Mecânica Vetorial – Estática, Resumos de Engenharia Civil

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Centro Universitário de Anápolis -

UniEVANGÉLICA

Associação Educativa Evangélica

Conselho de Administração

Presidente – Ernei de Oliveira Pina

0

Vice-Presidente – Cicílio Alves de Moraes

0

Vice-Presidente – Ivan Gonçalves da Rocha

0

Secretário – Geraldo Henrique Ferreira Espíndola

0

Secretário – Francisco Barbosa de Alencar

0

Tesoureiro – Augusto César Rocha Ventura

0

Tesoureiro – Djalma Maciel de Lima

Centro Universitário de Anápolis

Chanceler

Ernei de Oliveira Pina

Reitor

Carlos Hassel Mendes da Silva

Pró-Reitora Acadêmica

Cristiane Martins Rodrigues Bernardes

Pró-Reitor de Pós-Graduação, Pesquisa,

Extensão

e Ação Comunitária

Sandro Dutra e Silva

Equipe Editorial

Núcleo Docente Estruturante do Curso de

Engenharia Civil

Rogerio Santos Cardoso – Diretor

Ana Lúcia Carrijo Adorno – Coordenadora Pedagógica

Agnaldo Antônio Moreira Teodoro da Silva

Eduardo Martins Toledo

Kíria Nery Alves do Espírito Santos Gomes

Índice

• PREFÁCIO
• CAPÍTULO 1 - ESTÁTICA DE PARTÍCULAS
• CAPÍTULO 2 - SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS EM CORPOS RÍGIDOS..................................................
• CAPÍTULO 3 - EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
• CAPÍTULO 4 - FORÇAS DISTRIBUÍDAS: CENTROIDES E CENTRO DE GRAVIDADE (BARICENTRO)
• CAPÍTULO 5 - FORÇAS DISTRIBUÍDAS: MOMENTO DE INÉRCIA
• CAPÍTULO 6 - ANÁLISES DE ESTRUTURAS: TRELIÇA
• CAPÍTULO 7 - VIGAS
• CAPÍTULO 8 – PÓRTICOS
• CAPÍTULO 9 - ATRITO
• CAPÍTULO 10 - MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL
• REFERÊNCIAS
• APÊNDICE
  • REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA BIDIMENSIONAL
  • REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA TRIDIMENSIONAL
  • CENTROIDES DE ÁREAS E LINHAS DE FORMATOS COMUNS
  • MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS E SÓLIDOS COMUNS
  • PROPRIEDADES DE PERFIS LAMINADOS

Capítulo 1 - Estática de Partículas

**1. Introdução

2. Escalares e Vetores**

Escalar

Vetor

3. Operações Vetoriais

Multiplicação e Divisão de um número por um

Escalar

Adição de Vetores

Subtração de Vetor

TEORIA (NOTAS DE AULA)

Notação Vetorial Cartesiana

6. Resultante das Forças pelas somas das Compo-

nentes

7. Equilíbrio de Partícula 8. Componentes de Força Retangular no Espaço

10. Adição de Forças Concorrentes no Espaço 11. Equilíbrio de uma Partícula no Espaço

1. Determine a intensidade e a direção (medida no sentido

ainti-horário a partir do eixo 𝑥 positivo) da força resultante

que age sobre o pino. A força 𝑇 = 9 𝑘𝑁 e o ângulo 𝜃 = 30°.

Resolução pela Regra do Triângulo

 Aplicando a Regra do Triângulo:

 Aplicando Lei dos Cossenos:

𝑅

2

2

− 2 ∙ 9 ∙ 8 ∙ cos 75°

𝑹

 Aplicando Lei dos Senos:

𝑅

− 1

Resolução por Decomposição de Vetores

 Decompondo as Forças:

 Cálculo de 𝑇

𝑥

e 𝑇

𝑦

𝑥

𝑦

 Cálculo de 𝐹

𝑥

e 𝐹

𝑦

𝑥

𝑦

 Cálculo de 𝐹

𝑟𝑒𝑠,𝑥

𝑟𝑒𝑠,𝑦

e 𝐹

𝑅

𝑟𝑒𝑠,𝑥

𝑥

𝑥

𝑟𝑒𝑠,𝑦

𝑦

𝑦

𝑅

𝑟𝑒𝑠,𝑥

2

𝑟𝑒𝑠,𝑦

2

2

2

𝑹

 Cálculo da Direção (𝜙) de 𝐹

𝑅

− 1

𝑟𝑒𝑠,𝑦

𝑟𝑒𝑠,𝑥

− 1

2. Determine a intensidade e a direção (medida no sentido

horário a partir do eixo 𝑥 positivo) da força resultante que

age sobre o pino.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

𝑥

𝑦

8 𝑘𝑁

9 𝑘𝑁

𝑭

𝑹

90° − 30° = 60°

45°

𝛼

𝛼 = 60° + 45° − 1 80° = 75°

𝛽

𝑇

𝑦

𝑇

𝑥

𝐹

𝑥

𝐹

𝑦

 Decompondo as Forças:

 Cálculo das componentes de 𝐹 1

2

e 𝐹

3

1 ,𝑥

1

1 ,𝑦

1

2 ,𝑥

2

2 ,𝑦

2

3 ,𝑥

3

3 ,𝑦

3

 Cálculo de 𝐹 𝑟𝑒𝑠,𝑥

𝑟𝑒𝑠,𝑦

e 𝐹

𝑅

𝑟𝑒𝑠,𝑥

1 ,𝑥

2 ,𝑥

3 ,𝑥

𝑟𝑒𝑠,𝑦

1 ,𝑦

2 ,𝑦

3 ,𝑦

𝑅

𝑟𝑒𝑠,𝑥

2

𝑟𝑒𝑠,𝑦

2

2

2

𝑹

 Cálculo da Direção (𝜙) de 𝐹

𝑅

− 1

𝑟𝑒𝑠,𝑦

𝑟𝑒𝑠,𝑥

− 1

3. Utilizando a regra do triângulo, determine a tração desen-

volvida nos cabos 𝐶𝐴 e 𝐶𝐵 necessária para o equilíbrio do

cilindro de massa igual a 10 𝑘𝑔. Considere 𝜃 = 50°.

 Aplicando a Regra do Triângulo:

 Aplicando Lei dos Senos:

𝐶𝐴

𝐶𝐵

𝐶𝐴

𝐶𝐴

𝑪𝑨

𝐶𝐵

𝐶𝐵

𝑪𝑩

𝐹

1 ,𝑦

𝐹

1 ,𝑥

𝐹

2 ,𝑥

𝐹

3 ,𝑦

𝐹

2 ,𝑦

𝐹

3 ,𝑥

𝑊

⃗⃗⃗

𝑇

⃗

𝐶𝐴

𝑇

⃗

𝐶𝐵

𝜃 = 50°

50°

30°

𝛼

𝛽

𝛼 = 90° − 50° = 40°

40° + 80 + 𝛽 = 180°

𝑊

⃗⃗⃗

𝑇

⃗

𝐶𝐴

𝑇

⃗

𝐶𝐵

∴ 𝛽 = 60°

 Vetor unitário (𝜆):

𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐶

𝐴𝐶

𝐴𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐷

 Vetor Força (𝑇

𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐶

𝐴𝐶

𝐴𝐶

𝐴𝐶

𝐴𝐶

𝐴𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐷

 Força Peso (𝑊

 Equilíbrio de Forças:

𝑥

𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐷

𝑦

𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐷

𝑧

𝐴𝐵

𝐴𝐶

 Resolvendo o Sistema de equações:

𝑨𝑩

𝑨𝑪

= 𝟑𝟓, 𝟒 𝑵 e 𝑻

𝑨𝑫

1. Duas forças 𝑷 e 𝑸 são aplicadas no ponto 𝐴 de um suporte

tipo gancho, como mostra a Figura. Sabendo que 𝑷 = 60 𝑙𝑏

e 𝑸 = 25 𝑙𝑏, determine a intensidade, a direção e o sentido

da resultante usando a regra do triângulo.

2. Duas forças são aplicadas no ponto 𝑩 da viga 𝑨𝑩. Deter-

mine a intensidade, a direção e o sentido da resultante usando

a regra do triângulo.

3. Duas forças são aplicadas, como mostra a Figura, a um

suporte tipo gancho. Usando trigonometria e sabendo que a

intensidade de 𝑷 é 35 𝑁, determine: (a) o ângulo requerido 𝛼

se a resultante 𝑹 das duas forças aplicadas no suporte, se for

horizontal; (b) a correspondente intensidade de 𝑹.

4. Determine as componentes 𝒙 e 𝒚 de cada uma das forças

indicadas.

PROBLEMAS

5. Determine as componentes 𝒙e 𝒚 de cada uma das forças

mostradas.

6. O elemento 𝑪𝑩 de um torno de bancada (morsa) exerce no

bloco 𝑩 uma força 𝑷 dirigida ao longo da linha 𝑪𝑩. Sabendo

que 𝑷 deve ter uma componente horizontal de 1200 𝑁, de-

termine (a) a intensidade da força 𝑷, e (b) a sua componente

vertical.

7. Cabo 𝑨𝑪 exerce sobre a viga 𝑨𝑩 uma força 𝑷 dirigida ao

longo da linha 𝑨𝑪. Sabendo que 𝑷 deve ter uma componente

vertical de 350 𝑙𝑏, determine: (a) a magnitude da

força 𝑷; (b) a sua componente horizontal.

8. Sabendo que 𝜶 = 35°, determine a resultante das forças

mostradas.

9. Dois cabos estão ligados em 𝑪 e são carregados, tal como

mostra a Figura. Sabendo que 𝜶 = 20°, determine a tração

(a) no cabo 𝑨𝑪 e (b) no cabo 𝑩𝑪.

10. Dois cabos estão ligados em 𝑪 e são carregado tal como

mostra a Figura. Sabendo que 𝑷 = 500 𝑁e 𝜶 = 60°, deter-

mine a tração: (a) no cabo 𝑨𝑪 e (b) no cabo 𝑩𝑪.

11. Dois cabos estão ligados em 𝑪 e são carregados, tal como

mostra a Figura. Determine a tração: (a) no cabo 𝑨𝑪 e (b) no

cabo 𝑩𝑪.

12. Duas forças 𝑷 e 𝑸 são aplicados tal como mostra a Figura

a conexão de uma aeronave. Sabendo-se que conexão está

em equilíbrio e que 𝑷 = 500 𝑙𝑏 e 𝑸 = 650 𝑙𝑏, determine as

intensidades das forças exercidas nas hastes 𝑨e 𝑩.

3. (a ) 𝜶 = 37 ,1°;

(b) 𝑹 = 73 , 2 𝑁.

𝒙

= + 640 𝑁 e 𝑭

𝒚

𝒙

= − 224 𝑁 e 𝑭

𝒚

𝒙

= + 192 , 0 𝑁 e 𝑭

𝒚

𝒙

= 61 , 3 𝑁 e 𝑭

𝒚

𝒙

= 41 , 0 𝑁 e 𝑭

𝒚

𝒙

= − 112 , 9 𝑁 e 𝑭

𝒚

6. (a) 𝑷 = 1465 𝑁;

(b) 𝑷

𝑦

7. (a ) 𝑷 = 610 𝑙𝑏;

(b) 𝑷

𝑥

9. (a ) 𝑻 𝑨𝑪

(b) 𝑻

𝑩𝑪

10. (a ) 𝑻 𝑨𝑪

(b) 𝑻

𝑩𝑪

11. (a ) 𝑻 𝑨𝑪

(b) 𝑻

𝑩𝑪

𝑨

= 1303 𝑙𝑏 e 𝑭

𝑩

𝑪

= 6 , 40 𝑘𝑁 e 𝑭

𝑫

15. (a ) 𝑭 𝒙

= + 390 𝑁 e 𝑭

𝒚

= + 614 𝑁 e 𝑭

𝒛

(b) 𝜽

𝒙

𝒚

= 35 ,0° e 𝜽

𝒛

RESPOSTAS

CAPÍTULO 2 |Sistemas Equivalentes de Forças em Corpos Rígidos

Capítulo 2 - Sistemas Equivalentes de Forças em Corpos Rígidos

**1. Introdução

2. Princípio da Transmissibilidade
3. Produto Vetorial** 4. Produto Vetorial em Termo das Componentes

Retangulares

TEORIA (NOTAS DE AULA)