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Relime , Vol. 19 (1), Marzo de 2016 NÍVEL DE CONHECIMENTO EM PROBABILIDADE CONDICIONADA 41 M ARIA J OSÉ CARVALHO , ADELAIDE F REITAS NÍVEL DE CONHECIMENTO EM PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA: UM CASO DE ESTUDO NO ENSINO SECUNDÁRIO PORTUGUÊS K NOWLEDGE LEVEL IN CONDITIONAL PROBABILITY AND INDEPENDENCE OF EVENTS: A STUDY CASE IN THE PORTUGUESE HIGH SCHOOL RESUMEN Partiendo de dos situaciones problemas que refieren a la probabilidad condicional, la independencia y eventos mutuamente excluyentes, se cuantifica, en paralelo, el grado de desempeño y el grado de rigor científico de una respuesta usando dos medidas ordinales en la escala de Likert. Un análisis descriptivo de las medidas, en 43 estudiantes del año terminal del liceo, determinó el grado de conocimiento de los alumnos en los referidos conceptos y apuntó que no siempre una respuesta correcta está descrita con rigor. Del análisis interpretativo de las respuestas se concluye que persisten, en la enseñanza en Portugal, conflictos en la interpretación y en el cálculo de la probabilidad condicionada y en los conceptos de independencia y de eventos mutuamente excluyentes. El estudio recomienda más prácticas involucrando la formulación matemática de problemas de probabilidad condicional y más énfasis en el carácter probabilístico que está asociado al concepto de independencia. ABSTRACT Taking two problem-situations involving conditional probability, independence and incompatibility, we suggest the measurements of the performance and the scientific rigor of a response using, in parallel, two ordinal Likert scale measures. Based on the responses given by 43 students in 12th grade (age 17), a descriptive analysis of these measurements was executed in order to evaluate the levels of knowledge of the students in those concepts. The results showed that not always a correct written response comes with rigor. Besides, an interpretative analysis of the same responses confirmed the existence of conflicts in the teaching of those concepts in Portugal. The conflicts are PALABRAS CLAVE:
- Concepto de probabilidad _condicional
- Concepto de eventos_ _independientes
- Concepto de eventos_ _mutuamente excluyentes
- Grado de desempeño
- Grado de rigor científico_ KEY WORDS: - Concept of conditional _probability
- Concept of independent_ _events
- Concept of mutually_ _exclusive events
- Degree of performance
- Degree of scientific_ rigor Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (2016) 19 (1): 41-^ 69. Recepción: Febrero 3, 2014 / Aceptación: Junio 15, 2015. DOI: 10.12802/relime.13.
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42 concerning with the interpretation and the calculation of conditional probabilities and the notions of independence and incompatibility. The present study recommends more practice on the mathematical formulation of statements involving conditional probability and more emphasis on the probabilistic feature of the notion of independence. RESUMO Partindo de duas situações-problema envolvendo probabilidades condicionadas, independência e incompatibilidade, sugere- se quantificar, em paralelo, o grau de desempenho e o grau de rigor de uma resposta usando duas medidas ordinais, ambas em escala de Likert. Uma análise descritiva dessas medidas, num grupo de 43 alunos do 12.º ano, permitiu estabelecer o nível de conhecimento desses alunos naqueles conceitos e constatar que nem sempre uma resposta correta é acompanhada de rigor na sua elaboração. Uma análise interpretativa das mesmas respostas permitiu ainda constatar que, no ensino português, persistem conflitos na interpretação e cálculo da probabilidade condicionada e conflitos nas noções de independência e incompatibilidade. O estudo recomenda mais prática na formulação matemática de enunciados envolvendo probabilidade condicionada e mais ênfase no caracter probabilístico da noção de independência. RÉSUMÉ Partant de deux situations-problème impliquant des probabilités conditionnelles, indépendance et incompatibilité, on suggère de quantifier, en parallèle, le degré de performance et le degré de rigueur d’une réponse utilisant deux mesures ordinales, toutes deux sur l’échelle de Likert. Une analyse descriptive de ces mesures dans un groupe de 43 élèves de Terminal a permis d’établir le niveau de connaissance des élèves, en relation à ces concepts, et de constater qu’une réponse correcte n’est pas toujours accompagnée de rigueur dans son élaboration. Une analyse interprétative de ces réponses a encore permis de voir que, dans l’enseignement portugais, les conf lits persistent dans l’interprétation et le calcul des probabilités conditionnelles ainsi que dans les notions d’indépendance et d’incompatibilité. L’étude recommande plus de pratique dans la formulation mathématique des énoncés de probabilités conditionnelles et de mettre davantage l’accent sur le caractère probabiliste associé à la notion d’indépendance. MOTS CLÉS:
- Concept de probabilité _conditionnelle
- Concept d’évènements_ _indépendants
- Concept d’évènements_ _incompatibles
- Degré de performance
- Degré de rigueur_ PALAVRAS CHAVE: - Conceito de probabilidade _condicionada
- Conceito de acontecimentos_ _independentes
- Conceito de acontecimentos_ _incompatíveis
- Grau de desempenho
- Grau de rigor_
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44 Face a situações-problema, a aplicação de diferentes processos de resolução propicia a revelação de diferentes vertentes de um mesmo conceito (Díaz y de la Fuente, 2006) e, consequentemente, de novas estratégias para fazer juízos válidos (Cunha, 2010). Do ponto de vista matemático, probabilidade condicionada e
independência são definições que dependem de expressões algébricas simples,
de fácil cálculo. Torna-se então fundamental conhecer as estratégias que os alunos elaboram na resolução de situações-problema (D’Amore, 2006) e as dificuldades que revelam na aplicação de definições e no estabelecimento de ligações entre elas, face a um enunciado. Recentemente, Díaz et al. (2010) sintetizou vários dos conflitos semióticos referenciados na literatura especializada dando exemplos de enunciados de problemas que poderão ajudar, alunos e professores, à tomada de consciência de raciocínios enviesados associados àqueles dois conceitos. Resumidamente, relativamente à probabilidade condicionada, podem mencionar-se: − convicção que é mais provável a conjunção de dois acontecimentos do que cada um dos acontecimentos em separado (Tversky & Kahneman, 1983), conhecido por falácia da conjunção ; − dificuldade em distinguir os dois sentidos da probabilidade condicionada, P(A|B) e P(B|A), conhecida por falácia da condicional transposta (Falk,1986); − dificuldade em compreender que se tome um acontecimento condicionante que ocorre depois do acontecimento condicionado, conhecida por falácia do eixo temporal (Falk,1979; Falk, 1986); − confusão entre probabilidade condicionada, P(A|B), e probabilidade conjunta, P(A∩B), (Watson & Moritz, 2002) devida, entre outros, à não clareza da linguagem corrente utilizada no enunciado dos problemas, levantando dificuldades na sua interpretação (Falk, 1986). Por exemplo, a utilização da vírgula “,” num texto verbal para descrever uma conjunção (“e”) (Sobreiro, 2011); − dificuldade em identificar o espaço amostral reduzido no cálculo de probabilidades de acontecimentos definidos por experiências compostas dadas por uma sequência temporal de experiências simples sucessivas, conhecida por situação sincrónica (Falk, 1986); − cálculo do denominador na fórmula de Bayes (Díaz & Batanero, 2009). Relativamente a conflitos semióticos associados à noção de independência de acontecimentos, podem mencionar-se os seguintes: − confusão intuitiva entre as palavras “independência” e “incompatibilidade” (Cordani & Wechsler, 2006); − dificuldade em atender o significado somente probabilístico da noção de independência (D’Amelio, 2009);
NÍVEL DE CONHECIMENTO EM PROBABILIDADE CONDICIONADA 45 − associação da noção de independência apenas a acontecimentos independentes no tempo (Karaota et al., 2010). Este artigo apresenta uma análise interpretativa de um estudo de caso (Ponte,
- centrada na compreensão dos conceitos de probabilidade condicionada, acontecimentos independentes e acontecimentos incompatíveis por alunos do 12º ano de escolaridade do ensino português. Uma análise interpretativa de dados na metodologia de um estudo de caso visa uma investigação pormenorizada de todos os dados recolhidos com vista a organizá-los e classificá-los em categorias, de modo a explorar e a explicar o fenómeno em estudo (Tesch, 1990). Neste estudo, os participantes são os alunos e os dados são os documentos escritos produzidos pelos alunos, em contexto escolar, juntos dos seus docentes titulares de turma e em momento avaliativo. Numa primeira instância, esta investigação, inserida no paradigma descritivo, procurou quantificar os processos desenvolvidos pelos alunos na resolução de questões, exploratórias e investigativas, e em situação de avaliação escrita. Definiram-se duas escalas ordinais para medir a qualidade de cada resposta. Tomando essas medidas, avaliou-se o nível de conhecimento que os alunos demonstraram nos conceitos de probabilidade condicionada e de independência de acontecimentos e nas suas interligações com outros conceitos. Analisou-se a conexão entre o nível de desempenho e o nível de rigor, sendo este último baseado na qualidade dos procedimentos e argumentos descritos e a linguagem usada. Estudou-se ainda a importância da capacidade de interpretar e de traduzir, em termos matemáticos, o enunciado de um problema no desenvolvimento da aprendizagem dos conceitos. Numa segunda instância, a partir de uma análise interpretativa dos conteúdos das respostas expressas pelos alunos, procurou-se tipificar as fontes de conflitos semióticos detetados nas respostas dadas pelos alunos.
2. CONTEXTUALIZAÇÃO NO ENSINO PORTUGUÊS
Em Portugal, o tema Probabilidades e Combinatória consta do currículo atual do 12.º ano de escolaridade. Entre os tópicos inseridos nesse tema estão probabilidade condicionada e acontecimentos independentes. Nestes conceitos, os alunos “apresentam muitas dúvidas e dificuldades, apesar da grande importância que lhes é atribuída nos Exames Nacionais e nos Testes Intermédios, uma vez que são temas constantes em todas essas provas de avaliação externa, da responsabilidade do Ministério da Educação” (Cunha, 2010, p. 28).
NÍVEL DE CONHECIMENTO EM PROBABILIDADE CONDICIONADA 47 Da turma A, constituída por 24 alunos, participaram nesta investigação 20 (os restantes não deram autorização para divulgar os seus resultados). Estes eram 9 do sexo feminino e 11 do sexo masculino, todos dentro da escolaridade obrigatória e com média de idade igual a 16,5 anos. Nenhum aluno desta turma usufruiu de apoio educativo no ano anterior. Todos os alunos revelaram gostar da escola. A docente de Matemática da turma A é efetiva na escola E1, com larga experiência na lecionação do 12.º ano, tendo acompanhado os seus alunos desde o Ensino Básico (7.º ano), pelo que conhece muito bem o trabalho individual destes. A turma B é constituída por 14 alunos, 6 do sexo feminino e 8 do sexo masculino. Todos os alunos estão dentro da escolaridade obrigatória à exceção de um aluno. A média de idades é de 16,8 anos. A turma C é constituída por 9 alunos, todos do sexo masculino. Apenas 5 alunos estão dentro da escolaridade obrigatória. A média de idades é de 17,6 anos. As docentes de Matemática das turmas B e C são efetivas na Escola E2 e com uma larga experiência de lecionação do 12.º ano. Estas docentes também têm acompanhado há muito tempo os seus alunos, não tendo sido referido na entrevista desde quando o fazem. A turma A pode ser considerada como uma turma de “elite”, com alunos maioritariamente com interesse em prosseguir estudos a nível universitário, e distinta da turma C, com alguns alunos não interessados em seguir estudos a nível superior (politécnico ou universitário), e da turma B, com alunos que, não colocando de lado a prossecução de estudos superiores, optaram por um ensino secundário menos académico. Foi elaborado o enunciado de dois problemas (designados a frente por P1 e P2), a implementar numa prova de avaliação, para os alunos das turmas A, B e C. Os problemas foram inspirados nos manuais escolares adotados nas escolas E1 e E2. Para a construção f inal do enunciado de P1 e P2 (em Apêndices 1 e 2) foram tidas em conta as ferramentas conceptuais do enfoque ontosemiótico, propostas por Godino et al. (2007) como sejam a linguagem, os conceitos, as propriedades, os procedimentos, as conjeturas e os argumentos ligados aos conceitos base de probabilidade condicionada e de independência, tendo como suporte uma análise sistemática de possíveis resoluções às situação-problemas propostas. Leitores interessados em detalhes dos objetos e relações primárias que intervêm na solução de cada uma das situação-problemas podem consultar Carvalho (2013). Os professores de Matemática das turmas A, B e C analisaram os problemas e, após ligeiras adaptações, declararam que o enunciado, na sua versão final (ver Apêndices 1 e 2), estava adequado em termos de conteúdo programático, linguagem usada e nível de dificuldade. Porém, a docente da turma B solicitou a substituição da designação do acontecimento P por B no problema P2, já que os alunos estavam menos familiarizados com a letra P para designar um acontecimento. Esta alteração foi apenas considerada para a turma B.
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48 Previamente foi ainda solicitado a um estudante do 12.º ano, que não pertencia a nenhuma das escolas envolvidas, que realizasse a prova em regime experimental. Este estudante afirmou tratar-se de uma prova acessível e com linguagem clara e objetiva. Ambos os problemas, P1 e P2, abordam os conceitos de probabilidade condicionada e de acontecimentos independentes, usando a linguagem verbal e simbólica. Em P1 há 7 alíneas e em P2 há 5 alíneas, de acordo com a distribuição sumária descrita na Tabela 1. A noção de independência é abordada sequencialmente e relacionada com a noção de incompatibilidade, para diferentes situações conforme é indicado na Tabela 2. Em P1, os dados do enunciado encontram-se previamente estruturados numa linguagem mais próxima da linguagem simbólica, sendo estes fornecidos na forma de uma tabela de dupla entrada. Em P2, os dados são descritos em linguagem apenas verbal. TABELA I Distribuição das 12 questões da prova (constituída pelos problemas P1 e P2) por conteúdo primário e linguagem usada no enunciado. Conteúdo primário Linguagem verbal Linguagem simbólica Lei da Probabilidade Total 1.1 ---- Probabilidade da intersecção 1.4.a) 2.1. i) Probabilidade da reunião 1.4.a) ---- Probabilidade condicionada 1.2, 1.3, 2.4 2.1.ii) Independência 1.4.a), 1.4.b), 1.4.d), 2.3 ---- Incompatibilidade 1.4.c), 1.4.d), 2.2 ---- TABELA II Distribuição das questões de independência e de incompatibilidade tendo em conta a validade, ou não, da independência e da incompatibilidade. Na 1.4.d) é pedido para relacionar os dois conceitos. Conteúdo primário Condição válida Condição não válida Relacionar Independência 1.4.a) 1.4.b), 2.3 1.4. d) Incompatibilidade 1.4 c) 2.2 1.4. d) Os dados para análise corresponderam às respostas escritas dos 43 alunos das turmas A, B e C, em momento avaliativo, às 12 questões da prova. A recolha
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50 alternativas obriga a atribuir uma opção definitivamente positiva ou negativa, já que não é possível optar por uma atitude neutra por esta não existir. A necessidade de proceder a extensões das três categorias propostas em Díaz e Batanero (2009) para as escalas definidas pelo GD e GR está intimamente relacionada com a natureza diversa das turmas A, B e C (Ensino Regular e Ensino Profissional) consideradas neste estudo. Efectivamente, do conhecimento empírico da primeira autora, é previsível a existência de tendência dos alunos do Ensino Profissional não explicitarem / argumentarem o seu raciocínio nas respostas. Com esta divisão proposta de GD e GR, prevê-se que traços diferenciadores, ao nível do desempenho e do rigor, poderão ser detetadas. TABELA III Critérios de classificação das classes possíveis do grau de rigor (GR) de uma resposta. GR Critérios de qualificação 0 (ausência de rigor) Resposta sem evidenciar a origem dos dados; Justificação sem correção científica e sem coerência; Ausência de qualquer referência aos acontecimentos tratados; Existência de muitos erros grosseiros de cálculo; Aplicação de conceitos erradamente. 1 (pouco rigor) Resposta onde evidência a origem de alguns dos dados; Justificação com pouca correção científica e com alguma coerência; Acontecimentos tratados de forma pouco explícita; Existência de erros de leitura de dados que condicionam a resolução, mas sem erros grosseiros de cálculo; Conceitos aplicados com algum conflito entre estes, mas aplica as fórmulas de forma correta, sem as explicitar. 2 (algum rigor) Resposta onde evidência a origem de todos os dados; Justificação com alguma correção científica e com alguma coerência; Acontecimentos tratados de forma explícita; Arredondamentos de cálculo que condicionam a resposta; Conceitos aplicados com pouca clareza, mas sem conflito entre eles. Embora as justificações escritas sejam pouco claras, aplica as fórmulas de forma correta, podendo ou não explicitá-las. 3 (com rigor) Resposta onde evidência a origem de todos os dados; Justificação com correção científica e com muita coerência; Acontecimentos tratados de forma explícita e bem estruturados; Sem erros em cálculos intermédios nem de leitura de dados; Conceitos aplicados com clareza e correção na sua utilização, sem qualquer conflito entre eles, acompanhados de justificação correta, com utilização e aplicação de fórmulas com exatidão, explicitação e correção.
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4. ANÁLISE DAS RESPOSTAS DADAS
Em termos de procedimento, observa-se que cerca de 50% dos alunos traduzem, em termos explícitos e antes de responder às questões, os dados do enunciado de um problema em linguagem simbólica, quer com recurso a um diagrama de árvore, tabela de dupla entrada ou outro esquema. Esta tendência de não estruturar ou formular, em termos matemáticos, a linguagem textual de um enunciado, é particularmente notória na turma B. Esta característica é relevante já que pode reflectir a incapacidade de interpretar e obter corretamente os dados do enunciado. Em termos de justificações, os argumentos redigidos foram de natureza dedutiva baseados em síntese de cálculos realizados e propriedades dos conceitos. Várias vezes o rigor demonstrado nos cálculos nem sempre foi coerente com a explanação escrita e, outras vezes, foi traduzido não rigorosamente por palavras o que representavam os cálculos realizados. Em particular, os alunos do Ensino Profissional (turma B) apresentaram maior dificuldade em expressar um raciocínio argumentativo coeso e coerente com os resultados obtidos. 4.1. Nível de desempenho e Nível de rigor Analisadas as respostas e raciocínios apresentados pelos 43 alunos a cada uma das perguntas dos problemas P1 e P2, avaliou-se a qualidade de cada resposta em termos do grau de desempenho (GD) e do grau de rigor (GR). Considerando as 3 turmas em conjunto, 70% dos alunos envolvidos (todos os alunos da turma A, 1 na turma B e 9 na turma C) obtiveram desempenho positivo com soma dos GD, das 12 alíneas contidas nos dois problemas, igual ou superior a metade do valor máximo possível (60). No que concerne ao rigor das respostas corretas, constata- se que uma resposta certa não é geralmente acompanhada de uma linguagem e argumentação de nível elevado. A percentagem de alunos com soma dos GR, das 12 alíneas respondidas corretamente, igual ou superior a metade do valor máximo possível (36), baixa para 42% (14 da turma A, 0 na turma B e 4 na turma C). Na Figura 1 encontram-se a distribuição dos valores correspondentes aos atributos (ordinais) das escalas GD e GR obtidos. Da Figura 1 conclui-se que as 3 turmas apresentam comportamentos diferentes em termos de desempenho e rigor nas respostas dadas pelos alunos. Tomando os valores medianos do GD, para cada uma das questões e por turma, observa-se que a turma A apresenta o melhor grau de desempenho, na maioria das questões, e a turma B os piores. Relativamente ao GR, em termos medianos, a turma A apresenta respostas com maior nível de
NÍVEL DE CONHECIMENTO EM PROBABILIDADE CONDICIONADA 53 de probabilidade pedida ou averiguar da independência e incompatibilidade de acontecimentos. Enfatizando ainda a diferença na linguagem dos enunciados dos dois problemas, linguagem simbólica (P1) versus linguagem verbal (P2), refira-se que cerca de metade dos alunos envolvidos traduzem em linguagem simbólica os dados do enunciado do problema P2 antes de resolvê-la. Confrontado o número de questões não respondidas entre os problemas P1 e P2 (Figura 2), observa-se tendência para se registar pior comportamento (i.e., não apresentar qualquer resposta) em questões do problema P2, em particular, nas turmas B e C, e menor tendência em deixar questões em branco por parte dos alunos da turma A. Figura 2. Frequência absoluta de não respostas a cada uma das 12 questões e para as turmas A, B e C. Comparando as medianas dos valores observados para o GD e o GR entre as questões do problema P1 e P2 (Figura 1), observa-se valores medianos do GD máximos para as turmas do Ensino Regular (turmas A e C) e mais elevados para as respostas ao problema P1. Calculando a mediana dos valores de GD das respostas às questões do problema P1 e do P2 (Tabela 4), constata-se desempenho mediano melhor nas respostas dadas ao problema P1 do que ao problema P2, nas turmas B e C. Igual desempenho mediano nos problemas P1 e P2 foi observado na turma A. Estes factos sugerem que a turma A demonstra menor dificuldade em formular matematicamente o enunciado do problema P2, contrariamente às outras duas turmas. Avaliando globalmente o nível de desempenho dos alunos das três turmas em conjunto (Tabela 4, última linha), claramente no problema P2 o GD mediano é menor: pelo menos metade dos alunos apresentam em P um GD não superior a 2, em oposição ao problema P1 onde o nível máximo 5 é atingido em pelo menos 50% dos 43 alunos. Relativamente ao GR (Figura1, em baixo, e Tabela 4), constata-se uma distribuição do nível de rigor mediano similar em ambos os problemas nas turmas A e B. Contudo, é a turma A que apresenta Co ef.� de� Sp ear ma n� Nº� de� nã o� res po sta 0 2 4 6 8 1.1 1.2 1.3 1.4a) 1.4b) 1.4c) 1.4d) 2.1a) 2.1b) 2.2 2.3 2. Turma�A Turma�B Turma�C 0
1 1.1 1.2 1.3 1.4a) 1.4b) 1.4c) 1.4d) 2.1a) 2.1b) 2.2 2.3 2. Turma�A Turma�B Turma�C Nº de não respostas
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54 maior grau de rigor, em termos medianos, o que significa uma melhor qualidade de argumentação e de linguagem na resposta correta dadas pelos alunos daquela turma nos dois problemas. Globalmente (Tabela 4, última linha), é em P2 onde se observa menor rigor mediano com pelo menos metade dos alunos a responder com um GR não superior a 1. Esta sumarização de comportamento denuncia que a utilização da linguagem verbal no enunciado dos dados de um problema pode influenciar negativamente a prestação global e, por inerência, a qualidade de respostas de alunos menos bem preparados. O facto da turma A demonstrar similar desempenho nos problemas P1 e P2 está em concordância com a indicação dada pela docente titular da turma A de estar ser uma turma com alunos, em geral, bastante empenhados. TABELA IV Valores medianos de GD / GR das respostas dadas nos problemas P1 e P2, por turma e no conjunto das 3 turmas. Por exemplo, 2 / 0 na tabela significa que, relativamente às respostas observadas às questões do problema P1 na turma B, pelo menos 50% delas apresentam GD inferior ou igual a 2 e pelo menos 50% (não necessariamente as mesmas) apresentam GR igual a 0. Turma P1: Questões 1.1 - 1.4 d) P2: Questões 2.1 - 2. A 5 / 2 5 / 2 B 2 / 0 0 / 0 C 5 / 2 1 / 1 A, B e C, em conjunto 5 / 2 2 / 1 Para avaliar o nível de conhecimento nos conceitos de probabilidade condicionada e de independência (e incompatibilidade), calcularam-se os valores medianos do GD e do GR das respostas ao grupo das questões mais subjacentes ao conceito de probabilidade condicionada, questões 1.1, 1.2., 1.3, 2.1 e 2.4, e ao grupo das questões mais subjacentes ao conceito de independência e incompatibilidade, questões 1.4, 2.2 e 2.3 (Tabela 5). Relativamente ao GD, as 3 turmas apresentam, em termos medianos, a mesma qualidade de desempenho, nas respostas para as questões sobre probabilidade condicionada e para as questões sobre acontecimentos independentes e incompatíveis. Relativamente ao GR avaliado nas respostas corretas, nota-se, quer nas turmas A e C quer nas três turmas em conjunto e em termos medianos, um menor rigor nas respostas dadas às questões propostas sobre acontecimentos independentes e incompatíveis. Tal facto pode indiciar um menor à vontade dos alunos em explicar os resultados que envolvem daqueles dois conceitos.
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56 4.2. Tipos de conflitos Por observação de todas as resoluções com 0<GD<5 e 0<GR<3 entre os 43 alunos, conseguiu-se tipificar as fontes principais de erros que emergem das respostas incorretas em 3 grandes classes: C1 – conflitos na interpretação e cálculo da probabilidade condicionada; C2 – Propriedades incorrectas associadas à noção de independência; C3 – Propriedades incorrectas associadas à noção de incompatibilidade. De seguida apresenta-se uma análise mais detalhada dos conflitos semióticos observados em cada classe. 4.2.1. Conf litos na interpretação e cálculo da probabilidade condicionada Os conflitos inseridos na classe C1 correspondem a confusões de interpretação, num texto verbal, entre probabilidade condicionada e probabilidade conjunta e a dificuldades em delinear os passos essenciais corretos para o cálculo do denominador na fórmula da probabilidade condicionada (i. e., aplicar correctamente a lei da probabilidade total). Das respostas observadas evidencia- se ser a classe C1 a que origina mais respostas não corretas: 65% dos alunos apresentam pelo menos uma resposta com interpretação não correta dos dados do enunciado; 53% revela conf lito no processo de cálculo de probabilidades condicionadas. O conflito atribuído à interpretação torna-se particularmente prejudicial pois origina a propagação de mais dificuldades como seja a incapacidade de estruturar, corretamente, em linguagem simbólica ou por tabela, os dados descritos em linguagem natural conduzindo assim a uma formulação matemática errada do enunciado. Na Figura 4 são ilustrados alguns casos observados de conf litos de interpretação da probabilidade condicionada inseridos na classe C1. A Figura 4.a. contém um excerto da resposta do aluno 19 da turma A, à questão 1.3, que interpreta erradamente os textos “ Probabilidade de ser confirmado, no nascimento, que o bebé da Sra. Ana é do sexo feminino ” e “ Probabilidade de ser confirmado, no nascimento, que o bebé da Sra. Berta é do sexo masculino ” para uma probabilidade conjunta. As Figuras 4.b. e 4.c. mostram as respostas erradas do aluno 8 da turma B, à questão 1.2, e do aluno 1 da turma C, à questão 2.1, respetivamente, ao terem traduzido para probabilidade da intersecção um texto com enunciado tipicamente de probabilidade condicionada, no primeiro caso, da forma “ probabilidade de… [A]… se …[B] ” e, no segundo caso, da forma “ probabilidade de…[A]… sabendo que …[B] ”. Em ambos os textos está claramente explícito ser [B] o acontecimento
NÍVEL DE CONHECIMENTO EM PROBABILIDADE CONDICIONADA 57 condicionante. Estes casos denunciam a inoperância do aluno de, face a um enunciado, averiguar se existe algum fenómeno ou acontecimento que restrinja o espaço amostral. Esta incapacidade sugere alguma imaturidade científica resultante da falta de informação ou de treino sobre enunciados tipicamente associados a probabilidades condicionadas, como os mencionados acima. Figura 4. Respostas evidenciando a interpretação errada por probabilidade conjunta de textos relativos a probabilidades condicionadas. Na Figura 5 estão transpostos alguns casos observados de conflitos de cálculo da probabilidade condicionada inseridos na classe C1. A Figura 5.a. ilustra uma resposta sem erros, do aluno 19 da turma A à questão 2.1, mas inacabada por falta do cálculo da probabilidade do acontecimento condicionante na fórmula da probabilidade condicionada. A Figura 5.b. mostra a estratégia da resposta do aluno 5 da turma C, na questão 2.1, de impor erradamente a independência de dois acontecimentos para obter um valor para o denominador na fórmula da probabilidade condicionada. 4.2.2. Propriedades incorrectas associadas à noção de independência Dentro da classe C2 incluem-se essencialmente dois tipos de conflitos, ambos derivados do estabelecimento de conexões erróneas, um com a noção de incompatibilidade e outro com a designação de acontecimentos incompatíveis. Enquanto o primeiro, mais grave, é fruto do aluno ainda não ter compreendido a noção probabilística associada ao conceito de independência confundindo-a com a noção de incompatibilidade, o segundo tipo realça a existência de similaridade nos termos incompatibilidade e independência, conduzindo à troca das designações em situação de stress, natural em momentos avaliativos. Para ambos os tipos registaram-se cerca de 30% dos alunos com pelo menos uma resposta nessas condições. Na Figura 6 apresentam-se dois exemplos do primeiro «P(a ecografia fazer prever que é menino e, ao nascer, ser mesmo menino) = 127/300 ≈ 0, P(a ecografia fazer prever que é menino e, ao nascer, ser mesmo menino) = 68/300 ≈ 0,23 » «P(M ∩ EF) = 96/300 = 0,32=3,2%» «P(A ∩ B) = 99,8%»
NÍVEL DE CONHECIMENTO EM PROBABILIDADE CONDICIONADA 59 Figura 7. Respostas erradas evidenciando trocas nas designações entre acontecimentos independentes e acontecimentos incompatíveis. 4.2.3. Propriedades incorrectas associadas à noção de incompatibilidade As resoluções das questões envolvendo o conceito de incompatibilidade (alíneas 1.4.c e 2.2) revelam que, em geral, os alunos compreendem o conceito de acontecimentos incompatíveis e justificam a incompatibilidade recorrendo, não à definição, mas somente à condição necessária da probabilidade da intersecção de acontecimentos incompatíveis ser nula. A verificação, apenas, desta condição necessária não é garantia dos acontecimentos serem incompatíveis. Já a sua não verificação é garantia dos acontecimentos não serem incompatíveis. Este jogo de raciocínio lógico envolvendo a condição necessária, mas não suficiente, de incompatibilidade leva à existência de conflitos na noção de incompatibilidade que definem a classe C3. Contabilizaram-se cerca de 20% dos alunos com pelo menos uma resposta com este tipo de conflito. Na Figura 8 estão dois exemplos de respostas observadas com argumentos errados inseridos na classe C3. A Figura 8.a. ilustra a resposta do aluno 1, da turma A, à questão 1.4.c., que recorre ao cálculo da probabilidade da intersecção para concluir a incompatibilidade. A Figura 8.b. revela a resposta do aluno 14, da turma C, à questão 2.2, onde confunde o numeral zero com o conjunto vazio (acontecimento impossível). « 2.3. P(A ∩ P) = P(A) × P(P) 0,05988 = 0,06 × 0, 0,05988 = 0, Logo são incompatíveis » « b) Se forem incompatíveis: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (136/300)^2 × (164/300)^2 = 0,30 × 0, Como esta igualdade não se verifica, estes dois acontecimentos não são independentes » � �
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60 Figura 8. Respostas dadas com conflitos na noção de incompatibilidade.
5. CONCLUSÕES
A realização de uma situação-problema motiva a abordagem de conceitos, propriedades e procedimentos, quer o aluno tenha já trabalhado nessa temática ou não, propiciando um amaduramento científico dos conceitos e propriedades. O domínio cognitivo dos conceitos e propriedades é aperfeiçoado nos procedimentos aplicados facilitando a fundamentação e a argumentação. Por seu turno, os argumentos a usar numa resposta determinam o procedimento a adoptar. Esta espiral de crescimento cognitivo expectável entre domínio, procedimento e argumentação, incentiva a realização de atividades matemática baseadas em situações-problema. Na presente investigação são analisadas em paralelo duas escalas ordinais, GD e GR, a respostas dadas a duas situações problemas, P1 e P2, para avaliar o nível de conhecimento sobre tópicos concretos da Teoria da Probabilidade leccionado actualmente no 12º ano de escolaridade em Portugal. Ambas as situações-problema propostas, P1 e P2, envolviam os tópicos de probabilidade condicionada, acontecimentos independentes e acontecimentos incompatíveis. Contudo, em P1 os dados encontravam-se esquematizados numa tabela de dupla entrada, enquanto em P2 os dados estavam descritos na forma de texto, o que exigia a sua formulação matemática por parte do aluno. Para um grupo investigado de 43 alunos do 12.º ano, verifica-se que o nível de conhecimento em probabilidade condicionada e independência de « P((A ∩ B) ∩ C) = P((A ∩ B) ∩ (B ∩ C) = P((A ∩ B) ∩ C) = ∅ e incompatível uma vez que a intersecção de C com A e B não faz sentido. logo e incompatível » « 2.2. A ∩ B) = 0 Não porque a probabilidade da A ∩ B = 0,003 pelo que deveria ser 0 »
