Você acertou 1 de 9 questões
Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício quantas vezes quiser.
Verificar Desempenho
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
1Marcar para revisão
Analisando a declaração "Para qualquer inteiro positivo, 6n-1 é divisível por 5", feita por um estudante de
métodos de demonstração, assim escreveu:
Para qualquer n ≥ 1, que a Pn seja a afirmação de que 6 1 é divisível por 5. Caso base. A declaração P1 diz
que 6 1 6 1 5 é divisível por 5.
PORQUE
Ao fixar k ≥ 1, e supor que Pk é satisfeita, ou seja, 6 1 é divisível por 5.
Resta mostrar que o Pk+1 é satisfeita, ou seja, que 6 1 é divisível por 5.
6 1 66 ) 1
66 1 6 1
66 1 5
Assim, para Pk, o primeiro termo 66 1 é divisível por 5, o segundo termo é claramente divisível por 5.
Portanto, o lado esquerdo também é divisível por 5. Portanto, Pk+1 é satisfeito.
Assim, a proposição para todos os n ≥1, a Pn é satisfeita.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
n
1
k
k+1
k+1 k
k
k
k
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da
primeira.
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O estudante fez uma afirmação e, em seguida, justificou-a. A primeira afirmação é que para qualquer
inteiro positivo, 6n-1 é divisível por 5. A segunda afirmação é a justificativa da primeira, onde ele usa um
método de indução matemática para provar a primeira afirmação. Ele começa com um caso base e, em
seguida, assume que a afirmação é verdadeira para um número k. Ele então mostra que se a afirmação é
verdadeira para k, então também é verdadeira para k+1. Portanto, a alternativa correta é a A "As duas
asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira".
2Marcar para revisão
Analisando a proposição: a equação 3x 5y = n tem solução em IN U 0 , é verdadeira para todo n ≥ 8, um
estudante de Métodos de Demonstração assim escreveu:
I De fato, ela é verdadeira para n 8, pois a equação 3x 5y 8
admite a solução (x; y) = (1; 1.
Suponha agora que a equação 3x 5y = n tenha uma solução (a, b) para algum n ≥ 8; isto é, 3a 5b = n. Note
que, para qualquer solução (a, b), devemos ter a ≥ 1 ou b ≥ 1.
Se b ≥ 1, observando que 3 2 5 1 1, segue que:
3(a 2 5(b 1 3a 5b 3 2 5 1 3a 5b 1 n 1;
o que mostra que a equação 3x 5y = n 1 admite a solução (a 2; b 1 em IN U 02.
PORQUE
II Se, por acaso, b 0, então, a ≥ 3; usando a igualdade 3 X 3 5 X 2 1; temos:
3(a 3 5 X 2 3a 3 X 3 5 X 2 3a 5b 1 n 1; o que mostra que a equação 3x 5y = n 1 admite a
solução (a 3; b 2 em IN U 02.
Mostramos assim que, em qualquer caso, a equação 3x 5y = n 1 admite solução, sempre que a equação 3x
5y = n, para algum n ≥ 8, tenha solução.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
2
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da
primeira.
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O estudante apresenta duas asserções. A primeira afirma que a equação 3x 5y = n tem solução em IN U
{0 para todo n ≥ 8, o que é verdadeiro. A segunda asserção é uma justificativa para a primeira, onde o
estudante demonstra que, para qualquer solução (a, b), se b ≥ 1 ou a ≥ 3, a equação 3x 5y = n 1
também terá solução. Portanto, ambas as asserções são verdadeiras e a segunda justifica corretamente a
primeira, tornando a alternativa A a correta.
2
3Marcar para revisão
Analisando a declaração: Demonstre que√2 é um número irracional, feita por um estudante de métodos de
demonstração, ele assim escreveu:
I. Demonstração. Suponha, por absurdo, que√2é racional.
Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que√2 poderia ser representado
como fração irredutível a b.
PORQUE
II. A partir disto, podemos afirmar que:
2 √2 = (a/b) = a /b
2b = a
Assim, temos que a é par e, desta forma, a também é par. Como a é par, a 2k para algum inteiro k. Logo:
2b = a = (2k) 4k
b 2k
O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a fração irredutível a/b
poderia ser reduzida, um absurdo.
Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim irracional.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é:As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
Na asserção I, o estudante define a suposição inicial da sua prova por contradição: ele assume que √2 é
um número racional e que pode ser expresso como uma fração irredutível a/b. Isso é uma preparação para
o argumento que ele está prestes a fazer e é uma estratégia válida para iniciar uma prova por contradição.
Na asserção II, o estudante apresenta sua justificativa para essa suposição ser falsa. Ele desenvolve um
argumento lógico, que começa com a suposição da asserção I e, através de uma série de manipulações
matemáticas válidas, chega a uma contradição, o que significa que a suposição inicial (de que √2 é um
número racional) deve ser falsa.
Portanto, a opção correta é: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
4Marcar para revisão
Analisando a proposição "Cada número racional não zero pode ser escrito como produto de dois números
irracionais", um estudante de Métodos de Demonstração assim escreveu:
I. Faça a ∈ Q.
PORQUE
II. então podemos escrever a como um produto de dois irracionais . a/ = a onde a/ é irracional e a é
racional.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
√2√2√2
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da
primeira.
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A alternativa correta é a "A", pois ambas as asserções são proposições verdadeiras e a segunda justifica
corretamente a primeira. Na primeira asserção, o estudante propõe que um número racional não zero (a)
pertence ao conjunto dos números racionais Q. Na segunda asserção, ele justifica essa afirmação
mostrando que o número racional (a) pode ser expresso como o produto de dois números irracionais, neste
caso, a raiz quadrada de 2 e a divisão de a pela raiz quadrada de 2. Portanto, a segunda asserção valida a
primeira, tornando ambas verdadeiras.
5Marcar para revisão
Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes esse inteiro é divisível por 4. Nesse contexto, analise as
afirmações a seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal proposição é verdadeira.
I. Suponhamos que n é um inteiro divisível por 6, isto é, n 6q, para algum inteiro q.
II. Vamos analisar o dobro do número n.
III. Logo: 2n 2(6q) 12q 4(3q) 4k, onde k 3q é um inteiro q.
É correto o que se afirma em:
I, apenas.
II e III apenas.
I e II apenas.
I e III apenas.
I, II e III
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Todas as afirmações estão corretas. Na primeira afirmação, é estabelecido que n é um número inteiro
divisível por 6, ou seja, pode ser escrito como n 6q, onde q é um número inteiro. Na segunda afirmação, é
proposto analisar o dobro desse número, 2n. Na terceira afirmação, é demonstrado que 2n 2(6q) 12q
4(3q) 4k, onde k 3q é um número inteiro, confirmando que o dobro de um número divisível por 6 é, de
fato, divisível por 4. Portanto, as afirmações I, II e III estão corretas.
6Marcar para revisão
Coloque em ordem a demonstração: se 3n 2 é ímpar, na qual n é um número inteiro, então n é ímpar.
I. Suponhamos que se n é par, então 3n 2 é par, com n um número inteiro.
II. Agora, suponhamos que n é par, isto é, n 2k para algum inteiro k.
III. Vamos analisar 3n 2
3n 2 3(2k) 2 6k 2 23k 1 2q, onde q 3k 1 é um inteiro.
Portanto, 3n 1 é par e 3n 2 é ímpar.
4 3 2 1
1 2 3 4
2 3 4 1
4 3 1 2
1 2 4 3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A sequência correta para a demonstração é: 1 2 3 4. Primeiro, supomos que se n é par, então 3n 2 é
par, com n um número inteiro I. Em seguida, supomos que n é par, isto é, n 2k para algum inteiro k II.
Depois, analisamos 3n 2, chegando à conclusão que 3n 2 3(2k) 2 6k 2 23k 1 2q, onde q
3k 1 é um inteiro III. Finalmente, concluímos que 3n 1 é par e 3n 2 é ímpar.
7Marcar para revisão
Se , com a e b inteiros posistivos, então ou . Nesse contexto, analise as afirmações a
seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal proposição é verdadeira.
I. Suponhamos que e e .
II. Vamos analisar : o que contradiz a hipótese.
III. Portanto, se , com a e b inteiros positivos, então ou
É correto o que se afirma em:
n
=
a
.
b a
≤√
n b
≤√
n
n
=
a
.
b a
>√
n b
>√
n
a
.
b a
.
b
>√
n
.√
n
= (√
n
)2=
n
n
=
a
.
b a
≤√
n b
≤√
n
I apenas.
II e III apenas
I e II apenas.
I e III apenas.
I, II e III.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é:I, II e III
I. A primeira afirmação supõe que com e . Se ambas as suposições são
verdadeiras, a.b seria necessariamente maior que n, pois o produto de dois números maiores que será
maior que n. No entanto, a nossa proposição original afirma que . Isso produz uma contradição,
invalidando a suposição inicial de que e .
II. A segunda afirmação analisa o produto em relação a . Se fosse maior que , isso implicaria
que n (porque ) é maior que . Elevando ambos os lados ao quadrado, teríamos , o que
não é necessariamente verdadeiro para todos os n. Esta análise não contradiz a hipótese inicial, mas, na
verdade, reforça a conclusão de que se , então ou , ou , ou ambos.
III. A terceira afirmação é uma reiteração da proposição inicial que queremos demonstrar. É a conclusão
lógica das duas primeiras afirmações, já que ambas estabelecem que não pode ser maior que n e,
portanto, nem a nem b podem ser maiores que .
Em conclusão, todas as três afirmações contribuem para a demonstração da proposição original. A análise
das implicações de e demonstra que essa suposição leva a uma contradição, provando
por redução ao absurdo que se , então ou .
n
=
a
.
b a
>√
n b
>√
n
√
n
n
=
a
.
b
a
>√
n b
>√
n
a
.
b
√
n a
.
b
√
n
n
=
a
.
b
√
n n
2>
n
n
=
a
.
b a
≤√
n b
≤√
n
a
.
b
=
n
√
n
a
>√
n b
>√
n
n
=
a
.
b a
≤√
n b
≤√
n
8Marcar para revisão
Considere que para todos os n ≥ 1, 1 4 7 ... + 3n 2 n. 3n- / 2.
Demonstrando por indução matemática, julgue os itens que se seguem.
I Para qualquer inteiro n ≥ 1, que a Pn seja a afirmação de que:
1 4 7 ... + 3n 2 n. 3n- 1 / 2.
II Caso base. A declaração P1 diz que: 3. 1 ¿ 2 1. 3.1 ¿ 1 / 2 que é verdadeira.
III Passo indutivo. Fixe k ≥ 1, e suponha que Pk é satisfeita, isto é,
1 4 7 ... + 3k 2 k. 3k- 1 / 2.
IV Resta mostrar que o Pk+1 é satisfeita, ou seja,
1 4 7 ... + 3(k 1 2 (k 1. 3(k 1 1 / 2
Vejamos:
1 4 7 ... + 3(k 1 2 1 4 7 ... + 3(k 1 2
1 4 7 ... + 3k 1
1 4 7 ... + 3k 2 3k 1
= k(3k 1/2 3k 1
= (k(3k 1 23k 1/2
= 3k - k 6k 2/2
3k 5k 2/2
2
2
Apenas um item está certo.
Apenas os itens I, II e III estão certos
Apenas os itens II, III e IV estão certos
Todos os itens estão certos.
Apenas dois itens estão certos.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A alternativa correta é a D, pois todos os itens estão corretos. A questão apresenta uma demonstração por
indução matemática. No item I, é apresentada a afirmação Pn que será provada. No item II, é apresentado
o caso base, que é verdadeiro. No item III, é feito o passo indutivo, assumindo que a afirmação Pk é
verdadeira. No item IV, é mostrado que a afirmação Pk+1 também é verdadeira, completando a prova por
indução. Portanto, todos os itens estão corretos.
9Marcar para revisão
Analisando a declaração: Demonstre que √2 é um número irracional; um estudante de métodos de
demonstração assim escreveu: Demonstração. Suponha, por absurdo, que é racional. Desta forma, seria
possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que poderia ser representado como fração
irredutível a/b. PORQUE II. A partir disto, podemos afirmar que: 2 ) = (a/b) = a /b 2b = a Assim,
temos que a é par e, desta forma, a também é par. Como a é par, a 2k para algum inteiro k. Logo: 2b = a =
(2k) 4k b 2k O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a
fração irredutível a/b poderia ser reduzida, um absurdo! Logo, podemos concluir que o número não pode ser
racional, e sim, é irracional. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
√2
√2 √2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
Apenas um item está certo.
Apenas os itens I, II e III estão certos.
Apenas os itens II, III e IV estão certos.
Todos os itens estão certos.
Apenas dois itens estão certos.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é:Todos os itens estão certos. A demonstração do estudante está correta. A partir da
suposição de que √2 é racional, o estudante chega à conclusão de que √2 é par, o que é uma contradição.
Portanto, a resposta correta é que todos os itens estão certos.
Questão 1de 9
Corretas 1
Incorretas 8
Em branco 0
1 2 3 4 5
6 7 8 9
Exercicio Métodos De Demonstração Sair