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Material de Leitura 07 Modelos Discretos
Principais Modelos Discretos
Algumas variáveis aleatórias aparecem com bastante frequência em situações práticas e justificam um estudo mais aprofundado. Em geral, nesses casos, a função de probabilidade pode ser escrita de uma maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para atribuir as probabilidades. Na literatura são apresentados diferentes modelos discretos de probabilidade, dentre eles: Modelo Binomial; Modelo Geométrico; Modelo de Poisson; Modelo Hipergeométrico.
Modelo Binomial
Considere que, após um exame médico, pacientes são diagnosticados como tendo pressão alta (A) e não tendo pressão alta (N). Se três pacientes são escolhidos ao acaso e essa classificação é atribuída, temos o seguinte espaço amostral:
Suponha que o interesse seja saber quantas pessoas com pressão alta foram encontradas, não interessando a ordem de escolha. Ou seja, queremos estudar a variável aleatória que atribui a cada resultado o número de pessoas com pressão alta. Como consequência, temos
Portanto é uma variável aleatória discreta.
Dito isto, vamos construir uma tabela com as probabilidades de uma pessoa ter pressão alta ( ).
Tabela 1. Tabela das probabilidades ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Resumidamente, temos:
Logo, é possível estabelecer a seguinte função de distribuição de probabilidades:
( ) (^). / ( )
Em que. / representa o coeficiente binomial
. / (^) ( )
De modo que:
. / (^) ( ) . / (^) ( ) . / (^) ( ) . / (^) ( )
De um modo geral, o modelo de distribuição binomial considera a repetição de ensaios independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso. A variação aleatória que conta
Exemplo 2: O escore em um teste internacional de proficiência na língua inglesa varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações coletadas durante vários anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho no teste: , ) , ) , ) , ) , ) , - 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0, Várias universidades americanas, exigem um escore mínimo de 600 pontos para aceitar candidatos de países de língua não inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o último exame, escolhemos ao acaso 20 deles. Qual seria a probabilidade de no máximo 3 atenderem ao requisito mínimo mencionado?
O problema pode ser formulado pelo modelo binomial com (total de experimentos) e (probabilidade de sucesso – obtenção de um escore mínimo). A probabilidade de obtenção de no máximo três atenderem o requisito mínimo é dado por:
( ) ( ) ( ) ( ).
( ) (^ )
( ) (^ )
( ) (^ )
( ) (^ )
Exercícios
Suponha que 10% da população seja de canhotos. Escolhidas três pessoas aleatoriamente, qual a probabilidade de ao menos duas serem canhotas?
Suponha que 2/5 da população tenham sangue do tipo O+. Escolhidas aleatoriamente seis pessoas, qual a probabilidade de quatro ou mais delas terem sangue O+?
Qual a probabilidade de dois dos próximos três presidentes terem nascido em um domingo?
Suponha uma loteria diária. Cada noite é escolhido um número de três algarismos (inclusive no domingo). Qual é a probabilidade de se obter um número inferior a 100, exatamente duas vezes em uma semana?
Em dez lançamentos de um dado, qual a probabilidade de obtenção de pelo menos oito resultados ímpares?
Qual a probabilidade de obtenção de pelo menos quatro resultados “cara” em cinco lançamentos de uma moeda viciada, sabendo que a probabilidade do resultado “cara” é de 75%?
