Equações de Movimento de Sistemas Físicos: Massa, Energia e Fluxos de Matéria, Notas de aula de Energia

Baixe Equações de Movimento de Sistemas Físicos: Massa, Energia e Fluxos de Matéria e outras Notas de aula em PDF para Energia, somente na Docsity!

Parte I

Formulação Integral

das Equações de Transporte de

Massa e Quantidade de Movimento

As leis físicas e o conceito de sistema

• “ As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas

sobre ele pelo próprio mundo natural. Elas são a expressão de uma ordem

racional do mundo “; Max Planck

• As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas

(massa) com identidade fixa.

• No sistema não há fluxo de massa na fronteira, mas pode haver forças

(pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua

fronteira.

• No volume de controle é uma região do espaço onde massa, forças e energia

podem cruzar a fronteira.

• O tópico de hoje é descrever as eqs. massa, quantidade de movimento e

energia baseadas em sistema a partir de uma análise baseada em volume de

controle.

Forma genérica

• Se considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema,

sua variação pode ser expressa genericamente por:

S Dt

DB

sis



• S representa um termo fonte adequado para o fenômeno que B

pode representar: massa, M ; quantidade de movimento, MV ;

energia, E ; etc.

Propriedade não-uniformes

• A propriedade genérica B (massa, q. movimento, energia etc) do

sistema, em geral, não é uniforme no espaço.

• Ela pode ser convenientemente avaliada definindo-se uma

propriedade intensiva  como:

  m

B

lim m 0

• O termo do lado direito representam um termo fonte que varia em

função do tipo de fenômeno ele representa. Para constituirmos as

equações da massa, quantidade de movimento, energia etc devemos

especificar a natureza dos termos fonte.

sis (^) sis sis

DB D D dm d S Dt Dt Dt

  

     (^)   (^)   (^)     (^)      

 

• De tal forma que a taxa de variação de B no sistema pode ser

determinada por:

Equação da Q. Movimento para um Sistema

• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se  = V ,
• As forças externas são dividas em forças que agem na fronteira

do sistema , Tensões T (natureza tensorial), e forças de campo que

agem no volume do sistema.

  

 





    ^  

  

  

F ext

sis A

Vd ndA g d Dt

D T

Equação da Energia para um Sistema

• A equação da Energia é obtida fazendo-se  =e , onde ‘e’ ainda não

especificada neste estágio,

• Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor é exclusivamente

devido a condução térmica e o trabalho é aquele realizado pelas

tensões que atuam na fronteira.

• O último termo refere-se a geração volumétrica de energia no interior

do volume (reação química, dissipação efeito joule, etc)

   ^   

  ^  

  

      

  

       

  

  ed  q ndA n V dA q d Dt

D

W

A

Q

A

k sis   

 

   

 

 

T

Sumário Equações de Transporte p/ Sistema

   ^ ^ ^    

 sis

D d S Dt

 

   

  ^  

  

   ^  

  

   ^  

  

   A

k

sis

d Ps T

q ndA T

q sd Dt

D 



   ^   

  ^  

  

      

  

       

  

  ed  q ndA n V dA q d Dt

D

W

A

Q

A

k sis (^)   

 

   

 

 

T

d 0 Dt

D

sis

^  

  

   

  

 



   

    ^  

  

  

F ext

sis A

Vd ndA g d Dt

D T

  1

 V

  e

  e

Forma genérica

• Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para

partículas e corpos rígidos.

• No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se

deformam continuamente (FLUIDOS)!

• Veja se você conseguiria identificar, em qualquer instante de

tempo, todas as partículas de fluido que compõem o sistema ao

entrar em um reator com agitação, transferência de calor e trabalho:

Aplicação do conceito de sistema

• Fluidos (gases ou liq.), que se deformam

continuamente, não é possível realizar uma análise

seguindo um sistema!

• É mais simples se ater a uma região no espaço

(Volume de Controle) e utilizar o conceito de

campo (ref. Euler) onde massa, quantidade de

movimento e energia são definidas no espaço e no

tempo.

• O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR)

permite que se calcule a taxa de variação de uma

propriedade seguindo um Sistema (conceito

Lagrangano) a partir do conceito de campo aplicado

aoVolume de Controle (conceito Euleriano)!

Sistema x Volume de Controle

O Volume de Controle

• O Volume de controle, V.C. , é uma região do espaço onde se deseja realizar

determinar o campo das propriedades (P, T, V, e etc) – um conceito Eueriano.

• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de Controle ,

S.C .: massa, força e energia podem cruzar a S.C.

• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço;

fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;

Demonstração do

Teorema de Transporte

de Reynolds

Teorema de Transporte de Reynolds

( t 0 ) (^) (t 0 +^ d t)

system control volume

I II

III

• No instante t 0 a superfície de controle é coincidente com a

fronteira do sistema.

• No instante t 0 +dt o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A região III

está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do V.C.; e a região I é

preenchida por outro sistema.

Teorema de Transporte de Reynolds

   















d

 

d 

d  d

vol

t t t II

t t I dV dt

d

t

B B B

t 0

Lim

• O primeiro termo

representa a taxa

de variação de B

dentro do V.C. (^) ( t 0 )^ (t 0 +^ d t)

sistema volume controle

I II

III

V.C.

Teorema de Transporte de Reynolds

Os termos BIII/ d t e BI/ d t

representam fluxos de B que

cruzam a S.C.

( t 0 ) (t 0 + d t)

sistema volume controle

I II

III

dB (^) III    dm  d    t  (^)  v (^) r  n dA  d t

III

r III Area t 0

t v n dA B Lim t t

d 

 (^) d          (^)   d (^)    d   



dB I    dm  d    t  (^)  v (^) r  n dA  d t

I

r I Area t 0

t v n dA B Lim t t

d 

 (^) d          (^)   d (^)    d   

