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Exemplos - Combinação Linear
Exemplo 1: O elemento v = (4, 3) ∈ R^2 é combinação linear dos elementos v 1 = (1, 0) e v 2 = (0, 1).
De fato, v pode ser escrito como:
v = (4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1) = 4v 1 + 3v 2
Assim, existem os escalares α 1 = 4 e α 2 = 3 tais que v pode ser escrito como v = α 1 v 1 + α 2 v 2. Logo, v é combinação linear de v 1 e v 2.
Figura 1: O vetor v = (4, 3) é combinação linear dos vetores v 1 = (1, 0) e v 2 = (0, 1).
Exemplo 2: Considere o mesmo vetor v = (4, 3) ∈ R^2 do exemplo anterior, ele também pode ser escrito como combinação linear dos vetores v 1 = (1, 1) e v 2 = (0, 1) da forma:
v = (4, 3) = 4(1, 1) − 1(0, 1)
Figura 2: O vetor v = (4, 3) é combinação linear dos vetores v 1 = (1, 1) e v 2 = (0, 1).
Exemplo 3: Dados os elementos v 1 = (1, 0) e v 2 = (1, 1) e os escalares α 1 = 2 e α 2 = 3, o elemento: v = α 1 v 1 + α 2 v 2 = 2(1, 0) + 3(1, 1) = (2 + 3, 0 + 3) = (2, 3)
é combinação linear dos vetores v 1 e v 2.
Exemplo 4: O elemento v = (2, 4 , −3) ∈ R^3 é combinação linear dos elementos v 1 = (1, 0 , 0), v 2 = (0, − 1 , 0), v 3 = (0, 0 , 2).
Para que v seja combinação linear de v 1 , v 2 , v 3 é preciso que existam α 1 , α 2 , α 3 ∈ R de modo que:
v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 ⇒ (2, 4 , −3) = α 1 (1, 0 , 0) + α 2 (0, − 1 , 0) + α 3 (0, 0 , 2) ⇐⇒
α 1 = 2 −α 2 = 4 2 α 3 = − 3
α 1 = 2 α 2 = − 4 α 3 = − (^32)
Assim, v = 2v 1 − 4 v 2 − 32 v 3.
Exemplo 5: Qualquer elemento v = (a, b, c) ∈ R^3 é combinação linear de i = (1, 0 , 0), j = (0, 1 , 0) e k = (0, 0 , 1).
De fato, qualquer elemento v = (a, b, c) pode ser escrito como:
(a, b, c) = a(1, 0 , 0) + b(0, 1 , 0) + c(0, 0 , 1)
com a, b, c ∈ R. i, j e k são chamados vetores canônicos do R^3.
Exemplo 6: O elemento v = (7, 8 , 9) ∈ R^3 pode ser escrito como combinação linear de v 1 = (2, 1 , 4), v 2 = (1, − 1 , 3) e v 3 = (3, 2 , 5).
É preciso achar escalares α 1 , α 2 , α 3 de modo que:
v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 ⇐⇒ (7, 8 , 9) = α 1 (2, 1 , 4) + α 2 (1, − 1 , 3) + α 3 (3, 2 , 5) ⇐⇒
2 α 1 + α 2 + 3α 3 = 7 α 1 − α 2 + 2α 3 = 8 4 α 1 + 3α 2 + 5α 3 = 9
escalonamento−−−−−−−−−−→
α 1 − α 2 + 2α 3 = 8 21 α 2 − 7 α 3 = − 63 − 2 α 3 = − 6
Obtemos um sistema linear cuja solução é: α 1 = 0, α 2 = − 2 e α 3 = 3.
Assim, v = 0v 1 − 2 v 2 + 3v 3. Note que, como α 1 = 0, podemos concluir que v também é com- binação linear apenas de v 2 e v 3 : v = − 2 v 2 + 3v 3.
Exemplo 7: O polinômio p(x) = 3x^2 + x + 2 pode ser escrito como combinação linear dos polinômios p 1 (x) = x^2 , p 2 (x) = x e p 3 (x) = 1.
Neste caso, basta tomar como constantes os coeficientes do polinômio p(x), assim temos:
p(x) = 3x^2 + x + 2 = 3p 1 (x) + 1p 2 (x) + 2p 3 (x)
Logo, p(x) é combinação linear dos elementos p 1 (x), p 2 (x), p 3 (x). Em geral, qualquer polinômio de grau menor ou igual que 2 pode ser escrito como combinação linear destes polinômios.
