalhos, já as outras atividades também

deverão ser pontuadas, mas de forma qualitativa, pois o importante nessas atividades

são a participação e a cooperação entre os alunos.

Este plano de trabalho foi aplicado na turma 2010 do Colégio Estadual Professora

Vilma Atanázio, e nessa instituição o professor pode decidir como será o critério de

avaliação do aluno desde que siga os critérios abaixo.

Critério de pontuação referente ao assunto:

Avaliação bimestral 5 pontos

Saerj 1 ponto

Trabalhos 2 pontos

Avaliação qualitativa 2 pontos

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CECIERJ, Roteiros de Ação 3. http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ Acesso em:

CECIERJ, Roteiros de Ação 4. http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ Acesso em:

PROFESSOR WALTER TADEU. Disponível em:

<www.professorwaltertadeu.mat.br> Acesso em: dia 07/08/14.

ALGO SOBRE VESTIBULAR, Geometria Espacial, Cone. Disponível em:

http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-espacial-cone.html Acesso em:

dia 07/08/14.

GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática

Fundamental. São Paulo: Editora FTD Ltda, 1994.