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Este documento aborda os símbolos infinito negativo e infinito positivo no sistema de números reais estendidos, a representação binária de números reais e fracionários, a expansão binária significativa, a precisão de representação e arredondamento, e o padrão ieee 754-2008 para representação de números reais em sistemas informáticos.
Tipologia: Notas de estudo
Compartilhado em 07/11/2022
4.6
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Não perca as partes importantes!
Graduação/Pós-graduação em Engenharia Elétrica
Erivelton Geraldo Nepomuceno
Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de São João del-Rei
21 de Setembro de 2018
Computação numérica é uma parte vital da infraestrutura tecnológica e cientí ca da atualidade. Praticamente toda computação numérica utiliza aritmética de ponto utuante. Quase todos os computadores fazem uso do padrão IEEE para aritmética de ponto utuante. Entretanto, percebe-se que aspectos importantes do padrão IEEE ainda não são compreendidos por vários estudantes e pro ssionais. Computação numérica signi ca computação com números. É uma área tão antiga quanto a própria civilização humana. Em torno de 1650, os egípcios já empregava técnicas de computação. Contar pedras e gravetos foi utilizado há anos para contar e armazenar números. O ábaco foi utilizado na Europa até a introdução da notação posicional decimal.
A partir do séc. XVI, o sistema decimal se tornou base em toda a Europa. O próximo grande avanço foi a tabulação de logaritmos por John Napier no início do séc. XVII. Com logaritmos é possível substituir divisões e multiplicações por subtrações e adições. Isaac Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo no séc. XVII e técnicas numéricas para a solução de vários problemas. Outros grandes matemáticos, tais como Euler, Lagrange, Gauss foram responsáveis por grandes desenvolvimentos na computação numérica. Um outro dispositivo utilizado foi a régua de deslizamento até a década de 70 do século passado. Dispositivos mecânicos para cálculo foram inventados por Schickard, Pascal e Leibniz. Charles Babbage iniciou o desenvolvimento de equipamentos sem intervenção humana.
Durante Segunda Guerra Mundial houve um grande desenvolvimento de dispositivos para cálculos, e pode-se a rmar que mais ou menos nessa época começou-se a era da computação. Uma das primeiras máquinas consideradas como computador foi o Z3, construído pelo engenheiro Konrad Zuse na Alemanha entre os anos de 1939 e 1941. O Z3 usava dispositivos eletromecânicos e já empregava números binários de ponto utuante. O governo britânico desenvolveu nessa mesma época um dispositivo eletrônico chamado Colossus usado para decodi car mensagens secretas.
Figura 2: Colossus Mark 2 desenvolvido em 1944. Fonte: Wikipédia.
Os dois principais cientistas que in uenciaram os padrões de desenvolvimento dos dispositivos computacionais foram Alan Turing e John von Neumann.
Figura 4: Alan Turing. Fonte: Wikipédia.
Figura 5: John von Newmann. Fonte: Wikipédia.
Durante a década de 1950, o principal uso dos computadores foi para computação numérica. A partir de 1960, os computadores passaram a ser usados em empresas para processar informação, tais como, texto e imagem. Usuários frequentemente não estão cientes de que a manipulação de texto, som ou imagem envolve computação numérica. Os computadores são usados para resolver equações que modelam os mais diferentes sistemas: da expansão do universo à micro-estrutura do átomo; processamento de imagens e análise estatística de dados médicos; predição de clima; simulação de circuitos para projetos de computadores menores e mais rápidos; modelagem de aeronaves para testes e treinamento de pilotos; con abilidade de sistemas elétricos. Os resultados numéricos são comparados com os resultados experimentais. Em síntese: todas áreas da ciência e engenharia utilizam fortemente a computação numérica.
Há in nitos mas contáveis números inteiros 0, 1 , − 1 , 2 , − 2 ,.... Os números racionais (Q) são aqueles que consistem da razão de dois inteiros, tais como: 1/ 2 , 2 / 3 , 6 / 3. Os números racionais são in nitos mas contáveis.
Mostre que os números racionais são contáveis. Dica: utilize uma tabela e faça uso da diagonal.
Os números irracionais são os números reais que não são racionais. Exemplos:
2 , π, e.
O número e é o limite de (^) ( 1 +
n
)n
quando n → ∞.
As investigações para a de nição de e começaram no séc. XVII. Todo número irracional pode ser de nido como o limite de uma sequência de números racionais. O conjunto de números irracionais é dito ser incontável. Número romano: MDCCCCLXXXV = 1985. O sistema posicional faz uso de um aspecto essencial: o zero é representado por um símbolo. Os babilônios em 300 a.C. usavam um símbolo para representar o zero. O sistema arábico foi desenvolvido na Índia por volta de 600 d.C. Após o ano de 1200 iniciou-se o uso dos números arábicos, notadamente devido a obra Liber Abaci (ou Livro do Cálculo) escrito pelo matemático italiano Leonardo Pisano Bigollo, mais conhecido como Fibonacci.
Mostre que
2 é um número irracional.
O número ( 71 ) 10 = 7 × 10 + 1 tem sua representação binária como ( 1000111 ) 2 = 1 × 64 + 0 × 32 + 0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1. O número fracionário pode ser representado, tal como 11 2
e 11 2
Números irracionais possuem expansão decimal e binária in nita e sem repetição.
Faça a transformação de 101 para o sistema binário.
Faça a expansão decimal e binária dos seguintes números:
2 , π, e.
Qual é a melhor maneira de representar números em um computador? Inteiros são representados por 32 bits. O inteiro 71 seria armazenado como
Faixa: 0 a 2^32 − 1 ou 0 a 4294967295. O número 2^32 não é possível de ser representado.
Qual é o número mínimo de bits necessários para representar o número 50000?
Em um sistema de 32 bits, se dois números positivos forem adicionados e o resultado for maior que 2^31 − 1 ocorre o chamado integer over ow. Subtração de dois números inteiros representados na representação do complemento de 2 não necessita de hardware adicional.
Números racionais podem ser representados por pares de inteiros: o numerador e denominador. Esta representação é precisa, mas é inconveniente do ponto de vista aritmético. Sistemas que representam os números racionais dessa forma tem sido chamados de simbólicos. Para a maioria dos casos, os números reais, entretanto, são armazenados usando representação binária. Há dois métodos: ponto xo e ponto utuante. Ponto xo: 1 bit para o sinal, um grupo de bits para representar o número antes do ponto binário e um grupo de bits para representar o número após o ponto binário.
Para uma precisão de 32 bits o número 11/2 pode ser representado como
| 0 | 000000000000101 | 1000000000000000 |.
Ponto utuante é baseado na notação exponencial ou cientí ca. Um número x é representado por
x = ±S × 10 E^ , em que 1 ≤ S < 10 ,
em que E é um inteiro. Os números S e E são chamados de signi cante ou mantissa e expoente, respectivamente.
A representação exponencial de 0,00036525 é 3, 6525 × 10 −^4.
O ponto (vírgula) decimal utua para a posição imediatamente posterior ao primeiro dígito não nulo. Está é a razão para o nome ponto utuante. No computador, utiliza-se a base 2. Assim x é escrito como
x = ±S × 2 E^ , em que 1 ≤ S < 2. (1)
A expansão binária do signi cante é
S = (b 0 b 1 b 2 b 3.. .) com b 0 = 1. (2)
O número 11/2 é representado como
11 2
Os bits após o ponto binário são chamados de parte fracionária do signi cando. As Eq. (1) e (2) são representações normalizadas de x e o processo de obtenção desta representação chama-se normalização. Para representar um número normalizado, a sua representação binária é dividida em três partes: sinal, expoente E e o signi cante S, nesta ordem.
