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Notas de Aulas 5 - Fun¸c˜oes Elementares e
C´alculo de Limites - Parte II
Prof Carlos A S Soares
1 No¸c˜ao Intuitiva de limites
1.1 O Conceito de Limites Atrav´es de Gr´aficos
Nesta subse¸c˜ao estaremos apresentando o conceito de limites atrav´es do gr´aficos de v´arias fun¸c˜oes. Estaremos interessados em, supondo f uma fun¸c˜ao, entender o significado de cada uma das express˜oes lim x!a f (x), lim x!a+^
f (x) e lim x!a−^
f (x).
Exemplo 1 Seja f : R! R a fun¸c˜ao f (x) = 2x + 1.
Sabemos que o gr´afico de f ´e o que se encontra esbo¸cado abaixo.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
−
1
2
3
4
x
y
No caso desta fun¸c˜ao, o que significa a express˜ao
lim x! 1
f (x),
ou, ainda, lim x! 1 (2x + 1)?
Determinar limx! 1 f (x) ´e simplesmente verificar de qual n´umero a imagem (y) se aproxima quando nos aproximamos de 1 no eixo x, isto ´e, podemos pensar que partimos de um certo ponto no eixo x e caminhamos em dire¸c˜ao ao n´umero 1. E importante observar que esta aproxima¸´ c˜ao pode se dar em dois sentidos, vindo da direita ou da esquerda. Durante o percurso, iremos observando o que est´a acontecendo com a imagem a cada passo e continuamos de forma a nos aproximarmos cada vez mais de 1. A pergunta a ser respondida ´e a seguinte:
Pergunta 2 Existe um n´umero do qual a imagem(y) se aproximar´a `a medida que formos nos aproximando cada vez mais de 1, sem pensarmos em atingir o 1, mas nos aproximando cada vez mais de 1?
Observando a figura ´e f´acil constatar que tal n´umero existe e ´e igual a 3.
Exemplo 3 Seja a fun¸c˜ao
f (x) =
2 x 1 se x 2 x 2 + 1^ se^ x <^2
O que concluir neste caso sobre lim x! 2 f (x)?
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
−
1
2
3
4
x
y
Vocˆe, certamente, percebe que a resposta `a pergunta 2 acima sobre esta fun¸c˜ao depender´a de como nos aproximamos de 2, isto ´e, depender´a de nos aproximarmos de 2 pela direita de 2 ou pela esquerda de 2. Da´ı, neste caso, num certo sentido, podemos dividir a nossa pergunta em duas, quais sejam:
Pergunta 4 Existe um n´umero do qual a imagem(y) se aproximar´a a medida que formos nos aproximando cada vez mais de 2 caminhando semprea direita de 2, isto ´e, atrav´es de n´umeros maiores que 2?
Pergunta 5 Existe um n´umero do qual a imagem(y) se aproximar´a a medida que formos nos aproximando cada vez mais de 2 caminhando semprea esquerda de 2, isto ´e, atrav´es de n´umeros menores que 2?
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
−
1
2
3
4
x
y
Exemplo 8 Seja a fun¸c˜ao
f (x) =
x + 3 se x 1 x^2 1 se 1 < x 2 3 se x > 2
Pede-se: (a) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f (b) Determine, se existirem, limx! 2 + f (x), limx! 2 − f (x) e limx! 2 f (x) (c) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 2. (d) Determine, se existirem, limx! 1 + f (x), limx! 1 − f (x) e limx! 1 f (x) (e) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 1 (f ) Determine, se existirem, limx! 1 +^ f (x), limx! 1 −^ f (x) e limx! 1 f (x) (g) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 1
Solu¸c˜ao 9 (a) O gr´afico vem dado a seguir.
(b) Novamente, observando o gr´afico, ´e simples concluir que limx! 2 + f (x) = 3, limx! 2 − f (x) = 3 e limx! 2 f (x) = 3
(c) N˜ao havendo salto em x = 2, temos que f ´e cont´ınua em x = 2. (d) Temos: limx! 1 + f (x) = 0, limx! 1 − f (x) = 0 e limx! 1 f (x) = 0 (e) Notando que n˜ao temos salto em x = 1 vemos que f ´e cont´ınua em x = 1. (f ) O gr´afico nos leva a concluir que limx! 1 + f (x) = 0, limx! 1 − f (x) = 2 e, novamente, @ limx! 1 f (x)
(g) f n˜ao ´e cont´ınua em x = 1 pois temos salto neste ponto.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
−
1
2
3
4
x
y
Exemplo 10 Seja a fun¸c˜ao
f (x) =
x^2 + 3 se x 1 x^2 x se 1 < x 2 3 se x > 2
Pede-se: (a) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f (b) Determine, se existirem, limx! 2 + f (x), limx! 2 − f (x) e limx! 2 f (x) (c) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 2. (d) Determine, se existirem, limx! 1 + f (x), limx! 1 − f (x) e limx! 1 f (x) (e) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 1 (f ) Determine, se existirem, limx! 1 +^ f (x), limx! 1 −^ f (x) e limx! 1 f (x) (g) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 1
Solu¸c˜ao 11 (a) Observe o gr´afico a seguir.
(b) Temos: limx! 2 + f (x) = 3, limx! 2 − f (x) = 2 e @ limx! 2 f (x) (c) f n˜ao ´e cont´ınua em x = 2 em fun¸c˜ao do salto. (d) E simples ver que´ limx! 1 + f (x) = 0, limx! 1 − f (x) = 0 e limx! 1 f (x) = 0 (e) N˜ao havendo salto neste ponto temos que f ´e cont´ınua em x = 1. (f ) limx! 1 +^ f (x) = 2, limx! 1 −^ f (x) = 4 e @ limx! 1 f (x) (g) Novamente, pelo salto que observamos no gr´afico, temos que f n˜ao ´e cont´ınua em x = 1
(e) f n˜ao ´e cont´ınua em x = 1 pois existe salto neste ponto.
Exemplo 14 Seja a fun¸c˜ao
f (x) =
jxj, se 1 x < 1 x^2 + 1 se x < 1 x^2 se x 1
Pede-se: (a) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f (b) Determine, se existirem, limx! 2 + f (x), limx! 2 − f (x) e limx! 2 f (x) (c) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 2. (d) Determine, se existirem, limx! 1 + f (x), limx! 1 − f (x) e limx! 1 f (x) (e) Observando o gr´afico, verifique se f ´e cont´ınua em x = 1
Solu¸c˜ao 15 (a) O gr´afico segue abaixo.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
−
1
2
3
4
x
y
(b) Temos: limx! 2 +^ f (x) = 4, limx! 2 −^ f (x) = 4 e limx! 2 f (x) = 4 (c) Sim, f ´e cont´ınua em x = 2 pois n˜ao temos salto. (d) limx! 1 + f (x) = 1, limx! 1 − f (x) = 1 e limx! 1 f (x) = 1 (e) f ´e cont´ınua em x = 1 pois n˜ao existe salto neste ponto.
Exemplo 16 Considere a fun¸c˜ao f (x) =
p x. Sendo y =
p x, teremos y^2 = x e, portanto, o gr´afico desta fun¸c˜ao ´e a parte da par´abola x = y^2 que est´a acima do eixo x, incluindo os pontos sobre o eixo x. Observe o gr´afico a seguir.
O que dizer, neste caso, de
lim x! 0 f (x), lim x! 0 +^
f (x) e lim x! 0 −^
f (x)?
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
−
1
2
3
4
x
y
Inicialmente, observemos que para pontos a esquerda de 0 n˜ao temos imagem, pois os pontosa esquerda de 0 n˜ao est˜ao no dom´ınio da fun¸c˜ao e, portanto, em casos como este, n˜ao tem sentido a express˜ao lim x! 0 −^
f (x)
e a determina¸c˜ao do limite se resume a limx! 0 + f (x). E simples ver que lim´ x! 0 + f (x) = 0 e, portanto, teremos lim x! 0 f (x) = 0.
A an´alise do exemplo acima nos leva ao seguinte coment´ario: A express˜ao limx!a− f (x) s´o tem sentido se a fun¸c˜ao est´a definida num intervalo, por menor que seja, a esquerda de a e come¸cando em a, n˜ao necessariamente contendo a, isto ´e, deve existir um intervalo do tipo ]b, a[ contido no dom´ıno de f. A express˜ao limx!a+^ f (x) s´o tem sentido se a fun¸c˜ao est´a definida num intervalo, por menor que seja,a direita de a e come¸cando em a, n˜ao necessariamente contendo a, isto ´e, deve existir um intervalo do tipo ]a, b[ contido no dom´ıno de f. A express˜ao limx!a f (x) tem sentido desde que pelo menos umas das situa¸c˜oes ocorra. Se as duas situa¸c˜oes ocorrerem, ent˜ao, teremos
lim x!a f (x) = l , lim x!a+^
f (x) = lim x!a−^
f (x) = l.
E claro que se somente uma das situa¸^ ´ c˜oes ocorre, tal como no exemplo anterior, o limite se resumir´a a esta situa¸c˜ao.
1.2 Exerc´ıcios
Em cada item abaixo, trace um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao e encontre os limites indicados, justificando caso o limite n˜ao exista. Determine, ainda, os pontos onde cada fun¸c˜ao ´e cont´ınua.
- f (x) =
2 se x < 1 1 se x = 1 3 se 1 < x
(a) limx! 1 +^ f (x) (b) limx! 1 −^ f (x) (c) limx! 1 f (x)
Resultado 19 (Propriedades operat´orias de Limites) Sejam f e g fun¸c˜oes tais que
lim x!x 0 f (x) = l e lim x!x 0 g(x) = m.
Ent˜ao:
(a) limx!x 0 (f (x) g(x)) = l m (b) limx!x 0 (f (x)g(x)) = lm. Em particular, se n ´e um n´umero natural, teremos limx!x 0 (f (x))n^ = ln
(c) Se f g^ ((xx)) est´a bem definida e m ̸= 0, teremos limx!x 0 f g^ ((xx)) = (^) ml
(d) Se n ´e um n´umero natural e n
f (x) est´a bem definida, teremos limx!x 0 n
f (x) = n
p l. (e) limx!x 0 jf (x)j = jlj.
Observa¸c˜ao 20 1. Quando trabalhamos com limx!x 0 f (x) n˜ao estamos interessados no valor de f quando x = x 0. Pode acontecer do limite existir ainda que x 0 n˜ao esteja no dom´ınio de f. Esta situa¸c˜ao ser´a exemplificada abaixo mas j´a foi abordada logo ap´os o exemplo 16.
- Os resultados acima ainda permanecem v´alidos se trocarmos limite por limites laterais!
- Uma consequˆencia dos itens (a) e (b) acima ´e que
lim x!x 0 anxn^ + an 1 xn ^1 +... + a 1 x + a 0 = anxn 0 +... + ax 0 + a 0.
Exemplo 21 Calcule os limites abaixo:
(a) limx! 2 x^3 + 2x^2 1 (b) limx! 1
x^2 + x^4 +2x 2 (c) limx!^2
x^2 4 x 2 (d) limx!
p 2
x p 2 x^2 2
(e) limh! 0 (x+h)
(^3) x 3 h (f^ ) limx!^12
8 x^2 2 6 x^2 5 x+1 (g) limx!^81
3 p^4 x 9 px (h) limx!^0
p px^2 +4 ^2 x^2 +9 3 (i) limx! 1 (5x + 1)^10 (j) limx! 1 x (^2) +20x 1 x+1 (l) limx! ^1
x^2 1 x+.
Solu¸c˜ao 22 (a) limx! 2 x^3 + 2x^2 1 = 2^3 + 2. 22 1 = 15
(b) Temos: limx! 1 x^2 + 1 = (1)^2 + 1 = 2 e limx! 1 x^4 + 2x 2 = 1^4 + 2. 1 2 = 1, o que nos
leva a, limx! 1 x (^2) + x^4 +2x 2 =^
2 1 = 1^ e, portanto,^ limx!^1
x^2 + x^4 +2x 2 =^
p 1 = 1.
(c) Temos: limx! 2 x^2 4 = 2^2 4 = 0 e limx! 2 x 2 = 2 2 = 0 e, portanto, n˜ao podemos aplicar o item (c) do resultado anterior. Mas, observemos que x^2 4 = (x 2)(x + 2) e,
da´ı, teremos, x
(^2) 4 x 2 =^
(x 2)(x+2) x 2 =^ x^ + 2, sendo^ x^ ̸= 2. Como no limite^ limx!^2
x^2 4 x 2 , n˜ao nos interessa quando x = 2, vem
lim x! 2
x^2 4 x 2
= lim x! 2 x + 2 = 4.
(d) Novamente, temos, limite do numerador e do denominador iguais a zero. Mas, obser- vemos que x
p 2 x^2 2
x
p 2 x^2 2
x +
p 2 x +
p 2
x^2 (
p 2)^2 (x^2 2)(x +
p
x +
p 2
sendo x ̸=
p
- Logo, teremos,
lim x!p 2
x
p 2 x^2 2
= lim x!p 2
x +
p 2
p 2
Uma outra solu¸c˜ao poderia ser obtida, simplesmente, observando que x^2 2 = (x
p 2)(x +
p
- e, da´ı, ter´ıamos
x
p 2 x^2 2
x
p 2 (x
p 2)(x +
p
x +
p 2
Agora, terminamos como acima.
(e) Mais uma vez temos o caso 00. Observemos que (x + h)^3 = x^3 + 3hx^2 + 3h^2 x + h^3 (confira observa¸c˜ao 23 a seguir) e, da´ı, temos
(x + h)^3 x^3 h
x^3 + 3hx^2 + 3h^2 x + h^3 x^3 h
h(3x^2 + 3hx + h^2 ) h
= 3x^2 +3hx+h^2 , pois h ̸= 0.
Logo, vem
lim h! 0
(x + h)^3 x^3 h
= lim h! 0
3 x^2 + 3hx + h^2 = 3x^2 .(Confira observa¸c˜ao 23 abaixo)
(f ) Novamente, temos o caso 00. Observe que as ra´ızes do denominador s˜ao x 1 = 1/ 2 , x 2 = 1 / 3 e as ra´ızes do numerador s˜ao x 1 = 1/ 2 , x 2 = 1 / 2 e, da´ı, teremos 6 x^2 5 x + 1 = 6(x 1 /2)(x 1 /3) e 8 x^2 2 = 8(x 1 /2)(x + 1/2)(Observa¸c˜ao 23 novamente). Logo, vem
8 x^2 2 6 x^2 5 x + 1
8(x + 1/2)(x 1 /2) 6(x 1 /2)(x 1 /3)
8(x + 1/2) 6(x 1 /3)
, pois x ̸= 1/ 2.
Logo,
lim x! (^12)
8 x^2 2 6 x^2 5 x + 1
= lim x! (^12)
8(x + 1/2) 6(x 1 /3)
(g) Mais um item do tipo 00. Neste caso, o mais interessante ´e usar uma mudan¸ca de
vari´aveis, isto ´e, podemos fazer 4
p x = y. E muito importante observar que` sempre ao fazermos uma mudan¸ca de vari´aveis devemos verificar qual mudan¸ca ocorrer´a no limite, j´a que nossa vari´avel era x e agora ser´a y. Note que, como x! 81 , teremos p (^4) x! 3 , isto ´e, y! 3 , pois estamos usando y = p (^4) x. Como y = p (^4) x = x (^14) , teremos
y^2 = (x
1 (^4) )^2 = x 1 (^2) =
p x. Logo
lim x! 81
p x 9
p x
= lim y! 3
3 y 9 y^2
= lim y! 3
3 y (3 y)(3 + y)
= lim y! 3
3 + y
Observando, como acima, que ( 4
p x)^2 = (x
1 (^4) )^2 = x 1 (^2) =
p x, uma segunda solu¸c˜ao pode ser obtida fazendo
lim x! 81
p x 9
p x
= lim x! 81
p x 9 ( 4
p x)^2
= lim x! 81
p x (3 4
p x)(3 + 4
p x)
= lim x! 81
p x
Vale observar que, para efeito de determina¸c˜ao do limite, o resultado ainda permanece v´alido se a fun¸c˜ao h est´a definida por
h(x) =
f (x) se x < x 0 g(x) se x > x 0 ou h(x) =
f (x) se x < x 0 g(x) se x x 0
Observa¸c˜ao 25 (Sobre existˆencia do limite e limites laterais) Ainda que j´a tenhamos abordado insistimos que, sendo f uma fun¸c˜ao definida a direita ea esquerda de x 0 , n˜ao ne- cessariamente em x 0 , existe limx!x 0 f (x) se, e somente se, existem e s˜ao iguais os limites laterais. Neste caso, teremos,
lim x!x− 0
f (x) = limx!x+ 0 f (x) = lim x!x 0 f (x).
Vale salientar que, quando uma fun¸c˜ao est´a definida somente a esquerda de um n´umero x 0 , limx!x 0 f (x) se reduzir´a ao limite laterala esquerda, isto ´e, neste caso, teremos
9 lim x!x 0 f (x) se, e somente se, 9 lim x!x− 0
f (x)
e, sendo este o caso, teremos lim x!x 0
f (x) = lim x!x− 0
f (x).
E claro que, quando a fun¸^ ´ c˜ao estiver definida somente a direita de um n´umero x 0 , limx!x 0 f (x) se reduzir´a ao limite laterala direita, isto ´e, neste caso teremos
9 lim x!x 0 f (x) se, e somente se, 9 lim x!x+ 0
f (x)
e lim x!x 0 f (x) = lim x!x+ 0
f (x).
Exemplo 26 1. Sendo f (x) = jx xj , determine: (a) limx! 0 −^ f (x) (b) limx! 0 +^ f (x) (c) limx! 0 f (x)
- Sendo f (x) =
x + 1 se x < 1 x^2 se 1 x 1 x se 1 < x
, determine:
(a) limx! 1 − f (x) (b) limx! 1 + f (x) (c) limx! 1 f (x) (d) limx! 1 − f (x) (e) limx! 1 + f (x) (f ) limx! 1 f (x)
- Sendo f (x) =
x + 1 se x < 1 jx^2 + xj se 1 x < 1 1 se 1 x
, determine:
(a) limx! 1 −^ f (x) (b) limx! 1 +^ f (x) (c) limx! 1 f (x) (d) limx! 1 −^ f (x) (e) limx! 1 + f (x) (f ) limx! 1 f (x)
- Sendo f (x) =
2 x a se x < 3 ax + 2b se 3 x 3 b 5 x se 3 < x
, determine os valores de a e b tais que
limx! 3 f (x) e limx! 3 f (x) existam.
Solu¸c˜ao 27 1. Como jxj =
x, x 0 x, x < 0 , teremos
f (x) =
{ (^) x xx^ ,^ x >^0 x ,^ x <^0
1 , x > 0 1 , x < 0
Note que a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida em x = 0, isto ´e, x = 0 n˜ao pertence ao dom´ınio de f. Usando o resultado 24 teremos: (a) limx! 0 −^ f (x) = limx! 0 1 = 1 (b) limx! 0 +^ f (x) = limx! 0 1 = 1 (c)@ limx! 0 f (x), pois os limites laterais s˜ao diferentes.
- Teremos (a) limx! 1 − f (x) = limx! 1 (x+1) = 0 (b) limx! 1 + f (x) = limx! 1 x^2 = 1 (c)@ limx! 1 f (x), pois os limites laterais s˜ao diferentes. (d) limx! 1 −^ f (x) = limx! 1 x^2 = 1 (e) limx! 1 +^ f (x) = limx! 1 x = 1 (f ) limx! 1 f (x) = 1.
- Teremos (a) limx! 1 − f (x) = limx! 1 (x + 1) = 0 (b) limx! 1 + f (x) = limx! 1 jx^2 + xj = j limx! 1 x^2 + xj = 0 (c) limx! 1 f (x) = 0, pois os limites laterais s˜ao iguais. (d) limx! 1 − f (x) = limx! 1 jx^2 + xj = j limx! 1 x^2 + xj = 2 (e) limx! 1 + f (x) = limx! 1 1 = 1 (f )@ limx! 1 f (x), pois os limites laterais s˜ao diferentes.
- Os limites limx! 3 f (x) e limx! 3 f (x) existem se, e somente se, existem e s˜ao iguais os limies laterais, isto ´e, devemos ter
lim x! 3 +^
f (x) = lim x! 3 −^
f (x) e lim x! 3 +^
f (x) = lim x! 3 −^
f (x).
Mas,
lim x! 3 +^
f (x) = lim x! 3 (b 5 x) = b 15 e lim x! 3 −^
f (x) = lim x! 3 (ax + 2b) = 3a + 2b
e
lim x! 3 +^
f (x) = lim x! 3 (ax + 2b) = 3 a + 2b e lim x! 3 −^
f (x) lim x! 3 (2x a) = 6 a.
Logo devemos exigir que b 15 = 3a + 2b e 3 a + 2b = 6 a, o que nos leva ao sistema { 3 a + b = 15 2 a 2 b = 6
Resolvendo, teremos, a = 3 e b = 6.
Voltemos ao conceito de fun¸c˜ao cont´ınua sem que tenhamos que esbo¸car o gr´afico, j´a que, como dissemos anteriormente, em muitos momentos a determina¸c˜ao do limite ser´a crucial para esbo¸carmos o gr´afico de uma fun¸c˜ao.
Conceito 28 Uma fun¸c˜ao f ser´a cont´ınua num ponto x 0 se, e somente se, as trˆes condi¸c˜oes abaixo se verificam:
(1) Existe f (x 0 ), isto ´e, x 0 pertence ao dom´ınio de f (2) Existe limx!x 0 f (x), isto ´e, limx!x 0 f (x) ´e um n´umero real (3) limx!x 0 f (x) = f (x 0 )
- Em quais pontos as fun¸c˜oes do exemplo anterior, itens 1 e 2, s˜ao cont´ınuas? Solu¸c˜ao: A fun¸c˜ao do item (1) ´e cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio, j´a que ´e dada pelo quociente de duas fun¸c˜oes cont´ınuas, quais sejam, jxj e x. Observamos que 0 n˜ao ´e um ponto do dom´ınio!
No caso da fun¸c˜ao do item (2), os ´unicos pontos onde poder´ıamos ter problemas seriam x = 1 ou x = 1. Em x = 1 n˜ao existe o limite, logo a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua. Em x = 1 temos o limite igual a 1 que ´e o valor da fun¸c˜ao em x = 1. Logo, a fun¸c˜ao ´e cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio, exceto em x = 1.
Observa¸c˜ao 30 (MUITO IMPORTANTE!)
Como consequˆencia das propriedades operat´orias de limites, sendo f e g duas fun¸c˜oes cont´ınuas em x 0 , teremos as fun¸c˜oes f + g, f g, f.g, jf j, kf, n
p f e f /g cont´ınuas em x 0 desde que bem definidas e, no caso do quociente, tenhamos g(x 0 ) ̸= 0. Em particular, qualquer fun¸c˜ao do tipo f (x)anxn^ + an 1 xn ^1 +... + a 1 x + a 0 (fun¸c˜ao polinomial) ´e cont´ınua em todos os pontos e, consequentemente, quociente de duas fun¸c˜oes polinomiais ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em qualquer ponto que n˜ao anule o denominador.
De maneira informal, estamos dizendo que se duas fun¸c˜oes f e g n˜ao possuem salto num ponto x 0 , ent˜ao as fun¸c˜oes f + g, f g, f.g, jf j, kf, n
p f e f /g tamb´em n˜ao possuem salto em x 0. Se as fun¸c˜oes f e g n˜ao possuem salto em ponto algum, ent˜ao as fun¸c˜oes f + g, f g, f.g, jf j, kf, n
p f e f /g tamb´em n˜ao possuem salto em ponto algum, desde que observadas as condi¸c˜oes de existˆencia.
3 Exerc´ıcios
- Calcule os limites abaixo: (a) limx! 2 (x^2 + 2x + 1) (b) limx! 1 x
(^2) + 2 x+2 (c) limx! ^1
2 x+ x^2 3 x+
(d) limx! 2 x
(^3) + x+2 (e) limx!^1
x^4 1 x 1 (f^ ) limx! ^3
x^3 + x^2 9
(g) limx! 3 x
(^2) +5x+ x^2 x 12 (h) limx!^1
8 x^2 27 4 x^2 9 (i) limx!^0
p x+2 p 2 x
(j) limx! 0 2
p 4 x x (k) limx!^0
p (^3) h+1 1 h (l) limx! ^2
x^3 x^2 x+ x^2 +3x+
(m) limx! 3 1
p1+x px 1 x (n) limx! 81 3 ^
p (^4) x 9 px (o) limx!^0
p2+x p 2 x p (^3) 2+x p (^32) x
- Para cada fun¸c˜ao abaixo, determine, se existirem, os limites indicados.
- f (x) =
3 x 2 se x > 1 2 se x = 1 4 x + 1 se 1 < x (a) limx! 1 +^ f (x) (b) limx! 1 −^ f (x) (c) limx! 1 f (x)
- f (x) =
3 2 x se x 1 4 x se x < 1 (a) limx! 1 + f (x) (b) limx! 1 − f (x) (c) limx! 1 f (x)
- f (x) =
2 x 5 se x 3 4 5 x se x < 3 (a) limx! 3 + f (x) (b) limx! 3 − f (x) (c) limx! 3 f (x)
- f (x) =
1 x^2 se x < 2 0 se x = 2 x 1 se x > 2 (a) limx! 2 + f (x) (b) limx! 2 − f (x) (c) limx! 2 f (x)
- f (x) =
x^2 3 x + 2 se x 3 8 2 x se x > 3 (a) limx! 3 + f (x) (b) limx! 3 − f (x) (c) limx! 3 f (x)
- f (x) =
2 x^2 3 x 1 se x < 2 1 se x = 2 x^2 + 6x 7 se 2 < x (a) limx! 2 + f (x) (b) limx! 2 − f (x) (c) limx! 2 f (x)
- Considere a fun¸c˜ao f (x) =
x^2 4 x 2.^ Pede-se: (a) Determine o dom´ınio de f (b) Determine, se exitirem, (b.1) limx! 2 f (x) (b.2) limx! 2 f (x) (c) (c.1) A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em x = 2? Justifique! (c.2) A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em x = 2? Justifique!
- Considere a fun¸c˜ao f (x) =
x^2 3 x+ x.^ Pede-se: (a) Determine o dom´ınio de f (b) Determine, se exitirem, (b.1) limx! 2 f (x) (b.2) limx! 0 f (x) (b.3) limx! 1 f (x) (c) (c.1) A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em x = 0? Justifique! (c.2) A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em x = 1? Justifique! (c.3) A fun¸c˜ao ´e cont´ınua em x = 2? Justifique!
- Sejam f e g as fun¸c˜oes
f (x) =
2 x + 3 se x < 1 2 se x = 1 7 2 x se 1 < x e
g(x) =
3 + x^2 se x < 2 0 se x = 2 11 x^2 se 2 < x
Determine as fun¸c˜oes(e respectivos dom´ınios): f + g, f g, f g, f /g e 2f + 4g. Para cada fun¸c˜ao encontrada, determine o limite quando x tende a 1 e o limite quando x tende a -2, justificando caso n˜ao exista. Caso julgue necess´ario, determine os limites laterais. Determine, ainda, para cada fun¸c˜ao encontrada e as fun¸c˜oes dadas, os pontos onde ´e cont´ınua.
- Determine a, se existir, para que a fun¸c˜ao seja cont´ınua no ponto especificado.
(a) f (x) =
{ (^) x (^2) 5 x+ x 2 se^ x^ ̸= 2 a se x = 2
x = 2
Note que isto independe do lado em que nos aproximemos de 0, isto ´e, temos
lim x! 0 +
x^2
= 1 e lim x! 0 −
x^2
Observamos que 1 n˜ao ´e um n´umero, somente representa um crescimento al´em de qualquer n´umero.
Vejamos um caso com limites laterais, qual seja
Exemplo 32 Determinemos
lim x! 0 +
x
e lim x! 0 −
x
No primeiro caso, tal como no exemplo anterior, n˜ao ´e dif´ıcil observar que y = (^1) x crescer´a al´em de qualquer n´umero positivo, bastando para isso que nos aproximemos cada vez mais de zero ´a direita e, portanto, tal como no exemplo acima, teremos
lim x! 0 +
x
O que dizer sobre lim x! 0 −
x
Neste caso, um pouco mais delicado, gostar´ıamos de saber o que acontecer´a com a imagem quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Observamos, inicialmente, que y = (^) x^1 ´e negativo, j´a que, neste caso, x < 0. N˜ao ´e dif´ıcil perceber que y = (^1) x ficar´a menor que qualquer n´umero negativo bastando que nos aproximemos cada vez mais de 0. Abaixo, colocamos lado a lado, alguns valores de x e os respectivos valores de y = (^) x^1 , obeserve.
x y = 1/x 1 1 1 / 2 2 1 / 10 10 1 / 1000 1000 1 / 1010 1010 Neste caso, escreveremos lim x! 0 −
x
Nos casos estudados acima ´e simples verificar que se no numerador, ao inv´es de 1 tivessemos uma fun¸c˜ao indo para 1, n˜ao ter´ıamos altera¸c˜ao no resultado, isto ´e, temos a seguinte conclus˜ao:
Conclus˜ao 33 Suponhamos que desejemos calcular
lim x!a
f (x) g(x)
Inicialmente calculamos lim x!a f (x) e lim x!a g(x)
e se o segundo limite for diferente de zero, n˜ao teremos problema pois o limite final ser´a simplesmente o quociente dos limites encontrados separadamente. Se o limite do denominador
for zero, iremos verificar o limite do numerador. Se este for igual a zero, temos uma forma indeterminada, qual seja, 00 e, da´ı, devemos buscar uma forma de determin´a-lo; se for diferente de zero, ent˜ao o limite do quociente sera necessariamente igual a 1 ou 1. Pode ser ´util observar que:
(a.1)) Se o limite do numerador ´e um n´umero positivo e o denominador tende a 0, sendo positivo pr´oximo de a `a direita, teremos
lim x!a+
f (x) g(x)
(a.2) Se o limite do numerador ´e um n´umero positivo e o denominador tende a 0, sendo positivo pr´oximo de a `a esquerda, teremos
lim x!a−
f (x) g(x)
(b.1) Se o limite do numerador ´e um n´umero positivo e o denominador tende a 0, sendo negativo pr´oximo de a `a direita, teremos
lim x!a+
f (x) g(x)
(b.2) Se o limite do numerador ´e um n´umero positivo e o denominador tende a 0, sendo negativo pr´oximo de a `a esquerda, teremos
lim x!a−
f (x) g(x)
(c.1)) Se o limite do numerador ´e um n´umero negativo e o denominador tende a 0, sendo positivo pr´oximo de a `a direita, teremos
lim x!a+
f (x) g(x)
(c.2) Se o limite do numerador ´e um n´umero negativo e o denominador tende a 0, sendo positivo pr´oximo de a `a esquerda, teremos
lim x!a−
f (x) g(x)
(d.1) Se o limite do numerador ´e um n´umero negativo e o denominador tende a 0, sendo negativo pr´oximo de a `a direita, teremos
lim x!a+
f (x) g(x)
(d.2) Se o limite do numerador ´e um n´umero negativo e o denominador tende a 0, sendo negativo pr´oximo de a `a esquerda, teremos
lim x!a−
f (x) g(x)
