Baixe Introdução à Mecânica dos Fluidos: Escoamento, Linhas de Corrente e Trajetórias e outras Resumos em PDF para Mecânica dos fluidos, somente na Docsity!
Comportamento Reológico de Fluidos. (em inglês)
2.5 Tensão Superficial
Você pode dizer quando o seu carro precisa ser lavado: as gotas de água tendem a parecer um pouco achatadas. Após a
lavagem, as gotas de água sobre a superfície teriam contornos mais esféricos. Esses dois casos são ilustrados na Fig.
2.11. Dizemos que um líquido “molha” uma superfície quando o ângulo de contato θ é menor que 90°. Por essa
definição, a superfície do carro estava molhada antes da lavagem, e não molhada após a lavagem. Este é um exemplo
dos efeitos da tensão superficial. Sempre que um líquido está em contato com outros líquidos ou gases, ou com uma
superfície gás/sólido, como neste caso, uma interface se desenvolve agindo como uma membrana elástica esticada e
criando tensão superficial. Esta membrana exibe duas características: o ângulo de contato θ e o módulo da tensão
superficial σ (N/m). Ambas dependem do tipo de líquido e do tipo da superfície sólida (ou do outro líquido ou gás) com
a qual ele compartilha uma interface. No exemplo da lavagem de carro, o ângulo de contato mudou de um valor menor
que 90° para um valor maior que 90° porque a lavagem mudou a natureza da superfície sólida. Entre os fatores que
afetam o ângulo de contato estão a limpeza da superfície e a pureza do líquido.
Outros exemplos de efeitos de tensão superficial aparecem quando você consegue colocar uma agulha sobre uma
superfície de água e, similarmente, quando pequenos insetos aquáticos são capazes de caminhar sobre a superfície da
água.
O Apêndice A contém dados de tensão superficial e ângulo de contato para líquidos comuns na presença de ar e de
água.
Um balanço de força em um segmento de interface mostra que há um salto de pressão através da suposta membrana
elástica sempre que a interface é curva. Para uma gota de água no ar, a pressão na água é maior que a pressão ambiente;
o mesmo é verdade para uma bolha de gás em um líquido. Para uma bolha de sabão no ar, a tensão superficial age em
ambas as interfaces, interna e externa, entre a película de sabão e o ar ao longo da superfície curva da bolha. A tensão
superficial também conduz aos fenômenos de ondas capilares (isto é, de comprimentos de onda muito pequenos) em
uma superfície líquida [5] e de ascensão ou depressão capilar discutidos a seguir.
Em engenharia, o efeito provavelmente mais importante da tensão superficial é a criação de um menisco curvo nos
tubos de leitura de manômetros ou barômetros, causando a (normalmente indesejável) ascensão (ou depressão) capilar,
conforme mostrado na Fig. 2.12. A ascensão capilar pode ser pronunciada se o líquido estiver em um tubo de diâmetro
pequeno ou em uma fenda estreita, conforme mostrado no Exemplo 2.3.
Fig. 2.11 Efeitos da tensão superficial sobre gotas de água.
Fig. 2.12 Ascensão capilar e depressão capilar no interior e no exterior de um tubo circular.
VÍDEO
Interações Moleculares de Interface.
(em inglês)
VÍDEO
Afinando um Filme de Sabão.
(em inglês)
VÍDEO
Filme de Sabão Estourando.
(em inglês)
VÍDEO
Superfícies Molhadas e Não Molhadas.
Para a água, σ = 72,8 mN/m e θ ≈ 0º e, para o mercúrio, σ = 484 mN/m e θ = 140º (Tabela A.4). Traçando o gráfico,
Notas:
✔ Este problema reviu o uso do método do diagrama de corpo livre.
✔ Verificou-se que só é válido desprezar o volume na região do menisco quando Δ h é grande em comparação comD. Entretanto, neste
problema, Δ h é cerca de 1 mm quando D é 11,2 mm (ou 30 mm); portanto, os resultados são apenas razoavelmente bons.
O gráfico e os resultados foram gerados com o auxílio da planilha Excel.
Utilizando a equação anterior para calcularDmín, obtivemos para o mercúrio e para a água, e para ydh = 1 mm,
Folsom [6] mostra que a análise simples do Exemplo 2.3 superestima o efeito da capilaridade e fornece resultados
razoáveis somente para diâmetros menores do que 2,54 mm. Para diâmetros na faixa 2,54 < D < 27,94 mm, dados
experimentais para a ascensão capilar em uma interface água ar estão correlacionados por meio da expressão empírica
Δh = 0,400/e4,37D.
As leituras em barômetros e manômetros devem ser feitas no nível médio do menisco. Esse local está afastado dos
efeitos máximos da tensão superficial e, portanto, mais próximo do nível correto de líquido.
Todos os dados de tensão superficial do Apêndice A correspondem a medidas em líquidos puros em contato com
superfícies verticais limpas. Impurezas no líquido, sujeiras sobre a superfície ou inclinação na superfície podem causar
meniscos indistintos; nessas condições, torna se difícil determinar o nível de líquido com precisão. O nível de líquido é
mais distinto em um tubo vertical. Quando tubos inclinados são utilizados para aumentar a sensibilidade de manômetros
(veja Seção 3.3), é importante fazer cada leitura no mesmo ponto sobre o menisco e evitar a utilização de tubos com
inclinações maiores que 15º em relação à horizontal.
Compostos surfactantes reduzem significativamente a tensão superficial (em mais de 40% com pequenas variações
em outras propriedades [7]) quando adicionados à água. Essas substâncias têm grande aplicação comercial: a maioria
dos detergentes contém surfactantes para ajudar a água a penetrar e retirar sujeira de superfícies. Os surfactantes são
também bastante utilizados industrialmente na catálise, em aerossóis e na recuperação de óleos minerais e vegetais.
VÍDEO
Aumento Capilar.
(em inglês)
VÍDEO CLÁSSICO
Tensão Superficial em Mecânica dos Fluidos. (em inglês)
2.6 Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluido
No Capítulo 1 e neste capítulo, praticamente finalizamos nossa breve introdução a alguns conceitos e ideias que são
frequentemente necessários para o estudo da mecânica dos fluidos. Antes de prosseguirmos com a análise detalhada
desta disciplina no restante do texto, descreveremos alguns exemplos interessantes que ilustram uma classificação
ampla da mecânica dos fluidos com base em características importantes do escoamento. A mecânica dos fluidos é uma
disciplina muito vasta: cobre tudo, desde a aerodinâmica de um veículo de transporte supersônico até a lubrificação das
juntas do corpo humano pelo fluido sinuvial. Por isso, necessitamos delimitar a mecânica dos fluidos a proporções
aceitáveis para um curso introdutório. Os dois aspectos da mecânica dos fluidos mais difíceis de tratar são: (1) a
natureza viscosa dos fluidos e, (2) sua compressibilidade. De fato, a primeira área da teoria da mecânica dos fluidos a
se tornar altamente desenvolvida (em torno de 250 anos atrás!) foi aquela que trata do escoamento incompressível e sem
atrito. Conforme veremos logo a seguir (e com mais detalhes mais adiante), esta teoria, embora extremamente elegante,
leva ao famoso resultado denominado paradoxo de d’Alembert: nenhum corpo experimenta arrasto quando se
movimenta em um fluido sem atrito — um resultado que não é exatamente consistente com qualquer comportamento
real!
Embora não seja a única forma de fazê lo, a maioria dos engenheiros subdivide a mecânica dos fluidos em termos
da presença ou não dos efeitos viscosos e de compressibilidade, conforme mostrado na Fig. 2.13. Nesta figura, são
mostradas também classificações em termos do tipo de escoamento, se laminar ou turbulento e se interno ou externo.
Vamos agora discutir cada um desses casos.
VÍDEO
Exemplos de Escoamento sobre uma Esfera.
(em inglês)
Escoamentos Viscosos e Não Viscosos
Quando se joga uma bola para o ar (como no jogo de beisebol, futebol ou em qualquer outro esporte), além do efeito da
gravidade, a bola experimenta também o arrasto aerodinâmico do ar. A questão que surge é: qual é a natureza da força
de arrasto do ar sobre a bola? Em um primeiro momento, poderemos concluir que o arrasto é decorrente do atrito do ar
escoando sobre a bola; com um pouco mais de reflexão, poderemos chegar à conclusão de que o atrito não deve
pequeno nem grande, nenhuma conclusão geral poderá ser tirada.
Para ilustrar essa poderosa ideia, considere dois exemplos simples. Primeiro, o arrasto na bola: suponha que você
chute uma bola de futebol (diâmetro = 22,23 cm) de modo que ela se mova a 97 km/h. O número de Reynolds (usando
as propriedades do ar da Tabela A.10) para este caso é em torno de 400.000 — por qualquer medida um número grande;
o arrasto sobre a bola de futebol é quase inteiramente decorrente do aumento de pressão do ar na região frontal da bola.
Para nosso segundo exemplo, considere uma partícula de poeira (modelada como uma esfera com diâmetro de 1 mm)
caindo com uma velocidade terminal de 1 cm/s sob o efeito da gravidade; neste caso, Re ≈ 0,7 – um número bastante
pequeno; desse modo, o arrasto é quase que inteiramente devido ao atrito do ar. É claro que, nestes dois exemplos, se
desejássemos determinar a força de arrasto, teríamos que fazer uma análise mais detalhada.
VÍDEO
O Ônibus Espacial: Um Escoamento Turbulento Externo.
(em inglês)
Esses exemplos ilustram um ponto importante: um escoamento é considerado dominado (ou não) pelo atrito com
base não apenas na viscosidade do fluido, mas no sistema completo do escoamento. Nestes exemplos, o escoamento de
ar representava pouco atrito para a bola de futebol, mas muito atrito para a partícula de poeira.
Fig. 2.14 Imagem qualitativa de escoamento incompressível em torno de uma esfera.
VÍDEO CLÁSSICO
Fundamentos – Camada Limite. (em inglês)
Vamos retornar por um instante à noção idealizada do escoamento sem atrito denominado escoamento não viscoso
ou escoamento invíscido. Esse é o ramo mostrado à esquerda na Fig. 2.13. Ele engloba a maior parte da aerodinâmica e,
entre outras coisas, explica, por exemplo, porque aeronaves subsônicas e supersônicas possuem diferentes formas,
como uma asa gera sustentação, e assim por diante. Se essa teoria for aplicada à bola voando através do ar (um
escoamento que também é incompressível), ela prediz linhas de corrente (em coordenadas fixas à bola esférica)
conforme mostrado na Fig. 2.14a.
As linhas de corrente são simétricas da frente para trás da bola. Como a vazão mássica é constante entre duas linhas
de corrente quaisquer, sempre que essas linhas se abrem, a velocidade deve decrescer e vice versa. Desse modo,
podemos verificar que a velocidade do ar na vizinhança dos pontos A e C deve ser relativamente baixa; no ponto B a
velocidade será alta. De fato, o ar fica em repouso nos pontos A e C: eles são pontos de estagnação. Segue se que
(conforme estudaremos no Capítulo 6) a pressão neste escoamento é alta sempre que a velocidade é baixa, e vice versa.
Assim, os pontos A e C têm pressões relativamente grandes (e iguais); o ponto B será um ponto de pressão baixa. De
fato, a distribuição de pressão sobre a bola esférica é simétrica da frente para trás e não existe força líquida de arrasto
devido à pressão. Como estamos supondo escoamento não viscoso, não pode haver também arrasto devido ao atrito.
Temos, então, do paradoxo de d’Alembert de 1752: a bola não sofre arrasto!
Isso obviamente não é realista. Por outro lado, tudo parece logicamente consistente: nós verificamos que Re para a
esfera era muito grande (400.000), indicando que o atrito era desprezível. Usamos então a teoria do escoamento
invíscido para obter o nosso resultado de arrasto zero. Como podemos conciliar essa teoria com a realidade? Foram
necessários cerca de 150 anos, após o aparecimento do paradoxo, para a resposta, obtida por Prandtl em 1904: a
condição de não deslizamento (Seção 1.2) requer que a velocidade em todo local sobre a superfície da esfera seja zero
(em coordenadas esféricas), porém a teoria do escoamento não viscoso estabelece que a velocidade seja grande no ponto
B. Prandtl sugeriu que, embora de forma geral o atrito seja desprezível para escoamentos com valores altos do número
de Reynolds, existirá sempre uma camada limite delgada, na qual o atrito é significante e, através dela, a velocidade
aumenta rapidamente de zero (na superfície) até o valor previsto pela teoria do escoamento invíscido (sobre a borda
externa da camada limite). Isso é mostrado na Fig. 2.14b, do ponto A ao ponto B, e com mais detalhes na Fig. 2.15.
Esta camada limite permite nos reconciliar, imediatamente, a teoria com a experimentação: uma vez que temos
atrito em uma camada limite, então teremos arrasto. Entretanto, essa camada limite tem outra importante consequência:
ela frequentemente faz com que os corpos produzam uma esteira, conforme mostrado na Fig. 2.14 b do ponto D em
diante no sentido do escoamento. O ponto D é um ponto de separação ou de descolamento, onde as partículas fluidas
são afastadas da superfície do objeto causando o desenvolvimento de uma esteira. Considere novamente o escoamento
invíscido original (Fig. 2.14a): conforme a partícula se movimenta ao longo da superfície do ponto B ao ponto C, ela se
desloca de uma região de baixa pressão para uma de alta pressão. Esse gradiente de pressão adverso (uma variação de
pressão em oposição ao movimento do fluido) causa uma diminuição na velocidade das partículas à medida que elas se
movem ao longo da traseira da esfera. Se nós agora somarmos a isso o fato de que as partículas estão se movendo em
uma camada limite com atrito que também diminui a velocidade do fluido, as partículas serão eventualmente levadas ao
repouso e então afastadas da superfície da esfera pelas partículas seguintes, formando a esteira. Isto é, em geral, uma
situação muito ruim: ocorre que a esteira terá sempre uma pressão relativamente baixa, porém o ar à frente da esfera
possuirá ainda uma pressão relativamente alta. Desse modo, a esfera estará sujeita a um considerável arrasto de
pressão (ou arrasto de forma — assim chamado porque ele é decorrente da forma do objeto).
VÍDEO
Escoamento em Camada Limite.
(em inglês)
Figura 2.15 Esquema de uma camada limite.
Esta descrição reconcilia os resultados do escoamento invíscido de arrasto zero com os resultados experimentais do
escoamento com arrasto significante sobre uma esfera. É interessante notar que embora a presença da camada limite
seja necessária para explicar o arrasto sobre a esfera, ele é realmente decorrente, em sua maior parte, da distribuição de
pressão assimétrica criada pela separação da camada limite — o arrasto decorrente exclusivamente do atrito é ainda
Se você abrir uma torneira (que não tem dispositivo de aeração ou outra derivação) com uma vazão muito pequena, a
água escoará para fora suavemente — quase “vitrificada”. Se você aumentar a vazão, a água sairá de forma agitada,
caótica. Estes são exemplos de como um escoamento viscoso pode ser laminar ou turbulento, respectivamente. Um
escoamento laminar é aquele em que as partículas fluidas movem se em camadas lisas, ou lâminas; um escoamento
turbulento é aquele em que as partículas fluidas rapidamente se misturam enquanto se movimentam ao longo do
escoamento devido a flutuações aleatórias no campo tridimensional de velocidades. Exemplos típicos de trajetórias de
cada um desses escoamentos são ilustrados na Fig. 2.17, que mostra um escoamento unidimensional. Na maioria dos
problemas de mecânica dos fluidos – por exemplo, escoamento de água em um tubo — a turbulência é um fenômeno
quase sempre indesejável, porém inevitável, porque cria maior resistência ao escoamento; em outros problemas — por
exemplo, o escoamento de sangue através de vasos sanguíneos — a turbulência é desejável porque o movimento
aleatório permite o contato de todas as células de sangue com as paredes dos vasos para trocar oxigênio e outros
nutrientes.
Fig. 2.17 Trajetórias de partículas em escoamentos unidimensionais, laminar e turbulento.
A velocidade do escoamento laminar é simplesmente u; a velocidade do escoamento turbulento é composta pela
velocidade média ū mais as três componentes das flutuações aleatórias de velocidade u′, υ′ e w′.
Embora muitos escoamentos turbulentos de interesse sejam permanentes na média (ū não é uma função do tempo),
a presença de flutuações aleatórias de velocidade e de alta frequência torna a análise do escoamento turbulento
extremamente difícil. Em um escoamento laminar, unidimensional, a tensão de cisalhamento está relacionada com o
gradiente de velocidade pela relação simples
VÍDEO CLÁSSICO
Dinâmica de Fluido de Arrasto, I–IV. (em inglês)
Para um escoamento turbulento, no qual o campo de velocidade média é unidimensional, nenhuma relação simples como
essa é válida. Flutuações tridimensionais e aleatórias de velocidade (u′, υ′ e w′) transportam quantidade de movimento
através das linhas de corrente do escoamento médio, aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. (Essa tensão
aparente é discutida com mais detalhes no Capítulo 8.) Consequentemente, para um escoamento turbulento, não existem
relações universais entre o campo de tensões e o campo de velocidade média. Portanto, para a análise de escoamentos
turbulentos, temos que nos apoiar fortemente em teorias semiempíricas e em dados experimentais.
VÍDEO
Escoamento Laminar e Turbulento.
(em inglês)
Escoamentos Compressível e Incompressível
Escoamentos nos quais as variações na massa específica são desprezíveis denominamse incompressíveis; quando as
variações de massa específica não são desprezíveis, o escoamento é denominado compressível. O exemplo mais comum
de escoamento compressível é o escoamento de gases, enquanto o escoamento de líquidos pode, geralmente, ser tratado
como incompressível.
Para muitos líquidos, a temperatura tem pouca influência sobre a massa específica. Sob pressões moderadas, os
líquidos podem ser considerados incompressíveis. Entretanto, em altas pressões, os efeitos de compressibilidade nos
líquidos podem ser importantes. Mudanças de pressão e de massa específica em líquidos são relacionadas pelo módulo
de compressibilidade, ou módulo de elasticidade,
Se o módulo de compressibilidade for independente da temperatura, a massa específica será uma função da pressão
apenas (o fluido é barotrópico). Valores de módulos de compressibilidade para alguns líquidos comuns são dados no
Apêndice A.
O golpe de aríete e a cavitação são exemplos da importância dos efeitos de compressibilidade nos escoamentos de
líquidos. O golpe de aríete ou martelo hidráulico é causado pela propagação e reflexão de ondas acústicas em um
líquido confinado, por exemplo, quando uma válvula é bruscamente fechada em uma tubulação. O ruído resultante pode
ser similar ao da “batida de um martelo” em um tubo, daí a origem do termo.
VÍDEO CLÁSSICO
Cavitação. (em inglês)
A cavitação ocorre quando bolhas ou bolsas de vapor se formam em um escoamento líquido como consequência de
reduções locais na pressão (por exemplo, nas extremidades das pás da hélice de um barco a motor). Dependendo do
número e da distribuição de partículas no líquido às quais pequenas bolhas de gás ou ar não dissolvido podem se
agregar, a pressão no local de início da cavitação pode ser igual ou menor do que a pressão de vapor do líquido. Essas
partículas agem como locais de nucleação para iniciar a vaporização.
A pressão de vapor de um líquido é a pressão parcial do vapor em contato com o líquido saturado a uma dada
temperatura. Quando a pressão em um líquido é reduzida abaixo da pressão de vapor, o líquido pode passar
abruptamente para a fase vapor, em um fenômeno que lembra o espocar do “flash” de uma máquina fotográfica.
As bolhas de vapor em um escoamento de líquido podem alterar substancialmente a geometria do campo de
escoamento. O crescimento e o colapso ou implosão de bolhas de vapor em regiões adjacentes a superfícies sólidas
podem causar sérios danos por erosão das superfícies do material.
Líquidos muito puros podem suportar grandes pressões negativas (tanto quanto –6 MPa para a água destilada) antes
que as “rupturas” e a vaporização do líquido ocorram. Ar não dissolvido está invariavelmente presente próximo à
superfície livre da água doce ou da água do mar, de modo que a cavitação ocorre onde a pressão total local está bastante
próxima da pressão de vapor.
Escoamentos de gases com transferência de calor desprezível também podem ser considerados incompressíveis,
desde que as velocidades do escoamento sejam pequenas em relação à velocidade do som; a razão entre a velocidade do
escoamento, V, e a velocidade local do som, c, no gás, é definida como o número de Mach,
Para M < 0,3, a variação máxima da massa específica é inferior a 5%. Assim, os escoamentos de gases com M < 0,
podem ser tratados como incompressíveis; um valor de M = 0,3 no ar, na condição padrão, corresponde a uma
velocidade de aproximadamente 100 m/s. Por exemplo, quando você dirige o seu carro a 105 km/h, o ar escoando em
torno dele apresenta pequena variação na massa específica, embora isso possa parecer um pouco contrário à intuição.
Como veremos no Capítulo 12, a velocidade do som em um gás ideal é dada por c = , na qual k é a razão dos
calores específicos, R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta. Para o ar nas condições padrão de temperatura
e pressão, k = 1,40 e R = 286,9 J/kg · K. Os valores para k e R são fornecidos no Apêndice A nas condições padrão de
temperatura e pressão para diversos gases selecionados entre os mais comuns. Adicionalmente, o Apêndice A contém
alguns dados úteis sobre propriedades atmosféricas, tais como temperatura para várias elevações.
Escoamentos compressíveis ocorrem com frequência nas aplicações de engenharia. Exemplos comuns incluem
sistemas de ar comprimido empregados no acionamento de ferramentas e equipamentos pneumáticos e brocas dentárias,
a condução de gases em tubulações a altas pressões, os controles pneumático e hidráulico e os sistemas sensores. Os
um bocal supersônico (um equipamento para acelerar um escoamento) deve ser divergente (isto é, ter área da seção
transversal crescente) no sentido do escoamento! Notamos aqui, também, que em um bocal subsônico (que tem área de
seção transversal convergente), a pressão do escoamento no plano de saída será sempre a pressão ambiente; para um
escoamento sônico, a pressão de saída pode ser maior que a do ambiente; e, para um escoamento supersônico, a pressão
de saída pode ser maior, igual, ou menor que a pressão ambiente!
2.7 Resumo e Equações Úteis
Neste capítulo, nós completamos nossa revisão sobre alguns conceitos fundamentais que utilizaremos no estudo da mecânica dos fluidos. Alguns deles são:
✔ Como descrever os escoamentos (linhas de tempo, trajetórias, linhas de corrente e linhas de emissão). ✔ Forças (de superfície e de campo) e tensões (cisalhante e normal).
✔ Tipos de fluidos (newtonianos, não newtonianos — dilatante, pseudoplástico, tixotrópico, reopético, plástico de Bingham) e viscosidade (cinemática, dinâmica e aparente). ✔ Tipos de escoamento (viscoso/invíscido, laminar/turbulento, compressível/incompressível, interno/externo).
Discutimos também, brevemente, alguns fenômenos de interesse, tais como tensão superficial, camada limite, esteira e carenagem. Finalmente, apresentamos dois grupos adimensionais muito úteis — o número de Reynolds e o número de Mach.
Nota: A maior parte das Equações Úteis na tabela a seguir possui restrições ou limitações — para usá las com segurança, verifique os detalhes no capítulo, conforme a numeração de referência!
Equações Úteis
Definição da gravidade específica: (2.3)
Definição do peso específico: (2.4)
Definição de linhas de corrente (2D): (2.8)
Definição de trajetórias (2D): (2.9)
Definição de linhas de emissão (2D): Xlinha de emissaão (t 0 ) = x(t,x 0 ,y 0 ,t 0 Ylinha de emissaão (t 0 ) = y(t,x 0 ,y 0 ,t 0
Lei da viscosidade de Newton (Escoamento 1D): (2.15)
Tensão de cisalhamento para um fluido não newtoniano (escoamento 1D):
Estudo de Caso
Mecânica dos Fluidos e o Seu Aparelho MP
Aparelho de MP3 de um dos autores
Algumas pessoas têm a impressão de que a mecânica dos fluidos é de tecnologia velha ou ultrapassada: o
escoamento de água em uma tubulação residencial, as forças fluidas agindo sobre uma represa, e assim por
diante. Embora seja verdade que muitos conceitos em mecânica dos fluidos possuam centenas de anos, existem
ainda muitas novas e excitantes áreas de pesquisa e desenvolvimento. Todos já ouviram falar da área de
mecânica dos fluidos de tecnologia relativamente de ponta chamada carenagem (de carros, aeronaves,
bicicletas de corrida e roupas para competição em natação, para mencionar somente algumas), mas existem
muitas outras.
Se você é um estudante de engenharia típico, existe uma boa chance de que enquanto estiver lendo este
capítulo você esteja ouvindo música em seu aparelho de MP3; você pode agradecer à mecânica dos fluidos por
sua capacidade de fazer isso! O minúsculo disco rígido em um desses aparelhos guarda tipicamente em torno
de 250 GB de dados, portanto a superfície do disco deve ter uma enorme densidade (maior do que 40.000 faixas
por cm); adicionalmente, o cabeçote leitor/gravador deve ficar muito perto do disco enquanto ele transfere os
dados (tipicamente o cabeçote está 0,05 μm acima da superfície do disco — um cabelo humano possui cerca de
100 μm). O disco também gira a uma velocidade maior do que 500 rotações por segundo! Consequentemente,
os rolamentos em que o eixo do disco gira devem ter pouquíssimo atrito e também não possuir balanços ou
folgas — caso contrário, na pior das hipóteses, o cabeçote vai colidir com o disco ou, na melhor das hipóteses,
você não será capaz de ler os dados (eles estarão guardados demasiadamente perto). Projetar tal rolamento
representa um grande desafio. Até poucos anos atrás, a maioria dos discos rígidos utilizava rolamentos de
esferas, que são essencialmente parecidos com aqueles na roda de uma bicicleta; eles trabalham segundo o
princípio de que um eixo pode rodar se ele está seguro por um anel de pequenas esferas que são suportadas
em uma armação. Os problemas com os rolamentos de esferas são que eles possuem muitos componentes; são
muito difíceis de construir com a precisão necessária ao disco rígido; são vulneráveis ao choque (se você soltar
um disco rígido com uma unidade dessas é provável que uma das esferas se quebre assim que atingir o eixo,
destruindo o rolamento); e esses rolamentos são relativamente ruidosos.
aquela que passa pelo ponto (x, y) = (0, 0).
2.6 Um campo de velocidade é especificado como em que = axy + by^2 , em que a = 2 m−1s−1, b = −6 m−1s−1^ e as coordenadas são
medidas em metros. O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional? Por quê? Calcule as componentes da velocidade no ponto (2, ½). Deduza uma equação para a linha de corrente que passa por esse ponto. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante incluindo aquela que passa pelo ponto (2, ½).
2.7 O campo de velocidade é dado por = ax − bty , em que a = 1 s−1, b = 1 s−2. Determine a equação das linhas de corrente para
qualquer tempo t. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante para t = 0, t = 1 s e t = 20 s.
2.8 Um campo de velocidade é dado por = ax^3 + bxy^3 em que a = 1 m−2s−1^ e b = 1 m−3s−1. Determine a equação das linhas de
corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.
2.9 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade = (Ax + B) + (−Ay) , em que A = 3 m/s/m e B = 6 m/s. Trace algumas
linhas de corrente no plano xy, incluindo aquela que passa pelo ponto (x, y) = (0,3;0,6).
2.10 A velocidade para um escoamento permanente incompressível no plano xy é dada por = A/x + A/x^2 , em que A = 2 m^2 /s e as
coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa pelo ponto (x, y) = (1, 3). Calcule o tempo necessário para que uma partícula fluida se mova de x = 1 m até x = 2 m neste campo de escoamento.
2.11 O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por
em que M = 1 s−1^ e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais. Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x, ao longo do eixo y e ao longo da linha y = x, e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos. Para cada gráfico use a faixa 0 ≤ x ou y ≤ 1 km. Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas. O que esse campo de escoamento modela?
2.12 O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por
em que K = 10^5 m^2 /s e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais. Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x, ao longo do eixo y e ao longo da linha y = x, e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos. Para cada gráfico use a faixa −1 km ≤ x ou y ≤ 1 km, excluindo |x| ou |y| < 100 m. Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas. O que esse campo de escoamento modela?
2.13 Um campo de escoamento é dado por
em que q = 5 × 10^4 m^2 /s. Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x, ao longo do eixo y e ao longo da linha y = x, e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos. Para cada gráfico use a faixa −1 km ≤ x ou y ≤ 1 km, excluindo |x| ou |y| < 100 m. Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas. O que esse campo de escoamento modela?
2.14 Começando com o campo de velocidade do Problema 2.5, verifique que as equações paramétricas para o movimento da partícula são dadas por xp = c 1 eAt^ e yp = c 2 e−At. Obtenha a equação para a trajetória da partícula localizada no ponto (x, y) = (2, 2) no instante t =
- Compare essa trajetória com a linha de corrente passando pelo mesmo ponto.
2.15 Um campo de velocidade é dado por = Ax + 2Ay , em que A = 2 s−1. Verifique que as equações paramétricas para o
movimento da partícula são dadas por xp = c 1 eAt^ e yp = c 2 e2At. Obtenha a equação para a trajetória da partícula localizada no ponto (x, y) = (2, 2) no instante t = 0. Compare essa trajetória com a linha de corrente passando pelo mesmo ponto.
2.16 Um campo de velocidade é dado por = ayt − bx , em que a = 1 s−2^ e b = 4 s−1. Determine a equação das linhas de corrente
para qualquer tempo t. Trace algumas curvas para t = 0 s, t = 1 s e t = 20 s.
2.17 Verifique que xp = −asen(ωt), yp = acos(ωt) é a equação para as trajetórias de partículas para o campo de escoamento do Problema 2.12. Determine a frequência de movimento ω como uma função da amplitude de movimento, a, e K. Verifique que xp = −asen(ωt), yp = acos(ωt) é também a equação para as trajetórias de partículas para o campo de escoamento do Problema 2.11, exceto que ω agora é uma função de M. Trace trajetórias típicas para ambos os campos de escoamento e discuta a diferença.
2.18 Ar escoando verticalmente para baixo atinge uma larga placa plana horizontal. O campo de velocidade é dado por = (ax − ay
)(2 + cos ωt), em que a = 5 s−1, ω = 2πs−1, x e y (medidos em metros) são direcionados para a direita na horizontal e para cima na
vertical, respectivamente, e t é dado em segundos. Obtenha uma equação algébrica para a linha de corrente em t = 0. Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x, y) = (3, 3) nesse instante. A linha de corrente mudará com o tempo? Explique brevemente. Mostre, no gráfico, o vetor velocidade nesse mesmo ponto e para o mesmo instante. O vetor velocidade é tangente à linha de corrente? Explique.
2.19 Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade = A(1 + Bt) + Cty , com A = 1 m/s, B = 1 s−1^ e C = 1 s−2. As
coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1, 1) no instante t = 0. Compare a com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s.
2.20 Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade = Bx(1 + At) + Cy , com A = 0,5 s−1^ e B = C = 1 s−1. As
coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1, 1) no instante t = 0. Compare a com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s.
2.21 Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão = A − Bt , em que A = 2 m/s, B = 2 m/s^2 e as
coordenadas são medidas em metros. Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto (x, y) = (1, 1) no instante t = 0. Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula. Trace a trajetória e compare a com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s.
2.22 Considere o campo de velocidades = ax + by(1 + ct) , em que a = b = 2 s−1^ e c = 0,4 s−1. As coordenadas são medidas em
metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (1, 1) no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 1,5 s. Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 1,5 s.
Obtenha a linha de corrente que passa pelo ponto (6, 6). No instante t = 1 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 4) no instante t = 0? Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto (−3, 0)? Mostre que as trajetórias, as linhas de corrente e as linhas de emissão para este escoamento são coincidentes.
2.32 Pequenas bolhas de hidrogênio estão sendo utilizadas na visualização de um escoamento. Todas as bolhas são geradas na origem (x = 0, y = 0). O campo de velocidade é transiente e obedece às equações:
u = 1 m/s ν = 2 m/s 0 ≤ t < 2 s
u = 0 ν = −1 m/s 0 ≤ t ≤ 4 s
Trace as trajetórias das bolhas que deixam a origem em t = 0, 1, 2, 3 e 4 s. Marque as localizações dessas cinco bolhas em t = 4 s. Use uma linha tracejada para indicar a posição de uma linha de emissão em t = 4 s.
2.33 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade = ax + b , em que a = 1/5 s−1^ b = 1 m/s. As coordenadas são medidas
em metros. Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa através do ponto (1, 1). Em t = 5 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 1) em t = 0? Quais são suas coordenadas em t = 10 s? Trace a linha de corrente e as posições da partícula no início, em 5 s e 10 s. Que conclusões você pode tirar sobre trajetória, linha de corrente e linha de emissão para este escoamento?
2.34 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade = a + bx , em que a = 2 m/s e b = 1 s−1. As coordenadas são medidas
em metros. Obtenha a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto (2, 5). Em t = 2 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (0, 4) em t = 0? Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto (x, y) = (1, 4, 25)? Que conclusões você pode tirar a respeito da trajetória, linha de corrente e de emissão para esse escoamento?
2.35 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade = ay + bt , em que a = 0,2 sª1e b = 0,4 m/s^2. Em t = 2 s, quais são as
coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 2) em t = 0. Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 2) em t = 2 s? Trace a trajetória e linha de emissão através do ponto (1, 2), e compare com as linhas de corrente através do mesmo ponto nos instantes t = 0, 1, 2 e 3 s.
2.36 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade = at + b , em que a = 0,4 m/s^2 e b = 2 m/s. Em t = 2 s, quais são as
coordenadas da partícula que passou pelo ponto (2, 1) em t = 0? Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (2, 1) em t = 2 s. Trace a linha de emissão e a trajetória pelo ponto (2, 1) e compare com as linhas de corrente passando pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s.
Viscosidade
2.37 A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland
Os valores de b e S que melhor ajustam esta equação são dados no Apêndice A. Use esses valores para desenvolver uma equação para calcular a viscosidade cinemática do ar em unidades do Sistema Internacional de Unidades como uma função da temperatura a pressão atmosférica. Considere o comportamento de gás ideal. Cheque a equação calculando a viscosidade cinemática do ar a 0°C e a 100°C, e compare com os dados no Apêndice A (Tabela A.10); trace o gráfico da viscosidade cinemática para a faixa de temperatura de 0°C a 100°C, usando a equação e dados na Tabela A.10.
2.38 A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland
Os valores de b e S que melhor ajustam essa equação são dados no Apêndice A para serem usados em unidades do Sistema Internacional. Use esses valores para desenvolver uma equação para calcular a viscosidade do ar em unidades do Sistema Gravitacional Britânico como uma função da temperatura absoluta em graus Rankine. Verifique a exatidão dos seus resultados comparando os com os dados do Apêndice A.
2.39 Alguns dados experimentais para a viscosidade do hélio a 1 atm são
T, °C 0 100 200 300 400
μ N · s/m^2 (× 10^5 1,86 2,31 2,72 3,11 3,
Utilizando a metodologia descrita no Apêndice A.3, correlacione estes dados com a equação empírica de Sutherland
(em que T é dado em kelvin) e obtenha valores para as constantes b e S.
2.40 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por
em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15ºC, com umáx = 0,10 m/s e h = 0,1 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.
2.41 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
em que h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15ºC com velocidade máxima de 0,05 m/s e h = 0,1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m^2 da placa inferior e dê o seu sentido.
2.42 Explique como um patim interage com a superfície de gelo. Que mecanismos agem no sentido de reduzir o atrito de deslizamento entre o patim e o gelo?
2.43 Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade μ = 0,1 N · s/m^2 , escoa de forma permanente sobre uma superfície inclinada de θ = 45 graus para baixo em relação à horizontal, em uma película de espessura h = 0,1 in. O perfil de velocidade é dado por
(A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela.) Trace o perfil da velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.
2.44 Uma patinadora de estilo livre no gelo desliza sobre patins à velocidade V = 6 m/s. O seu peso, 450 N, é suportado por uma fina película de água fundida do gelo pela pressão da lâmina do patim. Considere que a lâmina tem comprimento L = 0,3 m e largura w = 3 mm, e que a película de água tem espessura h = 0,0015 mm. Estime a desaceleração da patinadora que resulta do cisalhamento viscoso na película de água, desprezando efeitos das extremidades do patim.
2.45 Um bloco cúbico pesando 45 N e com arestas de 250 mm é puxado para cima sobre uma superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo SAE 10W a 37ºC. Se a velocidade do bloco é de 0,6 m/s e a película de óleo tem 0,025 mm de espessura, determine a força requerida para puxar o bloco. Suponha que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear. A superfície está inclinada de 25º a partir da horizontal.
2.46 Um bloco cúbico de massa 10 kg e de aresta de 250 mm é puxado para cima em uma superfície inclinada, sobre o qual há um filme de óleo SAE 10W 30 a –1,1°C de espessura 0,025 mm. Determine a velocidade constante do bloco se ele for liberado. Se uma força de 75 N for aplicada para puxar o bloco para cima da superfície inclinada, determine a velocidade constante de subida do bloco. Se agora a força for aplicada para puxar o bloco para baixo, determine a velocidade constante do bloco. Considere que a distribuição de velocidade do bloco no filme seja linear. A superfície está inclinada de 30° a partir da horizontal.
2.47 Uma fita adesiva, de espessura 0,38 mm e largura de 25 mm, deve ser revestida em ambos os lados com cola. Para isso, ela
