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110 Estática ou Mo = (98,6k) Nem Resposta SOLUÇÃO II (ANÁLISE VETORIAL) Utilizando a aproximação de vetor cartesiano, os vetores força e posição 400 sen 30ºN “mostrados na Figura 4.20c podem ser representados como: 400 cos 30º N = (0,4 — 02;)m (b) F = [400 sen 30% — 400 cos 30º) N = (200i — 346,4) N O momento é, portanto: i j & Mo=rxF=|04 02 0 200 3464 0 Oi = 0j + [0,4(-346,4) — (-0,2)(200)]k = (-98,0k) Nm Resposta (e) F Comparando, percebe-se que a análise escalar (solução 1) forneceu um procedimento mais conveniente para análise do que a solução II, uma vez Figura 4.20 que a direção e o sentido do momento, bem como os braços de momento para cada componente de força, foram facilmente determinados. Por isso, esse método costuma ser recomendado para a resolução de problemas que envolvem duas dimensões. Já a análise de vetores cartesianos em geral é recomendada somente para a solução de problemas tridimensionais, uma vez que os braços de momento e os componentes das forças são freguentemen- te mais difíceis de determinar. E ProBLEMAS 41. Sendo A, B e D vetores conhecidos, prove a propricd y de distributiva para o produto vetorial, isto é, A x (B + -(AXB)-(A xD). Am “p [o 42. Prove a identidade com o produto vetorial tríplice A | x(BxC)=(AxB)C. am 43. Dados três vetores não-nulos A, B e €, mostre que se A(BX €C) = 0, então os três vetores devem ser coplanares. *44, Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação ao ponto O. 4.5. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação a um ponto ?. 46. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação ao ponto O. 4.7. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento da força em A em relação a um ponto P. Problemas 4.4/5 S20N Problemas 4.6/7 *48. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto O. 4.9. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto P. , | am—p o — | 260N 3m Problemas 4,8/9 4.10, A chave de boca é usada para soltar o parafuso. Determine o momento de cada força em rel parafuso que passa através do ponto O, [tsomm— + 20mm F,=100N Problema 4.10 4.11. Determine a intensidade, a direção e o sentido do momento resultante das forças em relação ao ponto O. *4.12. Determine o momento em relação ao ponto A de cada uma das três forças agindo sobre a viga. 4.13. Determine o momento em relação ao ponto B de cada uma das três forças que atuam na viga. 414. Determine o momento de cada força em relação ao parafuso localizado em A. Considere Fj = 40 lb é Fc = 50 lb. Cap.4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 111 Problema 4.11 F=375b PA EE o [8 pés —— 6 pés ==5 pés — “ao F,=1601b Problemas 4.12/13 415. Se F; =30 lb c Fe = 45 lb, determine o momento resultante em relação ao parafuso localizado em A. Problemas 4.14/15 *4.16. O poste de energia elétrica suporta as três linhas. Cada linha exerce uma força vertical sobre o poste devi- do ao próprio peso, conforme mostra a figura. Determine o momento resultante na base D provocado por todas essas forças. Supondo que seja possível que o vento ou o gelo sejam capazes de romper as linhas, determine qual ou quais linhas, quando rompidas, criariam a condição para o máxi- mo momento em relação à base. Qual será esse momento resultante? 4.22. Determine o momento de cada uma das três forças em relação ao ponto 4. Resolva o problema primeiro utili zando cada força como um todo e, depois, o princípio dos momentos. Fy=S00N Problema 4.22 4.23. Como parte de uma manobra acrobática, um homem sustenta uma garota que pesa 120 Ib e está sentada em uma cadeira no alto de um mastro. Estando o centro de gravida- de da garota localizado em G e sendo de 250 Ib- pés o máximo momento no sentido horário que o homem pode exercer sobre o mastro no ponto A, determine o ângulo máximo de inclinação, 9, que não permite que a garota caia, isto é, que seu momento anti-horário em relação ao ponto A não seja maior do que 250 Ib- pés. Problema 4.23 *4,24. Os dois garotos empurram o portão com forças de F4 = 30 be Fy = 50 Ib, como mostra a figura. Determine o momento de cada força em relação a C. O portão sofrerá uma rotação no sentido horário ou anti-horário? Despreze a espessura do portão. 4.25. Seo garoto aplica em B uma força Fy = 30 Ib, deter- mine a intensidade da força F, que ele deve aplicar em A a fim de evitar que o portão gire. Despreze a espessura do portão. Cap, 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 113 Problemas 4.24/25 4.26. O cabo do reboque exerce uma força P = 4 kN na extremidade do guindaste de 20 m de comprimento. Se 6 = 30º, determine o valor de x do gancho preso em 4, de forma que essa força crie um momento máximo em relação ao ponto O. Nessa condição, qual é esse momento? 427. O cabo do reboque aplica uma força P = 4 kN na extremidade do guindaste de 20 m de comprimento. Sendo x = 25 m, determine a posição 9 do guindaste, de modo que a força crie um momento máximo em relação ao ponto O, Qual é esse momento? P=4kN Problemas 4.26/27 *428. Determine a direção 6, com 0º 180º, da força F, de maneira que cla produza (a) o máximo momento em relação ao ponto A e (b) o mínimo momento em relação ao ponto 4. Caleule o momento em cada caso. 4.29. Determine o momento da força F em relação ao ponto A como uma função de 6. Faça um gráfico do resultado com M (na ordenada) e 6 (na abscissa) para 0º = 0 = 180º F=400N -3m Problemas 4.28/29 114 EstÁáTica 4.30. A prótese do quadril está sujeita à força E = 120 N. Determine o momento dessa força em relação ao pescoço em Acà haste em B. se 120N Mt Ea Problema 4.30 431. O guindaste pode ser ajustado para qualquer ângulo 0º = 4 = 90º e qualquer extensão O = x < 5 m. Para uma massa suspensa de 120 kg, determine o momento desenvol- vido em A como função de x e 6. Quais valores de x e 8 conduzem ao máximo momento possível em A? Calcule esse momento. Despreze as dimensões da polia em B. Problema 4.31 *432. Determine o ângulo é para o qual a força de 500 N deve atuar em A para que o momento dessa força em rela- ção ao ponto B seja igual a zero. 0,3m 500 N E Problema 4.32 4.33. Segmentos de um tubo D para perfuração de um poço de petróleo estão ajustados por meio de uma pinça regula- dora T que aperta o tubo e de um cilindro hidráulico (não mostrado na figura), para regular a força F aplicada à pinça. Essa força atua ao longo do cabo que passa ao redor de uma pequena polia P. Estando o cabo originalmente perpendicu- lar à pinça, como mostrado na figura, determine a intensidade da força F que deve ser aplicada de modo que o momento em relação ao tubo seja M = 2.000 Ib pés. Com o intuito de manter esse mesmo momento, qual intensidade de F é neces- sária quando a pinça é ajustada em 30º, como na posição esboçada com tonalidade mais clara? Nota: o ângulo DAP não é 90º nessa posição. 4.34. Determine o momento de uma força no ponto A em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 4.35. Determine o momento da força em A em relação ao ponto P, Expresse o resultado como um vetor cartesiano. [ 4m = (60i — 30j - 20k)N “Im Problemas 4,34/35 *4,36, Determine o momento da força F em A relativamen- te ao ponto O, Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 437. Determine o momento da força F no ponto A em rela- ção ao ponto P. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 116 EstÁTICA z 4.47. Usando a análise vetorial cartesiana, determine o momento resultante das três forças em relação à base da colu- na em 4, dado: F, = [400i + 300; + 120kJ N. F; = (100; - 100 - 60kJN — três — A Problema 4.43 *4.44. A estrutura tubular da figura está sujeita à força de 80 N. Determine o momento dessa força em relação ao ponto A. 4.45. Agora, determine o momento dessa força em relação ao ponto B. Problema 4.47 *4.48. Uma força F = (6i -2j +1k) KN produz um momento Mg = (4i +5j — 14k) kN -m em relação à origem das coordenadas no ponto O. Considerando que a força atua em um ponto com coordenadas x = 1 m, determine as demais coordenadas y e z. Problemas 4.44/45 4.46. A cscora AB de uma comporta de 1 m de diâmetro exerce uma força de 450 N no ponto B. Determine o momen- to dessa força em relação ao ponto O. Problema 4.48 y 4.49. A força F = (6i +8j +10k) N dá origem a um momen- to em relação ao ponto O de Mo = (=14i + 8j + 2k) Nem. Considerando que a força atua em um ponto com coordena- da x igual a 1 m, determine as coordenadas y e desse ponto. Além disso, considere que Mo = Fd e encontre a distância Problema 4.46 perpendicular d do ponto O até a linha de ação da força F. Cap.4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE Forças 117 im Problema 4.49 24.50. Usando uma peça anelar, a força de 75 N pode ser aplicada no plano vertical para vários ângulos 6, Determine a intensidade do momento produzido em relação ao ponto - A. Faça um gráfico do resultado de M (na ordenada) versus 8 (na abscissa) para 0º = 6 = 180º e especifique os ângulos . ce Problema 4.50 que fornecem os momentos máximo e mínimo. 3 4.5 MoMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM Eixo Especírico Lembre-se de que, quando o momento de uma força é calculado em rela- ção a um ponto, seu eixo é sempre perpendicular ao plano contendo a força e o braço do momento. Em alguns problemas, é importante encontrar o compo- nente desse momento ao longo de um eixo específico que passa pelo ponto. Na resolução desses problemas, pode ser usada a análise escalar ou a vetorial. Figura 4.21 Anúlise Escalar. Para mostrar a resolução numérica desse tipo de problema, considere a estrutura tubular apresentada na Figura 4.21a, que se estende no plano horizontal e está sujeita à força vertical F = 20 N aplicada no ponto A. O momento dessa força em relação ao ponto O tem a intensidade dada por Mo = (20N) (0,5m) = 10 N-m, com direção e sentido definidos pela regra da mão direita, como mostra a Figura 4.21a. Esse momento tende a girar o con- junto em relação ao eixo Ob. Por razões práticas, no entanto, pode ser necessário determinar o componente de Mo em relação ao eixo y, M,, uma vez que esse i 4-1, 1 A; B, and D are given vectors, prove. the distributive ; law for the véctor eross product, ie, A x (B+D)=(AxB)+(AxD). as det, ds e d Now also; . AmALtA+AR ne r with A vertical. clot) Sonsider ie three, vetos B=81+8]+ Bh tha is perpendicular to A. Non oba io º Ds Dil+D,j+ Dk. od = AX (+ DJ) = IAidB+ DI) sing; [) 5) k ob = A x Bi» lAtiBi sing, AxXB+D =| A 4 4 B+D B+D, B+D, bd = |A-x Dl = IAIID sinô; = (A(8 4.0.) - A(B, + DR =[ÃMB, +.) = AB + DOM Also, these tico cross products al be in the plane +IACB, +Dj) - AB, +) obd since they ave all perpendicular to À. As noted UAM -ABN- (AS SABOIA, - ABM) the magnitude S€ eách cross produes is proporúónal + EAD - ADA = (AD; = AD + (AD; - A Dk to the léngeh ofcack side Of the triangie. ] k 1) k The three vector cross - products also form a closed < ' Alea 4 4 triangie o'b/d"wtichvis similar totriangle obd. Thus selo Do, from she figure, * . AX(BADmAxB+A xD (QD) FCAXBHIA XD) (QUO) 4-2, Prove the triple scalar product identity A-BxC = AxB-C; Also, tHSa A. BxC As-shown in the figure 13 Area = B(Csin8) = |B'x CI MAIA +ARE BB G o q Thus, . = A(BE, - RC) - A(BG - BC) +AÇAG - BC) Volume of parálielepiped is IB x. CIA! = ABC ARO ABC FARO + ABC ABC Bu, RHS=Z AXB.C | Bx€ Liss Mi = ja res) = fa (XO | -h À Alciscrech Be 5 5 Thus, : = CAE -AB)-GIAR AB) +G(AB, - 4,8) TAB -ABG —ABG+ABO +ABC, - ABG Volume = IA: Bx C! í Since IA x'B) €) repfescoi this same volume them Th, LHS = RHS A BXC CAxB.C (QED) A-BXC =AXxB-C (QED) “BxC a . 4-3. Giyen the three nonzero vectors A, Band C, show thatif A(B x C) = 0, the three vectors must lie in the same plane. Consider, I4- (BxC)l = [AJIB x C] cos ue = (IAfcos6) IB x CI] E 1 ii *WIBxC] = BCik sing : > volume of paráliekepiped. FA- (B x €) =0, then the volume equais zero, so uz À, B, and C die coplarar, *4-4, Determine the magnitude and directionál sense y Of thê moment of the fórce at A about point O. sm, 3m q Mo = 400c08 30º (5) + 400sin 30º(2) Fr) x *232N-m Á2I3kN.m (Coumerclockwise) Ans i sm 400.N as [-2m+| 4-5. Determine the magnitude and. directional “sense of the moment of the force at A about point P. y dr Í 3m e Mp = 400cos 30º(8) — 400sin 30º(2) 5 | =2371 N-m =237kN-m (Counterciockwise) Am 4:10, “The wrench is used to Ioosen the bolt, Determine the-môment of each force about the bolts axis passing through point O. fem mm 200 me €* (4), = Idcos tseçõa5y =2IN.m (Coumttrclockwise) Ans O (45), =B0sin 6s(0,2) =Í.5N.m (Counterciockwise) Ans 4-11. Dejermine the magnitude and directional sense of the re- suitant moment of the forces about point O. 4 E i q é fog Reaisa to o E - ' o "TI | ar 6ft pj Cem = 250(5) 0sinãor) + 250€5)(10cos30") + 300(sin30")(6) — 300(cosage)(3) 384 Mo = UIDOLIDN 242 Mp) Aus 300 416 30º |. *4-12. Determine the moment about point A of each of F=315tb E <500b the three forces acting on the beam. e (46), = 37548) =-3000b-R=300kip-ft. (Clockwise) Aos Fez 60 [e (8), =-s00(5)t14 = -SGO0D-N=S60kp (Clockwise) Ans É (46); =-160(cos 30º) (19) + 160sin 30º(0.5) =-28931b-fi=250kp-f (Clockwise) Ams 24-13, Determine the moment about point B.of each of the three forces, acting on the beam. F=35h F,=5001b £ (Me) =3150 =4125 ib-hi=4.12Skp-R (Counterclockwise) Ars. E Co emtyo =2000b-ft=200kip- - (Counterelockwise) | Ans e (Mg) = 1608in 30º(0.5) - I60cos 30º(0) = 1601b =400b-& (Counterciockwise ) Aus 4-14, Determine the-moment of each force about the bolt located at A Take fp = 401b, £o = 501b, A ASA Saad [HM = 40 consta) = SOGRO) Ass SAE (+Me = 50 C0830%(325) = 161 It) Amo 415, TE Fg=301b and Fo =45]b, determine the ue . resultant moment about the bolt located at A. btMa = 30 cosZ6H25) + 4Scos30ç3,25) = 19511) an *4.16, | The power pole supports the three lines, ech line exerting a vertical force on the polé due to its weight as shown. /Detérmine the resuitant moment at the base D due to all of these forces. If it is possible for wind or icé to snap:the lines, determine which line(s) when removed create(s) a condition for the greatest moment about the base. What is this resultant moment? (+ Ma, = REA My, = 00(3:5) = AS0(3) —400(4) : =-500lb-fi=500b-f (Clockwire) Ang When the calite at 4 is removed it mill creste the greatest moment at point D. Am E Ma (Mas) uu = =450(3) 40064) =-2950b-f=295kipift (Clockwise) - Ans Fa; *4-19. “The hybof the wheel can be attached to the axje either with negative ofíset (left) or with positive offset (right). If the'tire is subjected to both a nórmal and radial load'as show, determine the resultant moment ofthése loadsabout the axle, point O for both cases. For case 1 with negative offkei, we have + 800(0.4) - sp00 (0:05) =10N-m (Counterciockwise) . Ans á 4kN For case 2 with positive offseL, we have Et Mo =200(0.4) + 4000(0.05) : =520Nm (Counterclockwise) Ang *4-20. . The boom hás à length of 30 ft, a weight of 800 b, and mass center at G. If the Maximim moment that can be developed by thê motor at A is M = 20(10*) lb ft, determine the maximum load W, having a mass center at 210) = 800(1600530º) + Wa0cas30º + 2) SG”, that can be lifted. Take 0 = 30º, We gs Ans 421. Thetool at A is used to h blade Statidriary while the nur is Wrench. If à force 950 N is apl in thé direction shown, deter; about the nut at Co What is À so that iticreat old a power lawnmower being loosened With the Plied to the wrench atB ne th moment it creates the magnitude of force F ai es the opposite moment about CY (9 Cam = 50 smeorços) Mi = 12.99 é 130 Nm Ans O Com =o 1299 + Eiças =o F=352N ans 300 ra 4:22. Determine the moment of each of the three forces about póint A. Solve the problem first by using each force as-a-whole, and then by using the principle of moimeáis. The moment atm emeasurod perpendicular to each foréé from poima A is I d, = Qsin $3.13º= 160m Using each foice whieco M, = Fd, we have 6 (45), =-25001.732) =—433 Na 433 Nim (Clockwise) - Ans (+ (4), =-300(4.330) | ==1299N-m=1:30kN-m (Clockwise) Ana -800N-m=800N-m (Clockwise) Ans Using principle of moments, we have € (4), =-250cas 30r(2) =433Nm=433N.m (Clockwise) — Ans Qt (ME), =-300sin 60º(5) ds S84 2 =-1299N.m=1,30kN-m (Clockwise) | Ans =ms 4 CU), =s0(S )ear-so0(5 ) (5 : BON m=800Nim (Clockwise) Ans Arsvon 4-23. Aspartofan acrobatic stunt a man su j r Ipports a girl Who hasia weight of 120 Ib and is seated on a chair on top Of tilt, 9 Which will not allow the girlto clockwise. moment about A doés not exceed 250 Tb.fr. Ih order to prevent the girl from falling down, the clociewise momem produced by the girl's weight must not excede 250 ib ft Ma = 120€lósin 8) < 250 sin As Q.1302 8=7.48º Ans 4:26. Thetowline exerts a force of P = 4kNatthe end of the 20-m-fong crane boom. If 6 = 30º, determine the. Maximum moment, O 4 BA Placement:x of the hook at À so that this force creates a maximum imoment about point O. What is this moment? CHModna =-4000(20) = 80 kN-m Am 4 knhinsor(a) — 4 Kálecas0%1.5) = 80 kN im x=240m Ans P=4kN 4 4:27. Theitowline exerts à force of P = 4kN at-the end of'the 20-m-long crane boom. If x = 25 m, determine the position ' ;of the boom so that this force creates a maximum rhoment about point O. What is this moment? Maximom moment, OB L BA TEM )mar: = 00X 20) ="80000 Nota = 30,0.4N-m Ans 4000 sinç(23) — 4000 cosg(1.5) = 80000 i 25sing — 15 cos = 20 dom 0 af 4 = 564º eso. $ A, thocon CE sas = 3360 ams E o Also, ; UPrP =p) 2s+.2=y Similar trigngles + 25+z z E Mry=ze 20/225% 2) + 225 44) à gs Poe z=2289m »=272m 2.259, 8 = cos i(ÃEB) = Grp) 256º An *4-28,. Determine the direction 6 for 0º = p= 180º of the force F so that Fproduces (a) the maximuim moment about point 4 and (b) the minimum momeat about point 4. Calculáte the moment in each case. a) (eta = 400 ET) = 1442 Nim - , Fº sen ! Ma = L44&N.m Ang 4 é a af2 am : é=m (5) 33690 F= fon 9 =" 133600 = 563º ams q tm Í : | » q x Qm=0 iam ,= mr(5) = 3369 Pu 180 3369 = 146º Am 4-29; Determine the moment of the force F about point A asa fupction of 9. Plot the results of M (ordinate) versus 8 (abscissa) for.0º = 8 = 180º. À + Mk x 400isinO(3) 6400 cosa) = 1200 sin6+ 800 cosê Ans Sa 1200 c0s9--800sin0 =0 a(o ca omg) (Mi mas 1200 sin 56.3º 4 800 cos 56.3º'= 42 N; 
