Métodos de Integración
I n d i c e
Introducción
Cambio de Variable
Integración por partes
Integrales de funciones trigonométricas
Sustitución Trigonométrica
Fracciones parciales
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metodos integracion, Notas de estudo de Química Industrial
1 metodos de integracion
Tipologia: Notas de estudo
2012
1 / 43
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Métodos de Integración
I n d i c e
Introducción
Cambio de Variable
Integración por partes
Integrales de funciones trigonométricas
Sustitución Trigonométrica
Fracciones parciales
Introducción.
En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las
principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas
de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se
presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos
permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.
estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la
integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien
reducirla a una integral más sencilla.
Regresar al índice
k
x x dx +
5 4
Análogamente ¿podemos afirmar que k
x x dx = +
(cos ) (cos )
5 4 ?
De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando
4
5 (cos ) 5
(cos ) senx x
x
dx
d =−
lo correcto sería
k
x senx x dx =− +
(cos ) (cos )
5 4
En el cálculo de estas dos integrales
k
x x dx +
5 4 k
x senx x dx =− +
(cos ) (cos )
5 4
como una variante de la fórmula
1
≠ −
α α k si
x x dx
advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se
calcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)
α ,
es decir
[ ]
[ ]
1
≠ −
α α k si
u x ux u xdx
En general, si partimos de una integral conocida
f x dx = g x + k
y cambiamos la variable x por la función derivable u ( x ), tal que u '( x ) es continua,
obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE
f [ u x ] u xdx = g [ u x ] + k
Podemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho
[ g [ u ( x )] k ] g '[ u ( x )] u '( x ) f [ u ( x )] u '( x )
dx
d
- = =
este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f.
Si en la fórmula anterior escribimos u = u (x) y u '( x ) dx = du , la fórmula de cambio de
variable nos quedaría como:
f udu = gu + k
En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado de
dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral
resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de
cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a
una función u y a u', su derivada.
Ejemplo 1. Encuentre x dx
4 ( 3 5 )
Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a u du
4 ,
lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-
u = 3 x -5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = ( 1/3 )du
Sustituyendo en la integral,
c
x c
u c
u x dx u du u du +
5 5 5 4 4 4
coincidiendo con el resultado anterior.
Ejemplo 2. Encuentre xsenxdx
4 cos
Observación : De lo anterior podemos concluir que el cambio de variable procede cuando
en el integrando aparece una función u y su derivada multiplicada por una constante.
Además que la integral de la variable u sea posible resolverla.
Ejemplo 4. Encuentre x x dx
6 7 3 2
Solución. En este caso aparece la función u = 2 -x 7 y su derivada (-7 x 6 ) multiplicada por la
constante (-3/7), precisando:
u = 2 -x 7 ⇒ du = - 7 x 6 dx
Como en la integral tenemos que sustituir 3 x 6 dx ,
du = - 7 x
6 dx ⇒ x dx du x dx du 7
c u c x c
u x x dx udu − +
3 / 2 7 3 / 2
3 / 2 6 7 ( 2 ) 7
así pues
x x dx − x + c
6 7 7 3 ( 2 ) 7
Nótese que una vez identificado el cambio de variable u, vemos que la integral por resolver
es
u du , es decir, resolver nuestra integral x x dx
6 7 3 2 se reduce a resolver
u du mediante el citado cambio de variable ó en otras palabras nuestra integral de la
variable x es similar a
udu
Existen otras situaciones en que el cambio de variable no es tan evidente en términos de la
función u y su derivada, por lo cual tenemos que echar la vista adelante y ver a que función
fácil de integrar es similar nuestra función.
Ejemplo 5. Encuentre dx x
x
2
Solución. En una primera vista no advertimos la presencia de una función u y su derivada,
ya que la derivada de 1 + x
6 = 6 x
5 y en el integrando no aparece x
5 sino x
2
. No debemos
perder de vista que al hacer un cambio de variable es por que nuestra integral es similar ó se
puede reducir a otra fácil de resolver.
Si pensamos que x 2 dx será el nuevo diferencial, entonces u tendría que ser x 3 , es decir
u = x
3 ⇒ du = 3 x
2 dx
como se ve al expresar la integral de la siguiente manera:
u c x c u
du dx x
x = + = +
arctan( ) 3
arctan 3
3 3 2 2
2
Ejemplo 6. Encuentre dx
x
x
8
3
Solución. En analogía al ejemplo anterior, podemos decir que esta integral se reduce a
du u
du
2 1
, ya que si tomamos el cambio de variable u 2 =9 x 8 , ó equivalentemente
u = 3 x
4 ⇒ du = 12 x
3 dx, es decir x
3 dx = ( 1/12 )du, y sustituyendo:
arcsenu c arcsen x c u
du dx x
x = + = + −
4 8 2
3
Podemos utilizar el método de cambio de variable para encontrar las integrales de algunas
funciones conocidas
Ejemplo 7. Encuentre xdx
tan
Solución. dx x
senx x dx
cos
tan
u = cosx ⇒ du = -senx
u c x c u
du dx x
senx = − =− + =− +
ln ln(cos ) cos
Como - ln(cos x ) = ln 1 - ln( cos x) = ln(1/ cos x) = ln( sec x)
Podemos expresar
c a
x
a
u c u a
du
a
a
x a
dx
a x a
dx +
arctan
arctan
2 2 2 2
2 2 2
es decir:
c a
x
a x a
dx +
arctan
2 2
---------- (I)
a reserva de probarlo más adelante, aceptaremos la siguiente fórmula:
c a x
a x
a x a
dx
−
ln 2
2 2
--------- (II)
y probaremos lo siguiente:
Las integrales de la forma
∫ ax + bx + c
dx 2 , con a ≠≠≠≠ 0, se reducen a las fórmulas (I) ó
(II) mediante cambio de variable.
El procedimiento consistirá en completar trinomio cuadrado perfecto y tomar el cambio de
variable adecuado.
Ejemplo 10. Encuentre
∫ 2 x^2 + 12 x + 10
dx
Solución. Completemos el trinomio cuadrado perfecto.
2 x + x + = 2[ x
2
- 6 x + 5] = 2[ x
2
- 6 x + 9-9 +5] = 2[( x
2
- 6 x + 9) - 4] =2[( x +3)
2
- 4]
sustituimos en la integral e identificamos con la fórmula (II)
c x
x
x
dx
x
dx
x x
dx
− +
ln 4
2 2 2
es decir
c x
x
x x
dx
− −
ln 8
2
Obsérvese que no importa cual sea el trinomio cuadrado, al completarlo nuestra integral
siempre se reducirá a una de las dos fórmulas.
Una vez visto lo anterior, veremos un procedimiento que nos permitirá calcular integrales
de la forma
dx ax bx c
Ax B
2
con a ≠ 0
Ejemplo 11. Encuentre
2 x x
x dx
Solución. Por supuesto que el tipo más sencillo de este tipo de integrales es cuando en el
numerador aparece la derivada del término cuadrático del denominador.
x x c x x
x dx = + + +
ln 3 4 2 3 4 2
2
Partiremos de esta función y modificaremos el numerador para obtener una expresión fácil
de integrar
dx x x
x dx x x
x dx x x
x
3 4 2
2
3
1 6
5
2
6
20 6
5
2
(^622)
5 x x
dx dx x x
x
La primera de las integrales ya está resuelta y la segunda se resuelve con el procedimiento
descrito en el ejemplo anterior.
3 x
2 +4 x +2 = 3[ x
2
- 4/3 x + 2/3] = 3[( x
2
- 4/3 x + 4/9) + 2/3-4/9] = 3[( x +2/3)
2
- 2/9]
c
x
x
dx
x x
dx
arctan 2
3
2
9
(^22) 3
(^22)
En consecuencia :
x x dx = xsenx − senx dx =− xsenx + x + c
cos( ) ( ) ( ) ( ) cos( )
Observe que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g ':
f ( x ) = cos( x ) g '( x ) = x
f '( x ) = -sen( x ) g ( x ) = x 2 /
sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad para
resolverse que la original.
= − − senx dx
x x
x x x dx ( ) 2
cos( ) 2
cos( )
2 2
NOTACIÓN. Con el fin de ser congruentes con la notación utilizada en la mayoría de los
libros del mercado, le llamaremos
u = f ( x ) y v = g ( x ) y en consecuencia du = f '( x ) dx así como du = g '( x ) dx. Con esta
nueva notación resolveremos los siguientes ejercicios.
Ejemplo 2. Encuentre
xe dx x
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = x v = e x
du = dx dv = e
x dx
obsérvese que con esta notación, en vez de tomar g ' ( x ) = e x , tomamos su diferencial
dv = e k dx y análogamente con f , permitiendo que una parte del integrando sea u y el resto
sea dv.
xe dx xe e dx xe e c
x x x x x = − = − +
En estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de u y dv nos lleva en un solo paso
a resolver nuestra integral reduciéndola a una integral más fácil de resolver.
Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integral
del lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requiere
de un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algún
otro procedimiento.
Ejemplo 3. Encuentre
x e dx
2 x
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = x
2 v = e
x
du = 2 xdx dv = e
x dx
x e dx = x e − xe dx x x x 2 2 2
la integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo:
x e dx x e xe e c
x x x x = − − +
2 2
Observación : La elección u = e x , dv = x 2 dx nos lleva a una integral con un mayor grado de
dificultad.
Ejemplo 4. Encuentre
arctan xdx
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = arctan x v = x
du = (^2) 1 x
dx
dv = dx
= − dx x
x x dx x x 2 1
arctan arctan
En este caso, la integral del lado derecho se resuelve por un cambio de variable,
obteniendo:
dx x c x
x dx x
x = + +
ln( 1 ) 2
2 2 2
y en consecuencia:
x dx = x x − + x + c
ln( 1 ) 2
arctan arctan 2
sen ( x ) dx = − senx cos x + x − sen ( x ) dx
2 2 .
Si bien nos vuelve a aparecer la misma integral, esta vez aparece con distinto signo, lo que
nos permite despejarla , es decir si dejamos del lado izquierdo las integrales, obtendremos:
sen x dx =− senx x + x
2 ( ) cos 2 .
O bien
c
x senx x sen x dx +
cos ( ) 2 .
Ejemplo 6. Encuentre
e senx dx x ( )
Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro
u = e
x v = -cos x
du = e
x dx dv = sen x dx
e senx dx = − e x + e x x x x ( ) cos cos
De nuevo como en el ejemplo anterior, la integral del lado derecho es de la misma
naturaleza y del mismo grado de dificultad, por lo que podríamos intentar utilizar de nuevo
el método de integración por partes.
u = e
x v = sen x
du = e x dx dv = cos x dx
e xdx = e senx − e senxdx
x x x cos
Sustituyendo, obtenemos:
e senxdx = − e x + e x = e senx − e x − e senx x x x x x x cos cos cos
e senxdx = e senx − e x − e senx
x x x x cos
de donde podemos despeja a la integral
e senxdx e senx e x x x x 2 = − cos
y en consecuencia
c
e senx e x esenxdx
x x x
cos
A continuación abordaremos unos ejemplos en que, debido a la gran cantidad de
posibilidades debe tenerse un criterio preciso para decidir sobre la elección de u y dv.
Ejemplo 7. Encuentre
x e dx 3 x^2
Solución. En este tipo de funciones a integrar, hay muchas maneras de expresar al
integrando como un producto:
u = x 3 , dv = e dx x^2 ; u = x 2 , dv = x e dx x^2 ; u = x , dv = x 2 e dx x^2 ; u = 1, dv = x 3 e dx x^2 ;
u = x 3 e dx x^2 , dv = dx , etc.
¿Cuál de estas opciones elegir?
Lo primero que debemos hacer es asegurarnos que en nuestra elección, dv sea una función
fácil de integrar. Si examinamos con detalle las opciones, sólo la opción
u = x 2 , dv = x x^2 e dx cumple con esto ya que dv es fácil integrar por un simple cambio de
variable:
v xe dx xe dx e c x x x = = = +
2 2 2
2
Así pues el cuadro para la integración por partes será:
u = x 2 v =
2
2
(^1) x e
du = 2 x dx dv = xe dx x^2
Integrales de funciones trigonométricas
A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones
trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución
trigonométrica.
I. Potencias de senos y cosenos sen xdx xdx
n n
cos
Para resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos:
a) Si n es impar, es decir n = 2 k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo
sen
n x dx = sen
2k+ 1 x dx = (sen
2 x )
k sen x dx
Utilizamos la identidad sen 2 x + cos 2 x =1 y tomamos el cambio de variable u =cos x.
De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable
u = sen x.
b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo
sen
n x = sen
2k x = (sen
2 x )
k
ó en el caso del coseno
cos n x = cos 2k x = (cos 2 x ) k
y utilizamos las identidades trigonométricas:
1 cos( 2 ) cos 2
2 1 cos(^2 ) 2 x ó x
x sen x
Ejemplo 1. Resolver senxdx
3
Solución:
sen xdx sen xsenxdx ( 1 cos x)senx dx 3 2 2
sea u = cosx, entonces du = -sen x , y al sustituir en la integral obtenemos:
x c
x u c
u sen xdx = − x senxdx =− − u du = − + = − +
cos 3
cos
3
( 1 cos ) ( 1 )
3 3 3 2 2
Ejemplo 2. Resolver xdx
5 cos
Solución:
cos x dx (cos x ) cos xdx ( 1 sen x ) cos x dx
2 2
2 5 2
sea u = sen x , entonces du = cos x , y al sustituir en la integral obtenemos:
c
senx senx c senx
u u x dx = − u du = − u + u du = u − + + = − + +
cos ( 1 ) ( 1 2 )
3 5 3 5 2 4
2 5 2
Ejemplo 3. Resolver
sen xdx
4
Solución:
= = dx x x dx
x sen xdx sen x dx ( 1 2 cos( 2 ) cos ( 2 )) 4
1 cos( 2 ) ( ) ( 2
2 4 2 2
dx − x dx + cos ( 2 x ) dx 4
cos( 2 ) 2
II. Productos de potencias de senos y cosenos sen x xdx m n cos
a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:
1 cos 2 cos 2
2 1 cos^22 x y x
x sen x
b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen 2 x + cos 2 x = 1
II. Productos de potencias de tangentes y secantes x xdx m n tan sec
a) Si n es par, utilizamos la identidad: sec
2 x = 1 + tan
2 x.