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Números Inteiros Como Soma de
Quadrados †
por
João Evangelista Cabral dos Santos
sob orientação do
Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro
Trabalho de conclusão de curso apresen- tado ao Corpo Docente do Mestrado Pro- ssional em Matemática em Rede Nacio- nal PROFMAT CCEN-UFPB, como re- quisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Agosto/ João Pessoa - PB †O presente trabalho foi realizado com apoio da CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.
Agradecimentos
Quero agradecer primeiramente a Deus, meus pais, minha esposa e lhos pela compreensão e ao meu orientador pela atenção e ideias para este trabalho.
Dedicatória
A todos os que se alegram com o nosso sucesso.
Abstract
This paper is a survey on representation of integers as sums of squares for the cases where we have the sum of two, three and four squares. The idea is to study conditions so that we can ensure the representation of numbers that are written as the sum of two and four square. The central focus is the statement of the theorem of Lagrange four squares, although we have gone a little further studying Fermat' s technique of in nite descense and the case n = 3 of Fermat's last theorem. Finally, we work with the development of a didactic sequence that can be used in the nal grades of elementary school and middle school, addressing Chapter 2 of this dissertation. Keywords: Whole numbers, Fermat's last theorem, the sum of squares.
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Sumário
- 1 Alguns Resultados Importantes
- 2 Representação de Inteiros como Soma de Quadrados
- 2.1 O Problema de Waring
- 2.2 Soma de dois Quadrados
- 2.3 Soma de Três Quadrados
- 2.4 Soma de Quatro Quadrados
- 2.5 Um Teorema de Unicidade de Euler
- 2.6 Descenso In nito de Fermat
- 2.7 O Último Teorema de Fermat
- 3 Uma Proposta de Atividade para o Ensino Médio
- 3.1 Apresentação da Atividade Proposta
- 3.2 Solução e Comentário de cada Item
- A Resultados Complementares
- Referências Bibliográ cas
quatro quadrados, visto que o caso mais geral que foi demosntrado por Hilbert foge ao propósito. Veremos resultados importantes para caracterizar números inteiros que podem ser representados como soma de dois e quatro quadrados. Finalmente, falaremos dos dois resultados centrais deste trabalho que são: o teorema dos quatro quadrados de Lagrange e o teorema da unicidade de Euler. Fomos um pouco mais adiante e ainda zemos duas seções bem interessantes: uma sobre a técnica do descenso in nito de Fermat, onde zemos um exemplo para podermos compreender melhor sua utilização, na outra seção, relembramos um pouco da história do útltimo teorema de Fermat e nalizamos fazendo um caso particular do mesmo, o caso n = 3, para termos mais ou menos a ideia de como é a demonstração deste Teorema. No terceiro e último capítulo elaboramos uma sequência didática baseada na teoria exposta no capítulo 2. Ela está dividida em duas partes, a primeira aborda os principais resultados do capítulo 2 , enquanto a segunda parte é uma aplicação a geometria destes conhecimentos. A atividade pode ser aplicada nas séries nais do ensino fundamental II e no ensino médio podendo ter ótimo rendimento entre os alunos visto que ela vai de um nível mais elementar para o nível mais complexo.
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Capítulo 1
Alguns Resultados Importantes
Neste capítulo faremos uma breve introdução no estudo dos resíduos quadráticos, enunciando e demonstrando alguns resultados importantes que servirão de base para resultados posteriores.
1.1 Resíduos Quadráticos
O interesse maior no estudo dos resíduos quadráticos está em estudar as soluções para a congruência x^2 ≡ a (mod m). Quando m é um primo ímpar e (a, m) = 1 ((a, b) é a notação para o máximo divisor comum entre a e b), a congruência, caso tenha solução, terá exatamente duas soluções incongruentes, é o que mostraremos no teorema abaixo.
Teorema 1.1 Para p primo ímpar e a um inteiro não divisível por p, a congruência abaixo, caso tenha solução, tem exatamente duas soluções incongruentes módulo p.
x^2 ≡ a (mod p)
Demonstração: Seja x 1 solução da congruência acima, podemos concluir que −x 1 também é solução pois, (−x 1 )^2 = (x 1 )^2 ≡ a (mod p). Temos que mostrar que
1
1.1. RESÍDUOS QUADRÁTICOS
Demonstração: Vamos considerar os quadrados dos números de 1 a p − 1. Assim, (1)^2 ≡ 1 (mod p), ou seja, 1 é resíduo quadrático da congruência x^2 ≡ 1 (mod p), mas ob- servemos que (−1)^2 = (1)^2 ≡ 1 (mod p), ou seja, − 1 também é solução desta congruência e, além disso, temos que − 1 ≡ p + (−1) = p − 1 (mod p), onde p − 1 também é solução da congruência, pois (p − 1)^2 = p^2 − 2 p + 1, portanto (p − 1)^2 ≡ 1 (mod p), logo pelo teorema 1. 1 concluímos que 1 e p − 1 são as únicas soluções incongruentes de x^2 ≡ 1 (mod p), entre os números 1 , 2 , 3 ,... , p − 1. Consideremos agora o 22 que será congruente a algum número k diferente de 1 , da mesma forma (−2)^2 também o é. Observando que − 2 ≡ p + (−2) = p − 2 (mod p), novamente pelo teorema 1. 1 concluímos que 2 e p− 2 são as únicas soluções incongruentes de x^2 ≡ k (mod p) dentre os números i = 1, 2 , 3 ,... , p − 1. Se tomarmos agora 32 e este será congruente a algum q diferente de 1 e de k, analagomente ao que foi mostrado temos que (−3)^2 também será congruente a q e além disso, − 3 ≡ p − 3 (mod ) então − 3 e p − 3 são as únicas soluções incongruentes de x^2 ≡ q (mod p) dentre os números i = 1, 2 , 3 ,... , p − 1. Temos como resíduos quadráticos os números 1 , k e q das congruências x^2 ≡ 1 (mod p), x^2 ≡ k (mod p) e x^2 ≡ q (mod p) sendo suas respectivas soluções os pares (1, p − 1), (2, p − 2) e (3, p − 3). Se continuarmos procedendo desta maneira teremos p− 2 1 pares de soluções
(1, p − 1), (2, p − 2), (3, p − 3),... ,
(p − 1 2 ,
p − 1 2
onde cada par é solução para uma dentre as p− 2 1 congruências associadas a p− 21 resíduos quadráticos.
Teorema 1.3 Para p primo, a congruência x^2 ≡ −1 (mod p) tem solução se, e somente se, p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4).
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1.1. RESÍDUOS QUADRÁTICOS
Demonstração: Caso p=2: de fato, para x = 1 a congruência x^2 ≡ −1 (mod 2) tem solução, sabemos que 2 ≡ 0 (mod 2), daí adicionando − 1 a congruência, obtemos 2+(−1) ≡ 0 + (−1) (mod 2) assim, 1 ≡ −1 (mod 2) e daí 12 ≡ −1 (mod 2), o que nos mostra que realmente x = 1 é solução da congruência. Resta agora mostrar que existe uma solução para p ≡ 1 (mod 4). Sendo p primo pelo teorema de Wilson, vide apêndice, podemos garantir que (p − 1)! ≡ −1 (mod p), como p > 2 é primo então p − 1 é par, logo (p − 1)! tem uma quantidade par de fatores, ou seja, p − 1 fatores exatamente. Daí poderemos escrever o teorema de Wilson da seguinte forma
(p − 1)! = (p − 1) · (p − 2) ·... (p − k)...
(p + 1 2
! ≡ −1 (mod p),
observemos que há neste momento p− 2 1 fatores, de fato, observemos que os fatores ((p − 1), (p − 2),.. .), (p − k),... 3 , 2 , 1) formam uma P.A de razão − 1 , daí o termo
ap− 21 = (p − 1) +
(p − 1 2 −^1
= p − 1 + 1 − 1 − 2 p = p − 1 − 2 p =^2 p^ + 1 2 −^ p = p^ + 1 2. Ainda podemos escrever (p − 1)! = (p − 1) · (p − 2) ·... · (p − k) ·... ·
(p + 1 2
! ≡ −1 (mod p) como,
1.1. RESÍDUOS QUADRÁTICOS
∏^ p−^21 k=
(−k^2 ) = (− 12 ) · (− 22 )... · (−
(p − 1 2
= (−1) · (−1) ·... · (−1)(1^2 ) · (2^2 )... ·
(p − 1 2
= (−1)p−^21
1 · 2... · p^ − 2 1
= (−1)p−^21
∏^ p−^21 k=
k
2 ≡ − 1 (mod p)). (1.3)
Como p ≡ 1 (mod 4), podemos a rmar que p− 2 1 é par. De fato, sendo p ≡ 1 (mod 4) existe s inteiro tal que p = 4s + 1 logo p − 1 = 4s, sendo p um primo maior do que dois então este é impar, portanto p − 1 é, par, então ao dividirmos ambos os membros da equação por 2 teremos p− 2 1 = 2s, o que no diz que p− 2 1 é par. Daí, (−1)p−^2 1 = 1, logo, (∏ p− 21 k=1 k)^2 ≡ −1 (mod^ p)^ o que nos diz que x = ∏ p− 11 k=1 = 1^ ·^2 ·^3 ·^...^ ·^
p − 1 2 =
(p − 1 2
é uma solução de x^2 ≡ −1 (mod p). Vamos supor agora que a congruência x^2 ≡ −1 (mod p) tenha solução e que p > 2 , pois x^2 ≡ −1 (mod 2) tem solução x = 1. Elevando a congruência a potência p− 2 1 obtemos
(x^2 )p−^2 1 ≡ (−1)p−^2 1 (mod p)
que é o mesmo que
xp−^1 ≡ (−1)p−^2 1 (mod p)
. Como x^2 ≡ −1 (mod p), nós podemos dizer que p - x^2 e daí p - x, portanto pelo pequeno teorema de Fermat, vide apendice, (x)p−^1 ≡ 1 (mod p), aí teremos
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1.1. RESÍDUOS QUADRÁTICOS
(−1)p−^2 1 ≡ 1 (mod p) o que nos permite a rmar que p− 2 1 é par, daí existe j inteiro tal que p− 2 1 = 2j, o que podemos ainda como p − 1 = 4j e assim termos p = 4j + 1 o que acarreta p ≡ 1 (mod 4), e assim concluímos a nossa demonstração.
De nição 1.3 Para p um primo ímpar e a um inteiro não divisível por p, de nimos o Símbolo de Legendre (ap ) por:
(a p
1 , se a é um resíduo quadrático de p; − 1 , se a não é um resíduo quadrático de p.
Teorema 1.4 (Critério de Euler) Se p for um primo ímpar e a um inteiro não- divisível por p, então: (a p
≡ ap−^2 1 (mod p)
Demonstração: Supondo que, (ap ) = 1, ou seja, a congruência x^2 ≡ a (mod p) tem solução. Seja y tal solução, daí teremos que y^2 ≡ a (mod p) implicando em y^2 − a ≡ 0 (mod p), assim, concluímos que p divide y^2 − a, mas p não divide a, portanto não pode dividir y, logo (y, p) = 1 e pelo pequeno teorema de Fermat temos que yp−^1 ≡ 1 (mod p), assim (y^2 )p−^2 1 ≡ ap−^2 1 (mod p) então ap−^2 1 ≡ yp−^1 ≡ 1 (mod p), portanto ap−^2 1 ≡ 1 (mod p) e assim (ap ) ≡ ap−^2 1 ≡ 1 e isto conclui o caso em que (ap ) = 1. Vamos considerar agora o caso em que (ap ) = − 1 , isto é, tomemos a um resíduo não-quadrático de p e seja c um dos inteiros { 1 , 2 , 3 ,... , p− 1 }. Lembrando um pouco das congruências linear, sabemos que existe uma solução c′ de cx ≡ a (mod p), onde c′ está no conjunto mencionado. Observemos que c′^6 = c, pois se c = c′ teríamos c^2 ≡ a (mod p), mas isto nos diz que a é resíduo quadrático, o que contradiz o fato de que (ap ) = − 1. Daí podemos dividir os inteiros de 1 até p − 1 em p− 2 1 pares, c e c′ , onde cc′ ≡ a (mod p), o que nos dá p− 2 1 congruências.
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1.1. RESÍDUOS QUADRÁTICOS
(ab p
≡ (ab)p−^2 1 (mod p)
Lembrando que
(ab)p−^2 1 = ap−^2 1 bp−^21
e (a p
≡ ap−^2 1 (mod p) e
( (^) b p
≡ bp−^2 1 (mod p),
e assim, podemos concluir que
(ab)p−^2 1 = ap−^2 1 bp−^2 1 ≡
(a p
) ( (^) b p
(mod p).
Portanto, (ab p
(a p
) ( (^) b p
Corolário 1.
(a 2 p
Demonstração: Usando o teorema 1. 5 e considerando a = b aliado ao fato de que (ap ) = ± 1 , temos (a 2 p
(a p
) (a p
como (ap ) = ± 1 , temos que se (ap ) = 1, então (a 2 p
(a p
) (a p
agora, se (ap ) = − 1 , teremos
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1.1. RESÍDUOS QUADRÁTICOS
(a 2 p
(a p
) (a p
concluindo assim a demonstração.
Teorema 1.6 Para p primo ímpar, temos:
(− 1 p
1 , se p ≡ 1 (mod 4); − 1 , se p ≡ 3 (mod 4). Demonstração: Sabemos do Critério de Euler que : (− 1 p
≡ (−1)p−^2 1 (mod p)
Da expressão acima podemos concluir que (− p^1 ) = 1 se p− 2 1 for par e (− p^1 ) = − 1 quando p− 2 1 ímpar. Se p for um primo ímpar, existem apenas duas possibilidades para p, em termos de congruência módulo 4 , p ≡ 1 (mod 4) ou p ≡ 3 (mod 4). Se p ≡ 1 (mod 4), existe s inteiro tal que p = 4s + 1 onde p − 1 = 4s e assim termos p− 2 1 = 2s, ou seja, p− 2 1 é par. Se p ≡ 3 (mod 4), existe k inteiro tal que p = 4k + 3
podendo ser escrito da seguinte forma p−1 = 2(2k +1) concluíndo que p− 2 1 = 2k +1, ou seja, p− 2 1 é ímpar. Portanto, quando p ≡ 1 (mod 4) temos (− p^1 ) = 1 e quando p ≡ 3 (mod 4) tem-se (− p^1 ) = − 1.
Proposição 1.1 sejam a, b e m inteiros tais que m > 0 e (a, m) = d. No caso que d - b a congruência ax ≡ b (mod m) não possui nenhuma solução e quando d | b possui exatamente d soluções incongruentes módulo m.
Demonstração: como a e b são inteiros, ax ≡ b (mod m) se, e somente se, existir y tal que ax = b + ym, ou seja, b = ax − ym. Sabemos que se d - b então a
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