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Mecânica Geral I - 3ª Prova
Nome: ___________________________________________ Matrícula: __________
1ª Questão: Dados os vetores
A , B , C e D
, mostre que:
a) (1,0 ponto)
A X B X C = ( A • C ) B - ( A • B ) C
A X B X C B X C
( A • C ) - ( A • B )
α β γ β
γ α
α β γ β γ η μ η μ γ α β γ η μ β η μ
α η β μ α μ β η β η μ μ α μ β β α
μ μ α β β α α
= ε A =
= ε A ε B C = ε ε A B C =
δ δ - δ δ A B C = A B C - A B C
A C B - A B C B
α
C
b) (1,0 ponto)
A X B • CX D = (A • C) (B • D) - (A • D) (B • C)
A X B • CX D
= (A • C) (B • D) - (A • D) (B •
α α
α β γ β γ α η μ η μ β η γ μ β μ γ η β γ η μ
β γ β γ β γ γ β β β γ γ β β γ γ
= A X B CX D =
= ε A B ε C D = δ δ - δ δ A B C D =
= A B C D - A B C D = A C B D - A D B C =
C)
2ª Questão: Se χ e ψ são campos escalares e
F e
G são campos vetoriais:
a) (0,5 ponto) Determine rot grad ψ.
α α
rot grad = X ψ
e e
α β γ β γ α β γ β γ γ β
ψ =
= ε ψ = ε ψ - ψ
b) (0,5 ponto) Determine
div rot F.
α α
α α α
div rot F = X F
α β γ β γ α β γ β γ
γ α β β γ γ α β β β γ
ε F ε F
ε F ε - F
c) (1,0 ponto) Determine
rot rot F.
rot rot F = x x F
x F
div F rot rot F gra
α α
α β γ β α β γ β γ η μ η μ
γ
γ α β γ η μ β η μ α η β μ α μ β η β η μ
μ α μ η η α α μ μ η η α
α α
ε ε ε F
ε ε F δ δ - δ δ F
F F F F
F =
2
d div F F
3ª Questão: Um deslocamento infinitesimal corresponde a um acréscimo no vetor
posição cuja expressão em coordenadas cartesianas é
d r = dx x + dy y + dz z.
a) (0,5 ponto) Determine as expressões de
d r em coordenadas cilíndricas e
esféricas.
Em coordenadas cilíndricas
dφ
dφ
dφˆ
r a z
a
r a z
a z
= a + z
d
d = da + a + dz =
= da + a ϕ+ dz ϕϕ
ϕ
Em coordenadas esféricas
dθ dφ
θ φ
dθ dφ
φ
r r
r r
r r
r
= r
d = dr + r + =
= dr + r θθθθ+ r sen θ
b) (0,5 ponto) Determine as expressões de grad ψ em coordenadas cilíndri-
cas e esféricas.
Em coordenadas cilíndricas
( ) φ z
φ
z
φ z
φ
φ
φ
φ
φ +
rot F X F
a z X a z
a z
a X a z
X a
a
a
a
a
a
+ + F F F
a a z
F
F F
F F F
a a a a a a
F
F
a
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
( ) ( )
φ z
φ z
φ z
φ z
φ z
φ φ φ φ φ
φ
φ
φ +
φ
φ +
φ +
a z
z
a z
z X a z
a X a X z X
a
a
a
F
F
F F
F
F F
F F F
z z z z z z
F
F
F
a a a
ϕϕϕϕ
( ) ( )
φ
z
φ
φ φ φ
z z
z
φ
φ φ
φ
φ =
= φ
a
X a X z z X a z X
a z
a
a a
F
F F
- F
a a z z
F F F
1 F F F 1 F
a z z a a a a
1 F
a
ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ
( )
( )
( )
φ φ
z
φ z
φ
φ
φ
φ
a z
a z
a a
a
a F a F
1 F F 1 F
a
z a z a a a
a
det
a a z
F a F F
4ª Questão: (2,0 pontos) Uma partícula sofre a ação de uma força cujas componen-
tes cartesianas são
3 2
x
3 2
y
z
F = a x + b x y + c z
F = a y + b x y
F = c x
Determine o rotacional da força e o trabalho realizado por ela ao deslocar uma partí-
cula da origem até um ponto arbitrário (x,y,z).
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
rot F =
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2 3 2
x y z
x y z
a x + b x y + c z a y +b x y c x
c x a y + b x y x
y z
z x
a y + b x y a x + b x y + c z z =
x y
[ ] [ ] [ ]
- 0 x + c - c y + 2 b x y - 2 b x y z = 0
Integral de linha, ao longo dos eixos coordenados
Trajeto C 1
1
0 0
x x
C
∫ ∫ ∫
dr = x
F dr
3
x y z
4
3
x
dx , y = z = 0 F = a x F = 0 F = c x
a x
F dx a x dx
Trajeto C 2
( )
2
2
0 0
y y
C
∫ ∫ ∫
dr = y
F dr
3 2 3 2
x y z
4 2
3 2
y
dy , x 0, z = 0 F = a x + b x y F = a y + b x y F = c x
a y b x y
F dy a y +b x y dy
Trajeto C 3
3
0 0
z z
C
∫ ∫ ∫
dr = z
F dr
3 2 3 2
x y z
z
dz , x,y 0, F = a x + b x y cz F = a y +b x y F = c x
F dz c x dz c x z
( )
2 2
2
2 3 3
L L
m r - r θ = m r - = F(r) m r F(r)
m r m r
que é a equação para o movimento de uma partícula em uma dimensão, da forma
m r F (r)
, onde a força efetiva é
2
3
L
F (r) = F(r)
m r
c) (0,5 ponto) Mostre que a conservação da energia mecânica permite conside-
rar o movimento da coordenada radial como um movimento unidimensional
sob ação de um potencial efetivo
2
2
L
V' (r) = V(r) +
2 m r
A conservação da energia mecânica é escrita na forma
( )
2 2 2 2
m v + V(r) = E m r + r θ = E - V(r)
.
Usando a conservação do momento angular,
2
L
θ =
m r
, L = constante :
2 2
2 2
2 2 2
1 L 1 L
m r + = E - V(r) m r = E - V(r) -
2 m r 2 2 m r
Definindo o potencial efetivo
2
2
L
V (r) = V(r) +
2 m r
′ , obtém-se
0
r
r
d r 2
= t
m E - V (r)
∫
d) (1,0 ponto) Uma partícula está sujeita a uma força central atrativa inversa-
mente proporcional ao cubo da distância ao centro de força:
3
- K
F(r) = , K > 0.
r
Faça um esboço do gráfico do potencial efetivo para a coordenada radial. Con-
sidere os casos L
2
mK, L
2
= mK, L
2
< mK.
A energia potencial associada à força F(r) é:
s s s
r r r
3 3 2 2
r r r
V(r) = - F(r) dr = - dr = K = - +
r r 2r 2r
s
∫ ∫ ∫
.
Escolhendo a origem da energia potencial no infinito, a expressão para a energia
potencial efetiva é:
( )
2 2
2
2 2 2 2
L K L 1
V (r) = V(r) + = - + = L - m K
2mr 2r 2mr 2mr
e) (1,0 ponto) Resolva a equação de trajetória
2
2 2 2
d u - m 1 1
dθ L u u r
,
considerando E > 0 e L
2
mK, e determine as constantes que aparecem nessa so-
lução em termos de E, L e K.
Para a força
3
- K
F(r) = , K > 0
r
, a equação de trajetória toma a forma
( )
2
3
2 2 2 2
2
2 2
d u - m mK
dθ L u L
d u mK
dθ L
cuja solução tem a forma
( )
0
u = A cos ω θ + θ ,
onde
2 2
2
mK
ω = 1 - > 0 , se L > mK
L
, e θ 0
é um ângulo associado à orientação da tra-
jetória que pode ser considerado nulo sem perda de generalidade.
Para E > 0, a coordenada radial tem um ponto de retorno dado por
( )
1
2
2
2
2
1 L - m K
E = V (r) = L - m K r =
2mr 2 m E
Da solução da equação de trajetória,
( )
r =
A cos ω θ
tem mínimo se cos (ω θ) = 1 ,
isto é
r =
A
. Segue-se que:
1
2
2
2 m E
A =
L - m K
L
2
>mK
L
2
<mK
L
2
=mK
