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Uma série de exercícios e problemas relacionados a ondas em cordas e tubos. Aborda tópicos como velocidade de propagação da onda, frequência, comprimento de onda, período, número de onda, amplitude, deslocamento, aceleração e outras propriedades das ondas. Os exercícios envolvem cálculos e análise de gráficos, buscando aplicar os conceitos teóricos a situações práticas. O documento pode ser útil para estudantes de física que estejam aprofundando seus conhecimentos sobre ondas mecânicas, especialmente em sistemas vibratórios como cordas e tubos. A compreensão desses fenômenos é fundamental para diversas áreas da física, como acústica, óptica e eletromagnetismo.
Tipologia: Exercícios
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1. Seja y 1 = 2,0 mm (correspondente ao instante t 1 ) e seja y 2 = –2,0 mm (correspondente ao instante t 2 ). Temos
kx + 600 t 1 + f = sen-^1 (2,0/6,0)
e
kx + 600 t 2 + f = sen-^1 (–2,0/6,0).
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
600( t 1 – t 2 ) = sen-^1 (2,0/6,0) – sen-^1 (–2,0/6,0),
o que nos dá t 1 – t 2 = 0,011 s = 1,1 ms.
2. (a) Como a velocidade de uma onda é a distância percorrida dividida pelo tempo necessário para percorrê-la, temos
853 assentos 21,87 assentos/s 22 assentos/s. 39 s v = = ≈
(b) Como a largura L é igual à distância percorrida pela onda durante o tempo médio que o um espectador leva para se levantar e voltar a se sentar, temos
L = vt = (21,87 assentos/s)(1,8 s) ≈39 assentos.
3. (a) O número de onda é (^2 2) 3,49m 1. 1,80m k π π λ
(b) A velocidade da onda é
31,5m s. 2 2
v λ f^ λω π π
4. A distância d entre o besouro e o escorpião está relacionada à velocidade transversal vt e à velocidade longitudinal v através das equações
nas quais tt e t são os instantes de chegada da onda transversal e da onda longitudinal, respectivamente. Para vt = 50 m/s e v = 150 m/s, temos
150 m/s 3, 50 m/s
t t
t v t v
Assim, se
3,0 2,0 4,0 10 3 s 2,0 10 3 s, t tt t t t t t ∆ = − = − = = × −^ ⇒ = × −
Então (^) d = v t = (150 m/s)(2,0 × 10 −^3 s) = 0,30 m =30 cm.
5. (a) A distância entre o ponto de deslocamento máximo e o ponto de deslocamento zero corresponde a um quarto de ciclo. Se um quarto do período é 0,170 s, o período é T = 4(0,170 s) = 0,680 s.
(b) A frequência é o recíproco do período:
(^1 1) 1,47 Hz. 0,680s
f T
(c) Como uma onda senoidal percorre uma distância igual a um comprimento de onda em um intervalo de tempo igual a um período,
1,40m 2,06m s. 0,680s v T
λ = = =
6. A inclinação mostrada no gráfico da Fig. 16-30 é a inclinação real da corda (que não deve ser confundida com a “inclinação” abstrata da curva que representa a posição de um ponto da corda em função do tempo; a inclinação real é a derivada em relação a x, enquanto a outra “inclinação” é a derivada em relação a t). Assim, quando o gráfico mostra uma inclinação máxima (adimen- sional) de 0,2, está se referindo ao máximo da seguinte função:
m^ sen(^ )^ m cos(^ ).
dy d y kx t y k kx t dx dx = ^ − ω = −ω
O problema informa ainda que a inclinação foi medida no instante t = 0, mas esse dado não é necessário para resolver o problema. O máximo da expressão anterior é ymk, em que
2 2 15,7 rad/m. 0,40 m k π π λ
Assim, como sabemos que o produto ymk é igual a 0,2, temos
0, 0,0127 m 1,3 cm. m 15,7 rad/m y = = ≈
7. (a) De acordo com as equações do MHS, um = ymw; portanto,
Como f = 2p/w, f = 64 Hz.
(b) Como l = v/f, l = (80 m/s)/(64 Hz) = 1,26 m ≈ 1,3 m.
(c) A amplitude do deslocamento transversal é ym = 4,0 cm = 4,0 × 10 −^2 m.
(d) O número de onda é k = 2p/l = 5,0 rad/m.
(e) Como foi visto no item (a), a frequência angular é 400 rad/s = 4,0 × 102 rad/s.
(f) A equação que descreve a onda pode ser escrita na forma
em que a distância está em metros e o tempo está em segundos. A constante de fase f deve satisfazer a condição de que, no ponto x = 0, y = 0,040 no instante t = 0. Para isso, devemos ter sen f = 1 e, portanto, f = p/2, o que nos dá
(g) O sinal que precede w é negativo.
8. Fazendo x = 0 na equação u = – w ym cos(k x – wt + f) (veja a Eq. 16-21 ou a Eq. 16-28), temos
u = – w ym cos(–w t+ f),
que é a função plotada no gráfico da Fig. 16-31. Note que a função apresenta uma inclinação (ou seja, uma derivada) positiva no ponto t = 0:
cos 2 sen( 0 m m
du d (^) y t y t dt dt
= − ω (−ω + φ) = − ω −ω + φ) >
(f) O sinal que precede w é o sinal negativo, já que a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x.
(g) Uma vez que a frequência da onda é f = 1/T = 0,10 s, a velocidade da onda é v = fl = 2,0 cm/s.
(h) De acordo com os resultados anteriores, a onda pode ser descrita pela equação
( , ) 4,0sen 4,0sen 10 5 10 5
y x t^ ^ π^^ x^ π t^ π^ ^ π^ x^ π t
Derivando y em relação a t, obtemos
( , ) 4,0 cos 10 5
y x t u x t t t
π π π
que nos dá u(0, 5,0) = –2,5 cm/s.
12. Derivando a equação dada em relação ao tempo, obtemos
u = du/dt = 225 p sen (p x − 15 p t ).
Elevando ambos os membros ao quadrado e somando a ambos os membros o quadrado de 15py, obtemos
u^2 + (15p y )^2 = (225p )^2 [sen^2 (p x − 15 p t ) + cos^2 (p x − 15 p t )],
o que nos dá
u = (225 π )^2 − (15 π y ) 2 = 15 π 152 − y^2.
Assim, para y = 12, u = ± 135 p e a velocidade escalar de um ponto da corda é 135p = 424 cm/s = 4,24 m/s.
13. O comprimento de onda é l = v/f = 350/500 = 0,700 m = 700 mm e o período é T = 1/f = 1/500 = 2,00 × 10 –3^ s = 2,00 ms.
(a) Como 2p radianos correspondem a um comprimento de onda, p/3 rad correspondem a l/6. A distância pedida é, portanto, l/6 = 700/6 = 117 mm.
(b) Como um intervalo de 1,00 ms corresponde a meio período, e um período corresponde a uma diferença de fase de 2p radianos, a diferença de fase é (1/2)2p = p rad.
14. (a) Comparando a equação dada com a Eq. 16-2, vemos que k = 20/m e w = 600/s. Assim, de acordo com a Eq. 16-13, a ve- locidade da onda é v = w/k = 30 m/s.
(b) De acordo com a Eq. 16-26,
2 2
(^15) 0,017 kg m 17g m. v 30
μ = τ = = =
15. PENSE Muitas propriedades físicas de uma onda progressiva podem ser determinadas a partir da função de onda.
FORMULE De acordo com a Eq. 16-10, uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo do eixo x pode ser descrita pela expressão
em que ym é a amplitude, k = 2p/l é o número de onda e f é a constante de fase. A velocidade da onda é dada por v = τ μ/ ,em que t é a força de tração a que a corda está submetida e m é a massa específica linear da corda.
ANALISE (a) A amplitude da onda é ym = 0,120 mm.
(b) O comprimento de onda é l = v/f = τ μ/ / f e o número de onda é
(c) A frequência angular é
(d) Podemos usar o deslocamento da corda na forma y = ym sen(kx + wt). O sinal que precede w é positivo porque a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x.
APRENDA De acordo com os resultados anteriores, o deslocamento da corda pode ser expresso pela seguinte equação:
16. Como v = τ μ/ ∝ τ,temos
2 2 2 2 1 1
180m/s 120 N 135N. 170m/s
v v τ τ (^) ^
17. (a) A velocidade da onda é dada por v = l/T = w/k, em que l é o comprimento de onda, T é o período, w é a frequência angular (2p/T) e k é o número de onda (2p/l). Como o deslocamento é da forma y = ym sen(kx + wt), k = 2,0 m–1^ e w = 30 rad/s. Assim,
v = (30 rad/s)/(2,0 m–1) = 15 m/s.
(b) Como a velocidade da onda é dada por v = τ μ/ ,em que t é a tração da corda e m é a massa específica linear da corda, a tração é
2 4 2 τ = μ v = 1,6 × 10 −kg m 15m s =0,036 N.
18. O volume de um cilindro de altura é V = pr^2 = pd^2 /4. As cordas são cilindros longos e estreitos, um de diâmetro d 1 e outro de diâmetro d 2 (as massas específicas lineares correspondentes são m 1 e m 2 ). Uma vez que a massa é igual à massa específica (volu- métrica) multiplicada pelo volume (m = rV), a massa específica linear pode ser escrita na forma
(^2) /4 2 4
m ρπ d πρ d μ = = =
e a razão das massas específicas das duas cordas é
2 2 1 1 1 2 2 2 2
d d d d
μ πρ μ πρ
Assim, a razão dos diâmetros é
1 1 2 2
d d
μ μ
19. PENSE A velocidade de uma onda transversal em uma corda depende apenas da tração a que a corda está submetida e da massa específica linear da corda.
FORMULE A velocidade da onda é dada por v = τ μ/ ,em que t é a tração da corda e m é a massa específica linear da corda, de- finida como massa por unidade de comprimento da corda: m = m/L.
ANALISE Para uma massa específica linear
a velocidade da onda é
(b) O comprimento de onda pode ser lido no gráfico. Como a curva intercepta o eixo x no ponto x ≈ 15 cm e volta a interceptá-lo, com a inclinação oposta, no ponto x ≈ 35 cm, l ≈ 2(35 − 15) = 40 cm.
(c) A velocidade da onda é
(d) A frequência da onda é f = v/l = (12 m/s)/(0,40 m) = 30 Hz, e o período é
(e) A velocidade transversal máxima de uma partícula da corda é
(f) O número de onda é k = 2p/l = 2p/(0,40 m) = 16 m–1.
(g) A frequência angular é w = 2pf = 2p(30 Hz) = 1,9×10^2 rad/s.
(h) De acordo com o gráfico, no instante t = 0, o deslocamento no ponto x = 0 é 4,0 × 10 –2^ m. De acordo com a função de onda, y(0, 0) = ym sen f. Assim, o valor de f deve ser tal que
A equação anterior tem duas soluções: 0,93 e 2,21 rad. Para o primeiro valor, a curva tem uma inclinação positiva em x = 0; para o segundo valor, a curva tem uma inclinação negativa. Como no gráfico da Fig. 16-35 a curva tem uma inclinação positiva em x = 0, optamos pelo primeiro valor, f = 0,93 rad.
(i) A equação que descreve o deslocamento da corda é da forma y(x, t) = ym sen(kx + wt + f). Como a onda está se movendo no sentido negativo do eixo x, o sinal que precede w é positivo.
APRENDA De acordo com os resultados anteriores, o deslocamento da corda pode ser descrito pela seguinte equação:
24. (a) Como a tensão de cada corda é dada por t = Mg/2, a velocidade da onda na corda 1 é
2 1 1 1
(500g)(9,80m/s ) (^) 28,6m/s. 2 2(3,00g/m)
v^ τ^ Mg μ μ
(b) A tensão na corda 2 é
2 2 2
(500g)(9,80m/s ) (^) 22,1m/s. 2 2(5,00g/m)
v^ Mg μ
(c) Vamos fazer v 1 (^) = M g 1 / (2 μ 1 ) = v 2 (^) = M g 2 / (2 μ 2 )e M 1 + M 2 = M. Explicitando M 1 , temos
1 2 1
500 g (^) 187,5 g 188 g. 1 / 1 5,00/3,
μ μ
(d) M 2 = M – M 1 = (500 g – 187,5 g) ≈ 313 g.
25. (a) A velocidade da onda em qualquer ponto da corda é dada por v = τ μ,em que t é a tração nesse ponto e m é a massa específica linear da corda. Como a corda está pendurada, a tensão vai de ponto para ponto. Considere um ponto da corda a uma distância y da extremidade inferior. As forças a que esse ponto está submetido são o peso do trecho da corda que está abaixo do ponto, que aponta para baixo, e a tensão da corda, que aponta para cima. Como a corda está em equilíbrio, as duas forças são iguais em módulo. Como o peso do trecho da corda abaixo do ponto é mgy, a tração é t = mgy e, portanto, a velocidade da onda é v = μ gy / μ= gy.
(b) Como o tempo dt que a onda leva para percorrer uma distância dy, situada a uma distância y da extremidade inferior da corda, é dt = dy v = dy gy ,o tempo que a onda leva para percorrer toda a corda é
(^0 )
L L (^) dy y L t gy g g
26. De acordo com as Eqs. 16-26 e 16-33, temos
méd 3
198 Hz. (^2) m / 2 (7,70 10 m) (36,0 N)(0,260 kg/2,70 m )
f π y (^) τ m L π −
27. Como se pode observar nos gráficos da Fig. 16-36, a frequência da onda é f = 1/(2 ms) = 500 Hz, e o comprimento de onda é l = 0,20 m. Os gráficos também mostram que o valor máximo de dK/dt é 10 W. Igualando este valor ao valor máximo de dK/dt na Eq. 16-30 [que é obtido fazendo cos^2 (kx − wt) = 1], temos, em unidades do SI, mvw^2 ym^2 /2 = 10. Explicitando ym e fazendo w = 2pf e v = fl, obtemos
2 3
(^10) 0,0032 m. m 2 y π μλ f
28. Comparando y x t ( , ) = (3,00 mm)sen[(4,00 m −^1 ) x − (7,00 s −^1 ) ] t com a expressão geral (^) y x t ( , ) = ym sen( kx − ω t ), vemos que k = 4,00 m−^1 e w = 7,00 rad/s. A velocidade da onda é
v = ω / k = (7,00 rad/s)/(4,00 m −^1 ) =1,75 m/s.
29. A onda y x t ( , ) = (2,00 mm)[(20 m −^1 ) x − (4,0 s −^1 ) ] t 1/2é da forma h kx ( − ω t )com número de onda k = 20 m−^1 e frequência angular w = 4,0 rad/s. Assim, a velocidade da onda é
v = ω / k = (4,0 rad/s)/(20 m −^1 ) =0,20 m/s.
30. A onda y x t ( , ) = (4,00 mm) h [(30 m −^1 ) x + (6,0 s −^1 ) ] t é da forma h kx ( − ω t )com número de onda k = 30 m−^1 e frequência angular w = 6,0 rad/s. Assim, a velocidade da onda é
v = ω / k = (6,0 rad/s)/(30 m −^1 ) =0,20 m/s.
31. PENSE De acordo com o princípio da superposição, a onda resultante é a soma algébrica das duas ondas.
FORMULE O deslocamento da corda é dado por
em que usamos a identidade trigonométrica
ANALISE Como a diferença de fase entre as duas ondas é f = p/2, a amplitude da onda resultante é
APRENDA A interferência de duas ondas pode ser construtiva ou destrutiva, dependendo da diferença de fase.
32. (a) Seja f a diferença de fase. De acordo com a Eq. 16-52, 2ym cos(f/2) = 1,50ym, o que nos dá
2cos 1 1,50 82,. 2
m m
y y
φ −^
Assim, a amplitude da onda resultante é ym = 5,0 cm.
APRENDA Para somar duas ondas, é conveniente representá-las por fasores, que são vetores de módulo igual à amplitude da onda. O mesmo resultado, porém, poderia ser obtido, sem o auxílio de fasores, da seguinte forma: escrevendo as duas ondas como y 1 = 3sen(kx − wt) e y 2 = 4sen(kx − wt + p/2), obtemos, depois de algumas transformações algébricas,
em que f = tan−^1 (4/3) ≈ 0,93 rad ≈ 53 o. Para determinar a constante de fase f, fizemos cos f = 3/5, sen f = 4/5 e usamos a identi- dade cosf senq + senq cosf = sen(q + f).
36. Podemos ver que y 1 e y 3 se cancelam (estão defasadas de p rad = 180º) e y 2 e y 4 se cancelam (também estão defasadas de p rad = 180º). Assim, a onda resultante tem amplitude zero, ou seja, não existe onda resultante. 37. (a) Usando a técnica dos fasores, construímos dois fasores: o primeiro com 4,60 mm de comprimento e o segundo com 5, mm de comprimento, formando entre si um ângulo f de 0,80p radianos = 144º. Usando as regras da soma vetorial, obtemos um fasor resultante com 3,29 mm, que corresponde à amplitude da onda resultante.
(b) O ângulo do fasor resultante em relação ao primeiro fasor, que corresponde ao ângulo de fase da onda resultante em relação à primeira onda, é 88,8º = 1,55 rad.
(c) Para que a amplitude da nova onda resultante seja máxima, a terceira onda deve estar em fase com a onda resultante calculada no item (b). Assim, o ângulo da terceira onda deve ser 88,8o^ = 1,55 rad com a primeira onda.
38. (a) Como é mostrado na Fig. 16-13b do livro, a amplitude da onda resultante é a menor possível quando a diferença de fase é p rad.
(b) Na situação do item (a), a amplitude é 8,0 mm – 5,0 mm = 3,0 mm.
(c) Como é mostrado na Fig. 16-13a do livro, a amplitude da onda resultante é a maior possível quando a diferença de fase é 0 rad.
(d) Na situação do item (c), a amplitude é 8,0 mm + 5,0 mm = 13 mm.
(e) Nesse caso, o ângulo entre os fasores que representam as duas ondas é p/2 rad = 90º e podemos usar o teorema de Pitágoras. A amplitude é, portanto,
(8,0 mm) 2 + (5,0 mm)^2 =9,4 mm.
39. A figura mostra o diagrama fasorial.
Vamos usar um teorema da trigonometria:
2 2 2 2 2 ym = ym (^) 1 + ym (^) 2 − 2 ym (^) 1 ym (^) 2 cos θ= ym (^) 1 + ym (^) 2 + 2 ym (^) 1 ym 2 cos .φ
Explicitando cos f, obtemos
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
cos (9,0mm)^ (5,0mm)^ (7,0mm) 0,10. 2 2(5,0mm)(7,0mm)
m m m m m
y y y y y
φ
A constante de fase é, portanto, f = 84°.
40. A corda fica reta toda vez que passa pela posição de equilíbrio. Como, durante um ciclo completo, uma partícula passa duas vezes pela posição de equilíbrio, T = 2(0,50 s) = 1,0 s. Assim, a frequência é f = 1/T = 1,0 Hz, e o comprimento de onda é
10cm/s (^) 10 cm. 1,0Hz
v f
λ = = =
41. PENSE Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda fixa nas duas extremidades.
FORMULE A velocidade da onda é dada por v = τ μ/ ,em que t é a tração da corda e m é a massa específica linear da corda. Como a massa específica linear é a massa por unidade de comprimento, m = M/L, em que M é a massa e L é o comprimento da corda. Os comprimentos de onda possíveis de uma onda estacionária são dados por ln = 2L/n, em que L é o comprimento da corda e n é um número inteiro.
ANALISE (a) A velocidade da onda é
(b) Podemos obter o maior comprimento possível para uma onda estacionária fazendo n = 1 na equação anterior, o que nos dá l = 2L = 2(8,40 m) = 16,8 m.
(c) A frequência correspondente é f 1 = v/l = (82,0 m/s)/(16,8 m) = 4,88 Hz.
APRENDA As frequências das ondas estacionárias, também chamadas de frequências de ressonância, são dadas por
em que f 1 = v/l 1 = v/2L. O modo de oscilação correspondente a n = 1 é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico.
42. De acordo com as Eqs. 16-26 e 16-66, temos
, n 2 2
nv n f L L
τ μ
o que nos dá
3 3
f i L
τ μ =
(a) Se tf = 4ti, a nova frequência é
3 3
f f f L
τ μ
(b) O novo comprimento de onda é
3 3 3
v L f
λ′ = ′= =λ ′
43. PENSE Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda fixa nas duas extremidades.
FORMULE Os comprimentos de onda possíveis são dados por ln = 2L/n, em que L é o comprimento do fio e n é um número inteiro. As frequências correspondentes são fn = v/ln = nv/2L, em que v é a velocidade da onda. A velocidade da onda é dada por v = τ μ / = τ L M / ,em que t é a tração do fio, m é a massa específica linear e M é a massa do fio. Assim,
ANALISE (a) A menor frequência é f 1 = 7,91 Hz.
(b) A segunda menor frequência é f 2 = 2(7,91 Hz) = 15,8 Hz.
(c) A terceira menor frequência é f 3 = 3(7,91 Hz) = 23,7 Hz.
APRENDA Uma vez que as frequências das ondas estacionárias são múltiplos inteiros da frequência fundamental f 1 , a diferença entre as frequências de harmônicos sucessivos é igual à frequência fundamental f 1.
48. De acordo com a Eq. 16-26, a velocidade da onda é
65,2 10 N^6 4412m/s. 3,35kg/ m
v^ τ μ
As frequências correspondentes são
n 2 2
nv n f n L L
τ μ
(a) A frequência do modo fundamental é
1
4412 m/s (^) 6,36 Hz. 2(347 m)
f v L
(b) A diferença de frequência entre dois modos sucessivos é
1
4412 m/s (^) 6,36 Hz. n (^) n 2 2(347 m) f f f v − L
49. (a) A velocidade da onda é dada pela Eq. 16-26:
2 3
150 N (^) 144,34 m/s 1,44 10 m/s. 7,20 10 kg/m
v^ τ μ −
(b) De acordo com a Fig. 16-38, o comprimento de onda da onda estacionária é
l = (2/3)(90,0 cm) = 60,0 cm.
(c) A frequência é
1,44 10 m/s^2 241Hz. 0,600m
f^ v λ
50. Conforme o gráfico da Fig. 16-39, a função que descreve a onda estacionária é
y x t ( , ) = −(0,04)cos( kx )sen( ω t ),
em que ω = 2 π / T = πrad/s,com os comprimentos em metros e o tempo em segundos. O parâmetro k é determinado pela existência de um nó no ponto x = 0,10. Isso significa que k(0,10) = π/2 e, portanto, k = 5π rad/m.
(a) Para os parâmetros calculados aqui, temos
y (0,20 m, 0,50 s) = −0,04cos( kx )sen( ω t ) =0,040m.
(b) Para os parâmetros calculados anteriormente, temos
y (0,30 m, 0,50 s) = −0,04cos( kx )sen( ω t ) =0..
(c) Derivando a equação da onda estacionária em relação ao tempo, obtemos
( , ) = = −0,04 ωcos( )cos(ω ) = 0 dy u x t kx t dt
Para os parâmetros calculados anteriormente, temos
y (0,20 m, 0,50 s) = −0,04 ωcos( kx )sen( ω t ) =0.
(d) Para os parâmetros calculados antes, temos
y (0,20 m, 1,0 s) = −0,04 ω cos( kx )sen( ω t ) = −0,13 m/s.
(e) A figura mostra o gráfico da função no instante t = 0,50 s para 0 ≤ x ≤ 0,40 m:
51. PENSE Para produzir uma onda estacionária, as duas ondas devem ter a mesma amplitude, a mesma frequência angular, o
mesmo número de onda e se propagar em sentidos opostos.
FORMULE Vamos supor que as duas ondas são
De acordo com o princípio da superposição,
ANALISE (a) Como a amplitude das duas ondas é metade da amplitude da onda estacionária, ym = (0,01 m)/2 = 5,0 × 10 −^3 m.
(b) Como a onda estacionária tem três meios comprimentos de onda, L = 3l/2, o que nos dá l = 2L/3. Para L = 3,0 m, l = 2,0 m, e o número de onda é
(c) Se v é a velocidade da onda, a frequência é
A frequência angular é a mesma da onda estacionária:
(d) Se uma das ondas é da forma y 2 (x, t) = ym sen(kx + wt), a outra onda deve ser da forma y 1 (x, t) = ym sen(kx + wt). O sinal que precede w é negativo.
APRENDA De acordo com os resultados anteriores, as duas ondas são
e
e
y 2 ( x , t ) = (4,5 mm) sen[(16 m-^1 ) x – (5,2 × 102 s-^1 ) t ].
55. De acordo com a discussão da Seção 16-12, as ondas se combinam para produzir uma onda estacionária. O tempo que o antinó leva para passar da posição de deslocamento máximo para a posição de deslocamento mínimo, ∆t, corresponde a meio período da onda estacionária. Como, durante esse intervalo, o deslocamento de uma das ondas é dado por d = v∆t, em que v é a velocidade da onda, deduzimos que d = vT/2. Como v = w/k e T = 2p/w, chegamos à conclusão de que d = p/k, em que k é o número de onda de uma das ondas. Assim,
d = p/4,00p = 0,25 m.
56. Os nós estão situados nos locais em que o fator espacial sen 5px é zero. As soluções da equação sen 5px = 0 são
π x = π π π ⇒ x =
(a) O menor valor de x que corresponde a um nó é x = 0.
(b) O segundo menor valor de x que corresponde a um nó é x = 0,20 m.
(c) O terceiro menor valor de x que corresponde a um nó é x = 0,40 m.
(d) Todos os pontos (exceto os nós) descrevem um movimento harmônico simples cuja frequência é f = w/2p = 40p/2p = 20 Hz. Assim, o período do movimento oscilatório é T = 1/f = 0,050 s = 50 ms.
(e) Comparando a Eq. 16-58 com a Eq. 16-60, concluímos que as ondas progressivas que compõem a onda estacionária são re- presentadas pelas equações
y 1 (^) = 0,020sen(5 π x − 40 π t ) e y 2 = 0,020sen(5 π x + 40 π t ).
Assim, a velocidade das ondas é v = w/k = 40p/5p = 8,0 m/s.
(f) A amplitude das ondas é ym = 0,020 m = 2,0 cm.
(g) A derivada em relação ao tempo da função que representa a onda estacionária é
(0,040)(40 )sen(5 )sen(40 ) y u x t t π π π
que se anula (em qualquer instante t) para sen(40 πt) = 0. A solução desta última equação é
π t = π π π ⇒ t =
Assim, o primeiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula é t = 0 s.
(h) O segundo instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula é t = 1/40 s = 0,025 s = 25 ms.
(i) O terceiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula é t = 2/40 s = 0,050 s = 50 ms.
57. (a) Como a frequência angular é w = 8,00p/2 = 4,00p rad/s, a frequência é
f = w/2p = (4,00p rad/s)/2p = 2,00 Hz.
(b) Como o número de onda é k = 2,00p/2 = 1,00p m–1, o comprimento de onda é
l = 2p/ k = 2p/(1,00p m–1) = 2,00 m.
(c) A velocidade de cada onda é
v = λ f = (2,00m)(2,00Hz) = 4,00 m/s.
(d) Precisamos somar duas funções cosseno. Para isso, usamos as identidades
cos cos sen sen 2sen cos 2 2 2 2
2cos cos. 2 2
α β α^ π β π α^ β α^ β
α β α
π
β
^ ^ ^ ^ ≡^ ^ ^ ^
Fazendo a = kx e b = wt, obtemos
ym cos( kx + ω t ) + ym cos( kx − ω t ) = 2 ym cos( kx )cos( ω t ).
Os nós são os pontos em que cos(kx) = 0, que nos dá kx = np + p/2, em que n é zero ou um número inteiro. Como, de acordo
x = 0,500 m = 50,0 cm (n = 0).
(e) O segundo menor valor de x que corresponde a um nó é x = 1,50 m = 150 cm (n = 1).
(f) O terceiro menor valor de x que corresponde a um nó é x = 2,50 m = 250 cm (n = 2).
(g) Os antinós são os pontos em que cos(kx) = ±1, o que nos dá kx = np, em que n é zero ou um número inteiro. Assim, x = n(1,00 m) e o menor valor de x que corresponde a um antinó é x = 0 (n = 0).
(h) O segundo menor valor que corresponde a um antinó é x = 1,00 m = 100 cm (n = 1).
(i) O terceiro menor valor que corresponde a um antinó é x = 2,00 m = 200 cm (n = 2).
58. De acordo com as Eqs. 16-26 e 16-66, as frequências de ressonância são dadas por
f nv^ n^ n^ mg n L L L
τ μ μ
(a) Explicitando a massa nessa equação e fazendo n = 4, obtemos
2 2 2 2 2 4 2 2
4 4(1,20 m) (120 Hz) (0,00160 kg/m) (^) 0,846 kg n (4) (9,80 m/s )
m L f n g
(b) Fazendo m = 1,00 kg na equação da frequência e explicitando n, obtemos
2 2 2 2 2
4 4(1,20 m) (120 Hz) (0,00160 kg/m) (^) 3,68. 9,80 m/s
n L f g
= μ= =
Como o resultado não é um número inteiro, para esse valor da massa não é possível produzir ondas estacionárias na corda usando um oscilador com uma frequência de 120 Hz.
59. (a) A frequência é a mesma nos dois fios, porém a velocidade da onda e o comprimento de onda são diferentes. Suponha que existem n 1 meios comprimentos de onda na onda estacionária do fio de alumínio. Nesse caso,
L 1 = n 1 l 1 /2 = n 1 v 1 /2 f ,
em que l 1 é o comprimento de onda e v 1 é a velocidade da onda no fio de alumínio. Isso nos dá f = n 1 v 1 /2L 1. Analogamente, no caso do fio de aço, f = n 2 v 2 /2L 2. Como a frequência é a mesma nos dois fios, n 1 v 1 /L 1 = n 2 v 2 /L 2. A velocidade da onda no fio de alumínio é dada por (^) v 1 = τ μ/ 1 ,em que m 1 é a massa específica linear do fio de alumínio. A massa do fio de alumínio é dada por m 1 = r 1 AL 1 , em que r 1 é a massa específica do alumínio e A é a área da seção reta do fio. Assim,
m 1 = r 1 AL 1 / L 1 = r 1 A
(c) A frequência angular é w = 2pf = 2p(400 Hz) = 2510 s−^1 = 2,5× 103 s−^1.
(d) O sinal que precede w é o sinal negativo, já que a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x.
De acordo com os resultados anteriores, a onda pode ser descrita pela equação
y x t ( , (^) ) = (2,00 cm)sen (62,8m^ −^1 ) x − (2,5 × 103 s −^1 ) t .
(e) A velocidade transversal de um ponto da corda pode ser calculada derivando y em relação a t:
( ,^ ) (2,5^103 s^1 )(2,00 cm)sen (62,8m^1 )^ (2,5^103 s^1 )^ , u x t y x t t
− (^) − −
o que nos dá uma velocidade transversal máxima de (2,5 × 103 s−^1 )(2,00 cm) = 50 m/s.
(f) A velocidade da onda é
3 1 1
2,5 10 s 40 m s. 62,8 m
v T k
λ ω − −
63. (a) Como v = f l, temos
240 m/s (^) 75 Hz. 3,2m
f = =
(b) Como o período é o recíproco da frequência,
(^1 1) 0,0133 s 13ms. 75 Hz
f
64. (a) Em x = 2,3 m e t = 0,16 s, o deslocamento é
y x t ( , ) = 0,15sen (0,79)(2,3)^ −13(0,16) m = −0,039 m = 3,9 cm.
(b) Para que seja produzida uma onda estacionária, é preciso que a amplitude da segunda onda seja igual à da primeira, ou seja, devemos ter ym = 0,15 m.
(c) Como a segunda onda deve ter o mesmo número de onda que a primeira, k = 0,79 m−^1.
(d) Como a segunda onda deve ter a mesma frequência angular que a primeira, w = 13 s−^1.
(e) Como a segunda onda deve estar se propagando no sentido contrário ao da primeira, o sinal que precede w deve ser o sinal negativo.
A equação da segunda onda é, portanto,
y ' ( x,t ) = (0,15 m)sen(0,79 x + 13 t ).
(f) O deslocamento da onda estacionária em x = 2,3 m e t = 0,16 s é
y x t ( , ) = −0,039m + (0,15m)sen[(0,79)(2,3) +13(0,16)] = −0,14m.
65. (a) A amplitude é ym = 2,0 mm.
(b) Como w = 600 rad/s, a frequência é f = 600/2p ≈ 95 Hz.
(c) Como k = 20 m−^1 , a velocidade da onda é v = w/k = 600/20 = +30 m/s.
(d) O comprimento de onda é l = 2p/k ≈ 0,31 m = 31 cm.
(e) Derivando a equação da onda em relação a t, obtemos
u dy ym cos( kx t ) um ym dt
= = − ω − ω ⇒ = ω ,
portanto, a velocidade transversal máxima é um = (600)(2,0) = 1200 mm/s = 1,2 m/s.
66. Fazendo x = 0 na equação y = ym sen(kx − wt + f), obtemos y = ym sen(−ωt +f) como a função cujo gráfico aparece na Fig.
16-43. Note que a inclinação da curva é positiva no instante t = 0, ou seja,
m^ sen^ m cos^0
dy d y t y t dt dt = ^ (− ω + φ) = − ω (−ω +φ ) >
no instante t = 0. Isso significa que –cos f > 0 e, portanto, que f está no segundo ou no terceiro quadrante. De acordo com a figura, y = 2,00 mm no instante t = 0 e passa por um máximo ym = 6,00 mm em um instante posterior. Assim,
y = ym sen(-w t + f)| t = 0 ⇒ f = sen-^1 (1/3) = 0,34 rad ou 2,8 rad
Convém observar que sen q = sen(p − q) e que devemos escolher f = 2,8 rad porque este ângulo, que corresponde a cerca de 160°,
está no segundo quadrante, enquanto o outro ângulo, f = 0,34 rad = 19o, está no primeiro quadrante. Naturalmente, podemos obter
outras respostas válidas somando ou subtraindo de f múltiplos inteiros de 2p, de modo que, por exemplo, f = 2,8 – 2p = −3,5 rad
também é uma resposta válida.
67. Comparando a onda resultante com a equação geral (Eq. 16-51), constatamos que 2ymcos(f/2) = 3,0 mm, k = 20 m−^1 e
f/2 = 0,820 rad. Assim,
(a) l = 2p/k = 0,31 m.
(b) f = 1,64 rad.
(c) ym = 3,0 mm/2cos(0,820 rad) = 2,2 mm.
68. (a) Como foi visto na Seção 16-5, a velocidade de qualquer função da forma y(x,t) = h(kx ± wt) é dada por −w/k. Assim, a velocidade do pulso h(x − 5 t) é (1 cm)/(5 s) = 5,0 cm/s.
(b) Como o sinal que precede a frequência angular é positivo, o pulso está se propagando no sentido positivo do eixo x.
(c) A figura a seguir mostra o pulso no instante t = 2 s. A escala horizontal está em centímetros e a escala vertical está na mesma
unidade que a da Fig. 16-44, que não foi especificada no enunciado do problema.
(d) A borda dianteira do pulso chega ao ponto x = 10 cm no instante t = (10 – 4,0)/5 = 1,2 s. O ponto de máximo deslocamento do
pulso (h = 2) chega ao ponto x = 10 cm no instante t = (10 – 3,0)/5 = 1,4 s. Finalmente, a borda traseira do pulso chega ao ponto
x = 10 cm no instante t = (10 – 1,0)/5 = 1,8 s. A figura a seguir mostra o gráfico resultante. A escala horizontal está em segundos
e a escala vertical está na mesma unidade que a da Fig. 16-44.