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Este documento propõe uma abordagem não convencional para o estudo de probabilidade, aproximando os alunos do tema através de atividades relacionadas a jogos de loteria, como o experimento de lançar moedas e o jogo da mega sena. São abordados conceitos importantes, tais como eventos, eventos complementares, lema de kaplansky, e cálculo de probabilidades utilizando o evento complementar. Além disso, é realizado um levantamento sobre as probabilidades de acerto em algum prêmio no jogo da mega sena, levando em consideração as possibilidades de apostas com diferentes quantidades de números.
O que você vai aprender
Tipologia: Exercícios
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Não perca as partes importantes!
Orientador: Prof. Dr. ROBERTO IMBUZEIRO OLIVEIRA
Rio de Janeiro - RJ 2013
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissional em Matemática do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, como requisito parcial de obtenção do Grau de Mestre. Área de concentração: Ensino de Matemática
Dedicatória
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, aos meus pais, a minha esposa e a minha filha, razão de todo este esforço.
Primeiramente a Deus, que com sua infinita bondade, permitiu que esta vitória fosse alcançada.
A todos os professores que contribuíram para minha formação, em especial ao Prof. Dr. Roberto Imbuzeiro, orientador deste trabalho.
À minha esposa Micheli, pelo companheirismo em todos esses anos e pelo apoio à realização do curso.
À minha filha Gabriela, que apesar de sua pouca idade, me ensina muito com seus pequenos atos.
À minha mãe Ariete, pela educação e dedicação a todos os filhos. Ao meu pai Sebastião, in memorian, pelo exemplo de luta e sacrifício em prol da educação e provimento da família.
À minha avó Ivette, pelo carinho e preocupação. Aos meus sogros, Joel e Ana, sempre disponíveis para ajudar quando há necessidade.
Aos amigos Paulo Pereira e Iury Kersnowsky, companheiros em todos os momentos.
As funcionárias Ana Cristina, Isabel Cherques, Kenia Rosa, Andrea Pereira e Josenildo Pedro, do departamento de Ensino, pela excelência no atendimento aos alunos.
This course conclusion work discusses the basics of probability calculus in equiprobable sample spaces, applied to lottery games in Brazil. It is proposed to construct a teaching method in which they are embedded game situations in order to solve problems as an alternative to the traditional way teachers usually develop the theme. In this context, the research suggests that this thematic approach will provide the motivation necessary for a good understanding of this concept. The activities in question have as target high school students and teachers who teach in basic education.
Keywords: Probability, games, lotteries and high school level.
propriamente dito, de probabilidades, mais precisamente, do jogo Mega Sena. Foi feito um levantamento minucioso a respeito de chances e ganhos de prêmios, esclarecendo matematicamente a probabilidade de acertos. No capítulo 5, considerado a base deste do trabalho, são propostas quatro atividades a serem desenvolvidas pelos professores em sala de aula. Essas atividades visam abordar o conceito de probabilidade a partir de uma série crescente de desafios, onde em cada questão tratamos de aspectos relacionados à probabilidade, como independência de eventos, lema de Kaplansky e cálculo de probabilidades utilizando o evento complementar. No capítulo 6 é feita uma coletânea de questões de vestibulares no Brasil onde o tema probabilidade, associado a jogos de loteria, foi cobrado. Abaixo de cada questão foi elaborado seu respectivo gabarito comentado. Por fim, a conclusão do trabalho relata o que se espera a respeito desta e de outras práticas pedagógicas visando o desenvolvimento da matemática em sala de aula. O apêndice pode ser considerado uma extensão do capítulo 4, onde todos os jogos relatados no terceiro capítulo têm seus prêmios e probabilidades analisados. É valioso salientar que a presente pesquisa não se trata de um “Manual para ganhar nas loterias”, mesmo porque para tal assunto, como cada concurso não influencia no outro, a independência de eventos não me permite escrever.
O ser humano, desde os primórdios, tem certa atração por jogos e premiações. Ganhar bens materiais, recompensas ou lucros monetários sempre fizeram parte do perfil do homem. Tanto que as primeiras apostam que se têm registro, ocorreram em forma de sorteio, há milhares de anos pelos egípcios e mais tarde por romanos e pelos gregos, reconhecidos apreciadores de esportes.
Para os matemáticos, jogos eram vistos como desafios e por isso despertavam bastante interesse. Girolamo Cardano, Tartaglia, Blaise Pascal, Fermat e Meré foram alguns dos que se dedicaram ao assunto. Dentre algumas questões, uma questão em especial despertou a atenção da comunidade matemática por volta de 1494, na publicação do livro Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità , onde o famoso “problema dos pontos” foi proposto:^1
“Dois jogadores, A e B, de igual habilidade estão empenhados em um jogo de balla. Eles concordam em continuar até que um deles vença 6 rodadas. O jogo é encerrado quando A vencia 5 e B vencia 3 rodadas. Como devem ser divididas as apostas?”
As inúmeras propostas de resolução deste problema serviram como base de desenvolvimento da teoria das probabilidades. Questões envolvendo dados, cartas e loterias também atraía o interesse dos seguidores da teoria.
As loterias surgiram no século XV na Alemanha, ainda de forma bem elementar, mas que incentivou a promoção de concursos em outros países da Europa, como Inglaterra, Itália (alguns historiadores defendem que a Basílica de São Pedro, em Roma, foi construída com auxílio de dividendos de loterias) e principalmente a França, que via nessas apostas uma maneira de benefício aos cofres públicos. Já nos Estados Unidos, pesquisam apontam para a construção de 50 universidades, dentre elas Harvard e Princeton, e 200 escolas com recursos provenientes de loterias. No Brasil, a primeira loteria surgiu em 1784, em Vila Rica (atual Ouro Preto), então capital de Minas Gerais, com o objetivo de arrecadar fundos para construção de prédios públicos, como a Câmara
(^1) http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/584/
Neste capítulo faremos uma abordagem teórica a respeito do tema “probabilidades”, como forma de propiciar ao leitor o entendimento dos assuntos tratados a diante. É importante salientar que nosso principal interesse é estudar fenômenos em que o acaso é relevante.
Experimentos aleatórios
Denomina-se experimento aleatório (não determinístico) todo fenômeno cujo resultado não é previsível. É importante ressaltar que, apesar dos experimentos aleatórios não produzirem o mesmo resultado, eles mantém um comportamento regular, no que tange à estatística, tendo em vista que ao considerar um grande número de realizações, cada resultado ocorre em um número “esperado” de vezes. Como forma de facilitação do entendimento a respeito do conceito de fenômenos aleatórios, citaremos abaixo alguns exemplos:
Experimento 1: Jogar um dado e observar a face voltada para cima Experimento 2: Retirar uma carta de um baralho e observar o seu naipe. Experimento 3: De uma urna que só contém bolas azuis, brancas e pretas, retirar uma bola e observar sua cor. Experimento 4: Escolher, ao acaso, uma pessoa num grupo e determinar seu tipo sanguíneo. Os experimentos que não são aleatórios são chamados de experimentos determinísticos, ou seja, são aqueles em que os resultados podem ser determinados. Por exemplo, percorrer 200 km, a uma velocidade constante de 80 km/h e determinar o tempo gasto neste percurso.
Espaço Amostral
Para modelar experimentos aleatórios, um primeiro passo é definir o conjunto de possíveis resultados do referido experimento. Este conjunto é chamado de espaço amostral do experimento. Representaremos o espaço amostral de um experimento pela letra S.
Exemplos:
a) Consideremos o experimento de lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. Neste caso, os resultados possíveis são Cara ou Coroa. Logo, S = {Cara, Coroa}
b) Para o experimento de lançar duas moedas e observar o par de faces voltadas para cima e considerando Cara = C e Coroa = K, temos que S = {(C;C); (C;K); (K;C); (K;K)}
c) Em uma urna que contém 10 bolas numeradas de 1 a 10, retirar uma bola e observar seu número. S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Devemos observar a importância de descrever o espaço amostral em relação ao experimento a que estamos nos referindo, para que possamos ter uma ideia clara do que estamos mensurando. Isto fica bem evidenciado quando considerarmos um experimento composto por mais de uma ação, como por exemplo, lançar um dado e em seguida lançar uma moeda e observar o par obtido. Vamos descrever o espaço amostral S associado a este experimento:
S = {(1;C); (1;K); (2;C); (2;K); (3;C); (3;K); (4;C); (4;K); (5;C); (5;K); (6;C); (6;K)}
Muitas das vezes, não estaremos preocupados em descrever todos os elementos do espaço amostral associados a um experimento e sim determinar o número de elementos do conjunto, isto é, sua cardinalidade (n(S)). Para isso, o conceito de Princípio Multiplicativo, estudado em análise combinatória, será extremamente importante. No exemplo anterior, n(S) poderia ser calculado fazendo 2 x 6 = 12, onde 2 representa o número de possibilidades de ocorrência na primeira ação (lançar uma moeda) e 6 o número de possibilidades de ocorrência na segunda ação (lançar um dado).
n(C) = 6 Este evento é denominado evento certo, pois o conjunto C é exatamente igual ao espaço amostral.
d) Evento D: sair um número maior que 10 D = Ø n(D) = 0 Este evento é denominado evento impossível, pois o conjunto D é vazio.
Combinação de eventos
I) União de eventos:
Seja e 1 , e 2 , e 3 , ..., en uma sequência de eventos. Então, a união desses eventos é denotada por:
II) Intersecção de eventos:
Seja e 1 , e 2 , e 3 , ..., en uma sequência de eventos. Então a intersecção desses eventos é denotada por:
Em particular, se a intersecção dos eventos acima for vazia, então os eventos são denominados mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes.
III) Complementar de um evento:
Seja E um evento. Então também é um evento e ocorrerá se, e somente se, o evento E não ocorrer. O evento é chamado de evento complementar do evento E.
Exemplo:
Um dado é lançado e observa-se a face voltada para cima. É imediato que S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Vamos determinar os seguintes eventos:
A = {1; 3; 5}
B = {1; 2; 3}
A B = {1; 2; 3; 5}
A B = {1; 3}
= {4; 5; 6}
O conceito de probabilidade
Nosso objetivo nesta seção é conseguir atribuir a cada evento de um experimento aleatório um número associado a sua chance de ocorrência. Para isso, faremos a definição formal do conceito de probabilidade.
Apesar de termos feito algumas definições, não sabemos ainda, calcular a probabilidade de ocorrência de um evento. Diante disso, vamos considerar S = {e 1 , e 2 , e 3 , ..., en} o espaço amostral de um experimento aleatório. Nesta dissertação iremos sempre supor que os elementos de S são EQUIPROVÁVEIS, ou seja, todos os
seja A S, um evento com “k” elementos. Então:
P(A) = =
Esta definição pode ser sintetizada entendendo que os elementos de A referem-se aos casos favoráveis ao evento A, tendo em vista que se caso algum “ocorra”, E também ocorrerá. Logo, a definição acima pode ser resumida da seguinte maneira:
P(A) =
Obs: Novamente, cabe ressaltar que tal processo refere-se ao caso em que os elementos do espaço amostral são equiprováveis.
Exemplos:
I) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um número maior que 4?
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
Evento E: sair um número maior que 4
E = {5, 6}
n(E) = 2
P(E) =
II) Ao sortear um número inteiro de 1 a 30, qual é a probabilidade de ser sorteado um número menor que 8?
S = {1, 2, 3, 4, ..., 30}
n(S) = 30
Evento E = ser sorteado um número menor que 8
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
n(E) = 7
P(E) =
III) Uma urna contém 8 bolas pretas, 3 bolas brancas e 5 bolas verdes. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada não ser verde?
n(S) = 16
Evento E: sortear uma bola que não seja verde
n(E) = 11
P(E) =
IV) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade de sair cara exatamente 4 vezes?
Inicialmente devemos perceber que o espaço amostral é composto por 64 elementos (2^6 ). Em seguida, observemos que para saírem exatamente 4 caras, devemos ter 4 caras e 2 coroas. Permutando esses elementos, com repetição evidentemente,
temos = = 15. Portanto a probabilidade pedida é.
