Noções de Conjuntos - esquema de aula, Esquemas de Matemática

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CÁLCULO - CONCEITOS

AULA 1

Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha

CONVERSA INICIAL

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

Em nossas aulas, abordaremos conteúdos que você estudou no ensino fundamental e médio, de forma aprofundada para que seus estudos futuros na área de cálculo possuam os embasamentos necessários. Nesta aula, trataremos das noções de conjuntos e de conjuntos numéricos. Alguns temas importantes fazem parte desta aula:

Conceito de conjunto : estudaremos do que se tratam os conjuntos, como são representados seus elementos e como verificamos suas cardinalidades; Subconjuntos e operações com conjuntos : identificaremos o que são subconjuntos, que relações podemos estabelecer entre conjuntos e estudaremos a união, a intersecção e a diferença entre conjuntos; Diagrama de Venn : representaremos as operações entre conjuntos por meio de diagramas e resolveremos problemas com base neles; Conjuntos numéricos : abordaremos o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais e dos irracionais; Intervalos numéricos : representaremos, na reta numérica, alguns subconjuntos dos números reais. Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de resolver problemas que envolvam conjuntos, reconhecendo diferentes significados e representações dos números.

TEMA 1 – CONCEITO DE CONJUNTO

B = {1, 3, 5, 7, 9...};

C = {c, j, n, o, t, u}. Nesse modelo, é conveniente que deixemos os elementos ordenados, respeitando a ordem alfabética ou numérica. Outra maneira de representar os conjuntos ocorre pela indicação da condição ou da propriedade do conjunto. Nesse caso, é necessário compreender quais são os elementos determinados por uma certa regra.

Veja, no exemplo a seguir, como os elementos não são elencados, mas podemos identificá-los mesmo assim: D = Nesse exemplo, temos um conjunto infinito que se inicia com o número 6. Além da chave e da condição, podemos representar os conjuntos de forma gráfica, por meio de diagramas. Esses diagramas são conhecidos como Diagramas de Venn. Exemplo, em um conjunto F:

1.2 RELAÇÃO DO ELEMENTO COM O CONJUNTO

Em geral, usamos uma letra minúscula para indicar os elementos de um conjunto. Dizemos que cada elemento pertence ao conjunto em questão. Indicamos essa relação com o símbolo Para indicar que um objeto qualquer não pertence ao conjunto, usamos o símbolo Assim, quando temos , lemos: “a pertence ao conjunto A”. Por outro lado, indica que “a não pertence ao conjunto A”.

Vejamos o seguinte exemplo: A = {1, 5, 7, 12}. Podemos afirmar que: ; ; ; ; Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio. Podemos representá-lo com o símbolo ou com a chave vazia: { }.

1.3 CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO

Define-se a cardinalidade de um conjunto A como o número de elementos que pertencem ao conjunto A: card (A), o(A) ou, ainda, n(A). Exemplos:

Seja o conjunto A = {1, 0, 3, 7}, então n(A) = 4, pois o conjunto A possui quatro elementos; Seja B = {3, 33, 333, 3333, 33333}, então card (B) = 5, pois o conjunto B possui cinco elementos.

TEMA 2 – SUBCONJUNTOS E OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Neste tema, estudaremos os subconjuntos e três operações com conjuntos: a união, a intersecção e a diferença.

2.1 SUBCONJUNTOS

A união entre dois conjuntos A e B resulta em um terceiro conjunto que contém todos os elementos de A e B, chamado de Exemplo: dados os conjuntos e ,

Importante:. A intersecção entre dois conjuntos A e B resulta em um terceiro conjunto que contém apenas os elementos em comum entre A e B, chamado de Exemplo: dados os conjuntos e ,

Importante:. A diferença entre os conjuntos A e B, tal que , resulta em um terceiro conjunto que contém apenas os elementos de A que não estão em B. Exemplo: dados os conjuntos e ,

; . Importante:.

TEMA 3 – DIAGRAMA DE VENN

É possível que representemos as operações entre conjuntos por meio de diagramas. Isso nos auxilia a resolver problemas com conjuntos. Nos diagramas, devemos representar graficamente as intersecções entre os conjuntos. Sejam dois conjuntos A e B,

representados nos diagramas a seguir:

Devemos escrever os elementos que são comuns aos conjuntos no espaço de intersecção das curvas fechadas. Exemplo: dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, vamos representar esses conjuntos por meio de diagramas:

A intersecção entre os conjuntos A e B forma o conjunto {3, 4}. A união entre os dois conjuntos culmina no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Preste atenção no que podemos observar no diagrama: o conjunto A tem quatro elementos, o conjunto B também tem quatro elementos.

A deve ter o total de 28 alunos, assim como B deve ter 18 alunos no total. Quando incluirmos a intersecção, devemos diminuir esse valor de 28 e de 18:

Assim, podemos concluir que a turma tem 29 alunos (11 + 17 + 1). Logo,

Vejamos, agora uma situação com três conjuntos. Alguns clientes de um mercado foram entrevistados para saber se gostavam dos temperos de uma marca, dos quais:

120 clientes disseram que gostavam do tempero A;

80 clientes gostavam do tempero B; 70 clientes gostavam do tempero C; 35 clientes gostavam de A e de B; 42 clientes gostavam de A e C; 30 clientes gostavam de B e C; 18 clientes gostavam dos três temperos; 12 clientes entrevistados não gostavam de nenhum dos três temperos.

Vamos começar indicando a intersecção e os clientes que não gostavam de nenhum dos temperos:

Para indicar as intersecções de A e B, A e C e B e C, devemos levar em consideração a quantidade de 18 já indicada. Temos que:

.

Somando todos os valores, constatamos que o total de entrevistados foi de 193 clientes.

TEMA 4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

Ao longo da sua história, o homem foi desenvolvendo técnicas e criando artefatos para melhorar sua sobrevivência. Uma das criações humanas foi o número e com ele o processo de contagem. A necessidade de contar deu origem ao primeiro conjunto de números que conhecemos.

4.1 NÚMEROS NATURAIS

Os números que usamos para contar formam o conjunto dos números naturais. Não há um consenso, na literatura, sobre a inclusão do zero nesse conjunto. Nesse texto, consideraremos que o zero faz parte do conjunto dos naturais. Assim:

.

Podemos indicar o conjunto sem zero, incluindo um asterisco ao lado da letra .

4.2 NÚMEROS INTEIROS

A noção de dívida, as temperaturas abaixo de zero, os andares abaixo do térreo são exemplos de situações que demandam outros tipos de números. Assim, expandimos o conjunto dos naturais acrescentando os opostos desses números, para formarmos o conjunto dos números inteiros

. Perceba que o conjunto dos naturais é um subconjunto dos inteiros:

Ambos os conjuntos são infinitos.

4.3 NÚMEROS RACIONAIS

4.4 NÚMEROS IRRACIONAIS

Os números decimais que possuem casas decimais infinitas, sem dízima periódica, formam o conjunto dos números irracionais Como exemplo, temos o número Algumas raízes também resultam em números irracionais, mas não podemos dizer que toda raiz é irracional: é um número racional (também inteiro e natural); , por sua vez, é um número irracional.

4.5 NÚMEROS REAIS

A união do conjunto dos números racionais com o dos irracionais forma o conjunto dos números reais :

Assim, o conjunto dos números reais contém os naturais, os inteiros e os racionais, além dos irracionais:

TEMA 5 – INTERVALOS

Os números reais podem ser escritos em uma reta numérica. Em alguns casos, para resolver alguns problemas, pode ser necessário limitar uma parte dessa reta, para nossa solução. Considere, por exemplo, que você está visualizando um quadrado e sabe que sua área é menor que 16 cm². Você sabe que a medida do lado desse quadrado é um número real, mas pode limitar uma faixa de números possíveis para essa medida. Podemos indicar que o lado desse quadrado será maior que 0 (já que não existe medida negativa) e menor que 4 (uma vez que um lado com medida maior que 4 resultaria em uma área maior que 16). Nesse caso, a medida estaria compreendida no intervalo de números reais entre 0 e 4. Então, temos que:

Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais (R).

A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo numérico. Podemos representar os intervalos de forma gráfica, na reta numérica, por descrição ou notação. Veja o exemplo de um intervalo representado graficamente:

Esse intervalo pode ser descrito da seguinte forma: Ou, por notação: [ -1, 2].

5.1 INTERVALO FECHADO OU INTERVALO ABERTO

Quando os extremos fazem parte de um intervalo destacado, dizemos que esse intervalo é fechado e usamos colchetes para representá-lo. Um intervalo pode ser parcialmente fechado, com apenas uma das suas extremidades abertas. Isso significa que apenas um dos extremos pertence ao intervalo. Exemplo: seja o intervalo

No exemplo, e , bem como todos os infinitos números compreendidos entre -2 e 1 pertencem ao intervalo. Logo, o intervalo pode ser escrito como. Ou, por notação: ]-2, 1] ou (-2, 1]. Para representar que um intervalo é

75 clientes assistem ao canal B; 60 clientes assistem ao canal C; 30 clientes assistem aos canais A e B; 40 clientes assistem aos canais A e C; 30 clientes assistem aos canais B e C; 2 clientes não assistem a nenhum dos três canais. Sabendo que 120 clientes foram entrevistados, responda: quantos clientes assistem aos três canais A, B e C? Para responder à questão, usaremos o diagrama de Venn, lembrando que desejamos encontrar a intersecção entre A, B e C. Chamando essa intersecção de x , deveremos subtrair x dos valores das intersecções A e B, A e C e B e C:

Observe que, no diagrama que indica o conjunto A, já temos:. Esses valores devem ser subtraídos de 80, que é a totalidade de A. Assim, falta acrescentar em A: O total de elementos de B é 75. No diagrama de B já temos: Logo, falta acrescentar em B: Em C,

temos 60 elementos, no total. Já consta no diagrama de C: Então, temos que falta acrescentar em C:

A soma de todos esses valores deve ser igual à totalidade de clientes, que é 120. Assim: ; ;

Descobrimos, desse modo, que 13 clientes assistem aos três canais: A, B e C.

FINALIZANDO

Nesta aula, estudamos os conjuntos, especialmente os conjuntos numéricos. Veja alguns lembretes finais sobre cada tema: