Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
Faculdade de Economia e Administração
Gustavo Schardong
CO-INTEGRAÇÃO APLICADA A ESTRATÉGIAS DE PAIRS
TRADING NO MERCADO ACIONÁRIO BRASILEIRO
São Paulo
2012
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fundamentos e arbitragens estatísticas. O primeiro método, e o mais utilizado por hedge funds, ... CPLE6 x PCAR4. R$ 2.386. 15,85%. AMBV4 x UGPA3. R$ 1.607.
Tipologia: Notas de aula
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Insper Instituto de Ensino e Pesquisa
Faculdade de Economia e Administração
Gustavo Schardong
CO-INTEGRAÇÃO APLICADA A ESTRATÉGIAS DE PAIRS
TRADING NO MERCADO ACIONÁRIO BRASILEIRO
São Paulo
Gustavo Schardong
Co-integração aplicada a estratégias de pairs trading no mercado
acionário brasileiro
Monografia apresentada ao curso de Ciências Econômicas, como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel do Insper Instituto de Ensino e Pesquisa.
Orientadora: Profa. Dra. Andrea Maria Accioly Fonseca Minardi - Insper
Co-Orientador: Prof. Dr. Hellinton Hatsuo Takada - Insper
São Paulo
- Introdução
- Revisão da Literatura
- Metodologia
- 3.1. Estacionariedade
- 3.2. Co-integração
- 3.3. Teste de estacionariedade
- 3.4. Teste de co-integração
- 3.5. Trading e backtesting.................................................................................................
- Resultados.........................................................................................................................
- Conclusão
- Referências bibliográficas
- Figura 1 – Simulação de séries estacionárias e não estacionárias Índice de figuras
- Figura 2 – Séries co-integradas e o spread entre elas.................................................................
- Figura 3 – Estrutura dos ciclos e backtesting
- Figura 4 – Série de preços padronizados de CMIG4 e GOLL4
- Figura 5 – Spread entre os preços padronizados de CMIG4 e GOLL4
Índice de tabelas
Tabela 1 – Resultado da estratégia por período ........................................................................ 13 Tabela 2 – Resultado da estratégia por pares durante o Ciclo 6 ............................................... 14 Tabela 3 – Resultado da estratégia por pares durante o Ciclo 10 ............................................. 14
combinação linear de duas ou mais séries não estacionárias, então estas séries são ditas co- integradas. Por apresentar esta característica, a série resultante possui propriedades desejáveis que possibilitam a modelagem de seus parâmetros, o que não seria possível com as séries em nível originais. Nos próximos capítulos, esta definição será formalizada e tratada com mais ênfase, já que é a base teórica da estratégia. Há ainda uma metodologia mais recente utilizada para negociar ativos em pares, conhecida como co-integração dinâmica. Segundo esta teoria, a relação entre determinados papéis pode variar ao longo do tempo, enquanto a co-integração usual considera que esta relação permanece imutável. Uma forma de aplicação pode ser vista em Triantafyllopoulos e Giovanni (2009). No caso dinâmico, essas relações devem variar seguindo certas restrições. Para a aplicação do pairs trading , Caldeira (2010) cita os seguintes pontos:
(i) a identificação dos pares de ações; (ii) quando o spread está suficientemente grande para abrir uma posição; (iii) o momento de encerrar a posição.
A identificação dos possíveis pares a serem utilizados na estratégia será feita com base na existência da relação de co-integração entre as séries de preços das ações. Alguns desses pares serão selecionados através de uma regra pré-definida, assim como os momentos de abertura e fechamento da posição também serão definidos com critérios previamente estabelecidos. Após a definição dos pares, a estratégia será testada utilizando o backtesting para podermos, então, avaliar os resultados. Para simulações e testes estatísticos, será utilizado o software Matlab e alguns scripts deste mesmo programa, que permitem verificar a estacionariedade de séries, a existência de co- integração, e aplicar as estratégias de trading de forma automatizada para os diversos pares de ativos e diferentes períodos. Serão utilizadas ações integrantes do Índice Bovespa entre os anos de 2005 e 2010, e suas séries de preços serão obtidas da BMF&BOVESPA.
2. Revisão da Literatura
Segundo Vidyamurthy (2004) e Gatev et al (2006), a origem da estratégia de pairs trading é atribuída ao físico Nunzio Tartaglia durante a década de 80, quando trabalhava no banco de investimentos Morgan Stanley, juntamente com um grupo de matemáticos, cientistas da computação e outros físicos. Sua missão era criar estratégias quantitativas de arbitragem utilizando as técnicas mais avançadas de estatística da época, que em seguida foram aplicadas em sistemas automatizados de negociação, considerados uma tecnologia de ponta na época. Desde então, a estratégia tem se difundido e a quantidade de trabalhos sobre o tema vêm crescendo no mundo e, mais recentemente, no Brasil. O trabalho de Vidyamurthy (2004), estruturado em forma de livro, explora diversas dimensões do pairs trading , como a teoria estatística e financeira envolvida, um pouco da história dessa estratégia e sugere uma forma de implementação no mercado real, embora não faça nenhum estudo empírico utilizando-se desse método. Alexander et al.(2001) critica os modelos de alocação de capital atuais, que utilizam apenas a correlação entre os ativos para decidir como a carteira será construída. Segundo os autores, ao tirar a diferença da série de preços para encontrar os retornos, o componente de longo prazo da série é perdido. Já a análise da série em nível original com a ferramenta da co-integração permite que essa característica de longo prazo em comum entre as ações seja preservada. Já Gatev et al (2006) realizaram um estudo utilizando essa estratégia em ações americanas no período entre 1962-2002. Para realizar os testes, o autor dividiu a estratégia em duas partes:
- Período de formação: este período foi definido como doze meses, em que o autor procurava pares de ativos cujos preços se movessem de forma parecida para que a estratégia de pairs trading pudesse ser implementada. Para evitar operações com ações ilíquidas, que poderiam distorcer o resultado, apenas aquelas que não ficaram nenhum dia sem nenhum negócio foram utilizadas.
- Período de negociação: No dia seguinte após a formação dos pares, começa o período de trading , utilizando uma regra pré-estabelecida. Nesse estudo, o autor utilizou como critério de abertura de uma posição o momento em que o spread superar dois desvios-padrão do estimado durante o período de formação e critério para fechamento de posição o cruzamento entre os preços das ações. Este período tem a duração de seis meses. Este último autor também executou a estratégia de pairs trading com pares aleatórios de ações, e obteve um resultado significantemente maior quando utilizou os pares co-integrados.
Neste caso, para o processo ser estacionário, é necessário que |^ ρ^ |<^1. Para ilustrar isso,
foram simuladas três séries utilizando o modelo em questão, com diferentes valores de ρ. O gráfico da Figura 1 mostra que, nos dois casos em que o processo é estacionário ( ρ =0 e ρ =0,5), a série permanece em torno da média, com variância aparentemente constante. Já a primeira série ( ρ =1) apresenta média e variância não constantes ao longo do tempo. A este caso em particular, em que ρ =1, damos o nome de “passeio aleatório”. Já quando ρ =0, como na terceira série simulada, o processo é chamado de “ruído branco”.
Figura 1 – Simulação de séries estacionárias e não estacionárias
Das três simulações, certamente a primeira é a que mais se aproxima do preço de ativos financeiros. Por esta razão, tentar prever o preço de uma ação, ao menos com os modelos existentes atualmente, não traz grandes vantagens. Para contornar o problema de séries não estacionárias, é possível realizar a diferenciação dos componentes de uma série de tempo para obter uma série estacionária, ou seja, fazer a diferença entre seu valor no período t e no período t-1. Com isso, a maioria das séries não estacionárias passa a respeitar as condições de estacionariedade mencionadas anteriormente. Entretanto, parte da informação de longo prazo contida nos dados é perdida ao trabalhar com a diferença das séries, ao invés de utilizar seus valores originais. Para ilustrar a aplicação deste método, vamos supor o modelo citado anteriormente:
yt = ρ y (^) t − 1 + ε t , ε (^) t ~ N ( 0 , 1 ) (5)
xt = ∆ yt = yt − yt − 1 (6)
0
5
10
15
20
1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153
ρ = ρ =0, ρ =
Realizando este procedimento, obtemos a série xt , que satisfaz as condições de
estacionariedade, mesmo quando a série original yt possuir raízes unitárias. Como tivemos
que diferenciar a série uma vez para chegar a uma série estacionária, dizemos que a série yt é
integrada de ordem 1, ou yt ~ I ( 1 ) e xt , por ser estacionária, é chamada de I ( 0 ), portanto:
- yt ~ I ( d )se e somente se ∆ d^ yt =( 1 − B ) dyt for estacionária, onde B d^ yt = yt − d.
3.2. Co-integração
Tendo definido estacionariedade e integração da série, podemos definir co-integração. Segundo Engle e Granger (1987), se y (^) t , xt ~ I ( 1 ), então normalmente é verdade que
z t = xt − α yt ~ I ( 1 ), entretanto, há casos em que zt ~ I ( 0 ). Nesses casos em especial, dizemos
que as séries xt e yt são co-integradas. Portanto, duas séries são co-integradas se e somente
se:
- x (^) t , yt ~ I ( d )
- Existe algum valor de α ≠ 0 tal que zt ~ I ( d − b ), d ≥ b > 0.
A implicação prática disso é que as séries tendem a “andar juntas” ao longo do tempo. Para ilustrar isso, segue o gráfico da Figura 2 que mostra a simulação de duas séries co-integradas e do spread entre elas: Figura 2 – Séries co-integradas e o spread entre elas
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 197
A B A-B
(i) Seleção de ações com no mínimo um negócio por dia durante o período de seleção; (ii) Combinação dessas ações em pares e busca por pares co-integrados; (iii) Abertura da posição quando o spread atingir determinado patamar pela segunda vez, sinalizando o retorno deste à média de longo-prazo, e fechamento quando os preços normalizados se cruzarem. Este patamar é definido durante o período de formação, através da otimização do resultado da estratégia neste intervalo. O método para maximizar os resultados será explicado mais adiante; (iv) Cálculo do resultado referente ao último período de negociação e início de outro período de negociação, utilizando como base os dados dos últimos doze meses.
Cada período de dezoito meses, que compreende um Período de Formação e um Período de Negociação, será chamado de ciclo. Os ciclos serão divididos da seguinte forma:
Figura 3 – Estrutura dos ciclos e backtesting
Como é possível perceber na Figura 3, durante o período de negociação do Ciclo 1, já estão sendo obtidos os dados para a estimação dos modelos para o Ciclo 2. Ao término do primeiro período de negociação, já têm início as negociações do segundo ciclo. Com os resultados de todos os ciclos, será feita uma análise de retorno e de possíveis falhas do modelo ao longo do tempo em que foi utilizado. Para calcular o retorno da estratégia, será considerado um custo de transação percentual sobre o valor das operações, um capital alocado para cada par, uma taxa de rendimento do capital não utilizado e uma taxa de aluguel dos ativos para formar a posição short do spread.
Ciclo 1 Ciclo 2 Ciclo 3
Período de formação
Período de negociação/ Backtesting
Como a estratégia é baseada na compra de um ativo e venda de outro, o capital necessário para abrir tal posição seria apenas a diferença entre os dois, porém na prática é preciso alocar um capital maior para garantir a posição vendida. Neste trabalho, o capital alocado foi de 125% da maior posição entre os dois ativos. Embora este capital seja para fins de garantia, ele pode ser aplicado, e para isto foi utilizado o CDI. A taxa de aluguel e os custos de transação considerados foram de 4% ao ano, 0,05% referentes à corretagem emolumentos. Como o trabalho não tem por objetivo estudar a alocação entre os pares, todos têm o mesmo peso dentro de um período. Em resumo, um capital inicial de R$1.000.000,00 será dividido igualmente entre os pares em cada período para simular o patrimônio de um fundo. Em cada par, será calculado o tamanho da posição com base no capital alocado. O capital livre da posição será aplicado, e as posições vendidas terão um custo de aluguel. Para comparação dos resultados, o CDI será utilizado como benchmark. Embora seja uma estratégia de renda variável, o pairs trading não é uma estratégia direcional, portanto esta medida de desempenho é mais adequada do que o Ibovespa, por exemplo. Conforme citado anteriormente, a definição dos limites superiores e inferior de cada par é feita no período de formação de cada ciclo. Para otimizar estes parâmetros, o método utilizado é uma simulação, que testa diversos valores dentro de um intervalo, de forma a maximizar o resultado da estratégia neste período. Os intervalos de valores a serem testados para cada limite são definidos da seguinte forma: Limite superior: valores entre a média e a máxima do período. Limite inferior: valores entre a mínima e a média do período. A combinação de parâmetros que gerar o melhor resultado será utilizada no período de negociação, sendo recalculada a cada ciclo.
Tabela 2 – Resultado da estratégia por pares durante o Ciclo 6
Ativos Resultado (^) Líquida ao anoRentabilidade Ativos Resultado (^) Líquida ao anoRentabilidade BBDC4 x BRAP4 R$ 2.920 12,64% CCRO3 x DASA3 R$ 3.753 16,38% BBDC4 x BRFS3 R$ 8.393 38,36% CMIG4 x DASA3 -R$ 5.981 -23,54% BBDC4 x VALE3 R$ 3.642 15,88% GGBR4 x GOAU4 R$ 4.542 19,98% BBDC4 x VALE5 R$ 2.946 12,75% GGBR4 x TRPL4 R$ 804 3,41% BRFS3 x VALE3 R$ 2.920 12,64% GOAU4 x TRPL4 R$ 1.601 6,84% BRFS3 x VALE5 R$ 2.920 12,64% GOLL4 x LAME4 -R$ 1.800 -7,42% BRKM5 x NATU3 R$ 2.920 12,64% LAME4 x TIMP3 R$ 37.543 219,84% CCRO3 x CMIG4 R$ 6.952 31,33% NATU3 x VIVT4 -R$ 6.619 -25,87%
Tabela 3 – Resultado da estratégia por pares durante o Ciclo 10
Ativos Resultado (^) Líquida ao anoRentabilidade Ativos Resultado (^) Líquida ao anoRentabilidade
AMBV4 x TIMP3 R$ 1.592 10,45% CPLE6 x PCAR4 R$ 2.386 15,85% AMBV4 x UGPA3 R$ 1.607 10,55% CPLE6 x TIMP3 -R$ 173 -1,11% BBDC4 x GGBR4 R$ 1.592 10,45% CSNA3 x USIM5 -R$ 1.361 -8,52% BBDC4 x GOAU4 R$ 1.592 10,45% ELET6 x FIBR3 R$ 3.970 27,02% BRAP4 x ITSA4 R$ 2.799 18,72% GGBR4 x ITUB4 R$ 1.592 10,45% BRFS3 x SBSP3 R$ 517 3,34% GOAU4 x ITUB4 R$ 1.592 10,45% BRFS3 x TIMP3 R$ 5.610 39,13% GOLL4 x LAME4 R$ 2.377 15,79% BRKM5 x TIMP3 R$ 2.376 15,79% GOLL4 x TIMP3 R$ 1.592 10,45% CCRO3 x CPLE6 R$ 4.816 33,20% ITSA4 x KLBN4 R$ 889 5,77% CCRO3 x ITSA4 R$ 1.227 8,01% ITSA4 x VALE3 -R$ 832 -5,25% CCRO3 x PCAR4 R$ 2.049 13,54% ITSA4 x VALE5 R$ 365 2,35% CMIG4 x GOLL4 R$ 2.896 19,39% KLBN4 x TIMP3 R$ 1.592 10,45% CMIG4 x ITUB4 R$ 4.920 33,97% KLBN4 x UGPA3 -R$ 1.580 -9,86% CMIG4 x LAME4 R$ 106 0,68% OIBR3 x VIVT4 R$ 1.226 8,00% CPFE3 x TIMP3 -R$ 1.107 -6,96% PCAR4 x TIMP3 R$ 5.452 37,94%
Esta divisão por pares foi feita em todos os ciclos, porém devido ao grande número de pares cointegrados em alguns ciclos, serão expostos apenas dois. A cada ciclo, novos pares são selecionados e um capital de R$1.000.000,00 é redistribuído entre eles. Para ilustrar o comportamento de um par durante o ciclo, seguem dois gráficos com os preços as ações CMIG4 e GOLL4 padronizados e o spread entre eles durante o Ciclo 10:
Figura 4 – Série de preços padronizados de CMIG4 e GOLL
Figura 5 – Spread entre os preços padronizados de CMIG4 e GOLL
A linha tracejada vertical separa o período de formação e de trading. A linha tracejada horizontal representa a média do spread durante o período de formação. Os limites inferior e superior são os parâmetros definidos conforme o método mostrado anteriormente, e são representados como as linhas sólidas no gráfico. Também foram identificados os momentos de abertura e fechamento de posições: 1 – Abertura de posição comprada em spread , ou seja, long CMIG3 e short GOLL4 quando este cruza o limite inferior de baixo para cima, sinalizando retorno à média; 2 – Fechamento da posição comprada quando o spread atinge seu objetivo, a média; 3 – Abertura de posição vendida em spread , ou seja, short CMIG3 e long GOLL4 quando este cruza o limite superior de cima para baixo, sinalizando retorno à média; 4 – Fechamento da posição vendida quando o spread cruzar a média.
Apesar de já ser difundida no mercado, este trabalho sugere que a estratégia de pairs trading ainda tem espaço para ser utilizada, já que conseguimos resultados acima do CDI durante o período, mesmo sem utilizar a estratégia em sua forma mais eficiente e sem otimizar os custos de transação e aluguel.
6. Referências bibliográficas
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GATEV, Evan; GOETZMANN, Willian N.; ROUWENHORST, K. Geert. Pairs Trading: Performance of a Relative Value Arbitrage Rule. The review of Financial Studies. v. 19, p.797-827, 2006.
ENGLE, Robert Fry; GRANGER, Clive. Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing. Econometrica. v. 55, p. 251-276, 1987.
HERLEMONT, Daniel. Pairs Trading, Convergence Trading, Cointegration. YATS Working Papers - YATS Finances & Technologies, Toulouse, 2004.
CALDEIRA, João. Arbitragem Estatística, Estratégia Long-Short Pairs Trading , Abordagem da Co-integração Aplicada a Dados do Mercado Brasileiro. In: Encontro Nacional de Economia, 38, 2010
TSAY, Ruey. Analysis of Financial Time Series , 2nd. Wiley & Sons, 2005. 472 p.
ALEXANDER, Carol, GIBLIN, Ian, WEDDINGTON, Wayne. Cointegration and Asset Allocation : A New Fund Strategy. Henley Business School, Reading University, 2001.
TRIANTAFYLLOPOULOS, Kostas, GIOVANNI, Montana. Dynamic modeling of mean- reverting spreads for statistical arbitrage , Quantitative Finance Papers, 2009.
PHILLIPS, Peter, PERRON, Pierre. Testing for a Unit Root in Time Series Regression, Biometrika, 75, 335–346, 1988.
ELLIOTT, Graham, ROTHENBERG, Thomaz, STOCK, James. Efficient Tests for an Autoregressive Unit Root , Econometrica, Vol. 64, No. 4., pp. 813–836.