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PORCENTAGEM
(Conceitos Básicos)-PARTE 1 Porcentagem, ou razão percentual, é uma razão de denominador 100. A razão 1/100 é representada pelo símbolo % (lê-se: por cento).
Ex.: Numa escola de 500 estudantes, 300 são vascaínos. Pergunta-se: a. Qual a razão entre vascaínos e o total de alunos? SOLUÇÃO: Vascaínos / Total = 300/500 = 3/ b. Qual a porcentagem de vascaínos? A porcentagem é a razão percentual (razão de denominador 100). Então, para encontrarmos a razão percentual basta escrever a razão obtida no item “a” como uma razão de denominador 100. Assim, para escrever uma razão equivalente a 3/5 com denominador 100, temos que nos perguntar que número devo multiplicar o denominador 5 para que ele fique igual a 100? A resposta é 20. De fato, se multiplicarmos o numerador e o denominador da razão 3/5 por 20, vamos obter 3 vezes 20/5 vezes 20 = 60/100 = 60 vezes (1/100). Como a fração 1/100 é representada pelo símbolo %, podemos escrever que 60/100 é igual a 60% (lê-se: 60 por cento). Observação: a explicação acima pode parecer confuso para alguns mas, na prática, para transformarmos uma razão qualquer em uma razão percentual, basta multiplicar esta razão por 100%.
Então, para encontrarmos a porcentagem de vascaínos basta multiplicar a razão 3/5 por 100%. Assim, (3/5) vezes 100% = 300% / 5 = 60%. Observação: Podemos resolver a multiplicação (3/5) vezes 100% da seguinte maneira: Divide-se 100% por 5 e o resultado é multiplicado por 3. Assim, (3/5) vezes 100% é igual a (100%/ 5) vezes 3 = 20% vezes 3 = 60%. Resposta: 60% dos alunos são vascaínos. IMPORTANTE: Dado um número real positivo “p”, para calcularmos p% de um determinado valor, basta multiplicar esse valor por (P/100).
Exemplo: a. 23% de 30 = (23/100) vezes 30 = 690/100 = 6,9. b. 30% de 120 = (30/100) vezes 120 = 3600 / 100 = 36. c. 10% de 15 = (10/100) vezes 15 = 150/100 = 1, Observação: Como a razão 10% = 10/100 = 1/10, para calcular 10% de qualquer valor basta multiplicar esse valor por 1/10, ou seja, dividir esse valor por 10. Isso é muito usado para calcular o famoso 10% do garçom nas contas de consumo em bares e restaurantes. Assim: 10% de 15 = 15 dividido por 10 = 1,5. 10% de 370 = 370 dividido por 10 = 37 10% de R$83,70 = R$83,70 dividido por 10 = R$8,37. d. 40% de 12 = (40/100) vezes 12 = 480/100 = 4,8. Observação: Poderíamos calcular 40% de 12 utilizando o fato de 40% ser igual a 4 vezes 10%. Assim:
100% + 32% = 132% = 132/100 = 1,32, ou seja, se o valor inicial da mercadoria corresponde a 100% e o aumento foi de 32% o novo valor corresponde a 132% do valor inicial, ou seja, para calcular o novo valor da mercadoria já aumentado de 32% basta multiplicar o preço inicial por 1,32. Assim o novo preço, já com o aumento de 32%, pode ser calculado com uma única multiplicação: Novo preço = 1,32 vezes R$168,00 = R$ 221,76. Observação: O fator 1,32 é chamado de fator de aumento e pode ser calculado “mentalmente”. Se, por exemplo, uma mercadoria teve um aumento de: a. 30%, o fator de aumento é igual a 1,3. (100%+30%=130%=130/100=1,3). b. 5%, o fator de aumento é igual a 1,05. (100%+5%=105%=105/100=1,05). c. 300%, o fator de aumento é igual a 4. (100%+300%=400%=400/100=4). Aumentos sucessivos: Considere a seguinte situação: dois aumentos sucessivos de 20% correspondem a um único aumento de quantos por cento? 1ª Solução:
Considere uma mercadoria cujo preço inicial é de R$100,00. Com o primeiro aumento de 20%, a mercadoria passa a custar R$120,00. O segundo aumento de 20% vai incidir sobre esse novo valor(R$120,00). Logo, o novo preço após esse segundo aumento será: 120,00 + 20% de 120,00 = 120,00+ 24,00 = 144,00. Comparando R$144,00 com o preço inicial (R$100,00) concluímos que esses dois aumentos sucessivos de 20% corresponde a um único aumento de 44%.
2ª solução: O fator de aumento de 20% é igual a 1,2. Logo, dois aumentos sucessivos de 20% correspondem a um novo fator de aumento de 1,2 vezes 1,2 = 1,44 ou seja,
Uma mercadoria custava R$170,00. Qual o seu novo preço após um desconto de 32%? Solução Tradicional: 1º passo: Calcula-se o desconto. 32% de 170 = (32/100) vezes 170 = 5440/100 = 54,40. 2º passo: Calcula-se o novo preço: R$170,00 – R$54,40 = R$115,60. Solução pelo fator de desconto: Se o preço de uma mercadoria, diminuiu 32%, ele passou a valer: 100% – 32% = 68% = 68/100 = 0,68, ou seja, se o valor inicial da mercadoria corresponde a 100% e o desconto foi de 32% o novo valor corresponde a 68% do valor inicial, ou seja, para calcular o novo valor da mercadoria já descontado de 32% basta multiplicar o preço inicial por 0,68. Assim o novo preço, já com o desconto de 32%, pode ser calculado com uma única multiplicação: Novo preço = 0,68 vezes R$170,00 = R$ 115,60. Observação: O fator 0,68 é chamado de fator de aumento e pode ser calculado “mentalmente”. Se, por exemplo, uma mercadoria teve um desconto de: a. 30%, o fator de desconto é igual a 0,7. (100% – 30% = 70% = 70/100 = 0,7). b. 5%, o fator de desconto é igual a 0,95. (100% – 5% = 95% = 95/100 = 0,95). c. 85%, o fator de desconto é igual a 0,15.
Descontos Sucessivos. Considere a seguinte situação: dois descontos sucessivos de 20% correspondem a um único aumento de quantos por cento? 1ª Solução: Considere uma mercadoria cujo preço inicial é de R$100,00. Com o primeiro desconto de 20%, a mercadoria passa a custar R$80,00. O segundo desconto de 20% vai incidir sobre esse novo valor (R$80,00). Logo, o novo preço após esse segundo aumento será: 80,00 – 20% de 80,00 = 80,00 – 16,00 = 64,00. Comparando R$64,00 com o preço inicial (R$100,00) concluímos que esses dois descontos sucessivos de 20% correspondem a um único desconto de 36% (de 100 reais
Logo, os três descontos sucessivos de 10% correspondem a: (1 – 0,729) vezes 100% = 0,271 vezes 100% = 27,1%. Contextualizações interessantes:
- Por que as dívidas de cartões de créditos crescem absurdamente quando deixamos de pagar a fatura na data de vencimento? Os cartões de créditos cobram taxas que variam de 10% a 15% ao mês. Vamos considerar um cartão de crédito que cobre taxa de 15% ao mês. O que acontece com essa dívida após 1 ano? Suponha que uma pessoa tenha uma dívida R$1000,00. O que acontece com essa dívida, após um ano, a uma taxa de juros e 15% ao mês? (Não vamos considerar aqui multas, mora sobre o valor que deixou de ser pago): Dívida inicial: R$1.000, 1 mês após: R$1.000,00 vezes 1,
2 meses após: R$1.000,00 vezes 1,15 vezes 1,15 = R$1.000,00 vezes 1,15^2 (R$1.000,00 vezes 1,15 elevado ao quadrado) 3 meses após: R$1.000,00 vezes 1,15 vezes 1,15 vezes 1, = R$1.000,00 vezes 1,15^3(R$1.000,00 vezes 1,15 elevado ao cubo) 4 meses após: R$1.000,00 vezes 1,15^4 (R$1.000,00 vezes 1,15 elevado a quarta potência). E assim sucessivamente até o décimo segundo mês. Logo, 12 meses após: R$1.000,00 vezes 1,15^12 (R$1.000, vezes 1,15 elevado a décima segunda potência). Utilizando uma calculadora para calcular 1,15^12, temos: 1,15^12 aproximadamente 5,35025. O fator de aumento 5,35025 corresponde a um aumento percentual de (5,35025 – 1) vezes 100% = 4,35025 vezes 100% = 435,025%.
A taxa de juros ao mês cobrada por essa loja no plano II é de: a) 15% b) 30% c) 60% d) 100% e) 150%
Solução: Suponha que o preço anunciado seja R$100,00. Logo: Plano I: Preço à vista: 30% de desconto sobre 100 reais. Logo, o preço a vista é de R$70, (Observação: o preço real da mercadoria é o preço à vista) Plano II: R$50,00 no ato e R$50,00 um mês após. Ao pagar R$50,00 no ato, o cliente fica devendo à loja: R$70,00 – R$50,00 = R$20,00. Porém, um mês após, ele paga a segunda parcela de R$50,00, ou seja, ele deve 20 reais e paga 50 reais. Resolvendo por proporção:
O fator de aumento de 20 reais para 50 reais é o número que eu multiplico por 20 para obter 50, ou seja, basta dividir 50 por 20. Fator de aumento igual 50/20 = 2,5. Logo, o aumento percentual, ou seja, a taxa de juros cobrada é de (2,5 – 1) vezes 100% = 1,5 vezes 100% = 150%. Observação 1: alguns alunos preferem fazer esse cálculo utilizando proporção. Se ele deve 20 reais e pagou 50 reais, teve um aumento de 30 reais nessa dívida. Logo 20 reais está para 100% assim como 30 reais está para x, ou seja, 20/100 = 30/x. Assim, utilizando a propriedade das proporções: 20 vezes x = 100 vezes 30 20x = 3000 x = 3000 / 20 x = 150%. Logo, a opção correta: E
têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valortotal de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custavaR$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, aeconomia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00. e) 4,00.
SOLUÇÃO Se o produto custava 50 reais, o novo valor com odesconto de 20% pode ser calculado das seguintes maneiras: Primeiro modo: 20% de 50 reais = (20/100) vezes 50= 1000/100 = 10 reais. Logo, o preço com o desconto é 50 reaisreais. – 10 reais = 40 Segundo modo: O fator de desconto de 20% é igual a 0,8. Logo, o preço com o desconto é 0,8 vezes 50 = 40 reais. Se ele possuísse o cartão da loja teria um desconto de 10% do valor da compra. Logo, 10% de 40 reais = 4 reais. A opção correta é a letra E.
- (Enem 2019) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o rendimento médio mensal dostrabalhadores brasileiros, no ano 2000, era de R$1250,00. Já o Censo 2010 mostrou que, em 2010, esse valor teve umaumento de 7,2% em relação a 2000. Esse mesmo instituto projeta que, em 2020, o rendimento médio mensal dostrabalhadores brasileiros poderá ser 10% maior do que foi
em 2010. IBGE.Censo 2010. Disponível em: www.ibge.gov.br.
Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).
Supondo que as projeções do IBGE se realizem, orendimento médio mensal dos brasileiros em 2020 será de a) R$1340,00 b) R$1349, c) R$1375,00 d) R$1465, e) R$1474, SOLUÇÃO: Fator de aumento 7,2% = 1,072 Fator de aumento 10% = 1, Se o rendimento médio do trabalhador em 2000 era deR$1250,00, após aumentos sucessivos de 7,2% e 1,1%, teremos: R$1250,00 vezes 1,072 vezes 1,1 = R$1474,00. A opção correta é a letra E.
- (Enem 2018) Os alunos da disciplina de estatística, em um curso universitário, realizam quatro avaliações porsemestre com os pesos de 20%; 10%; 30% e 40% respectivamente. No final do semestre, precisam obteruma média nas quatro avaliações de, no mínimo, 60 pontos para serem aprovados. Um estudante dessa disciplina obteve os seguintes pontos nas três primeiras avaliações:46; 60 e 50 respectivamente. O mínimo de pontos que esse estudante precisa obter naquarta avaliação para ser aprovado é a) 29,8 b) 71,0 c) 74,5 d) 75,5 e) 84,
a) [35, 63] b) [40, 63] c) [50, 70] d) [50, 90] e) [70, 90] SOLUÇÃO: 50% de 70% = (50/100) vezes 70% = 35% 70% de 90% = (70/100) vezes 90% = 63% Logo, o intervalo das porcentagens que representação avariação total possível é [35, 63]. A opção correta é a letra A.
