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Definição de limite matemático e
demonstrações
Apresentação
O estudo de limites, pela definição formal, é essencial para definir com precisão o comportamento
de uma função nas proximidades de um ponto no domínio da função. O conceito de limites é
fundamental para entender cálculo diferencial e integral.
Os limites laterais permitem aproximar um ponto do domínio da função tanto pela direita como
pela esquerda, podendo determinar o valor do limite na vizinhança desse ponto, além de verificar a
existência do limite.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário ter estudado limites
intuitivos, pois em limites laterais serão utilizados conceitos de aproximação.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá os conceitos e definições de limites formalmente. Você
vai compreender geometricamente o conceito de limites e poderá acompanhar os conceitos
apresentados na resolução de exercícios.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
- Reconhecer a definição formal de limites.
- Demonstrar limites pela definição.
- Interpretar a definição de limites.
Desafio
Construir um gráfico da função permite visualizar a solução de uma forma plausível, chegando-se a
conclusões específicas de acordo com o seu comportamento.
Você precisa confeccionar o gráfico e fazer uma análise a respeito de uma função.
a) Construa o gráfico da função f(x) nas proximidades da abscissa 1.
b) Determine o valor do limite da função.
c) Com base nos resultados obtidos em a e b , explique a solução encontrada.
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Conteúdo do livro
A existência de um limite, por exemplo, não depende apenas de aproximar a variável x de um ponto
x 0. Para se ter um limite L, são necessárias aproximações pela direita e pela esquerda em torno de
x 0. Já os valores obtidos são valores aproximados do limite L.
No capítulo Definição de limite matemático e demonstrações, base teórica desta Unidade de
Aprendizagem, você verá como calcular um limite formalmente e estudará definições e a
interpretação geométrica dos resultados. Você também irá aprender a calcular limites laterais e a
verificar a existência de um limite.
Boa leitura.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
> Reconhecer a definição formal de limites.
> Demonstrar limites pela definição.
> Interpretar a definição de limites.
Introdução
A definição formal de limites, embora seja um pouco complexa, nos permite analisar
as pequenas variações das constantes ε e δ (épsilon e delta, respectivamente).
Veremos que a função f ( x ) não está definida em um certo ponto a , mas que para
uma condição especifica, existe um limite.
Definição de limite Seja f ( x ) éuma função e x 0 um ponto no domínio da função f ( x ), suponha que desejamos aproximar x pelo ponto x 0 , pela esquerda e pela direita, como mostram as Figuras 1a-b, mas sem que x se torne o próprio x 0.
Definição de limite
matemático e
demonstrações
Daniele Cristina Thoaldo
Figura 1. (a) x à esquerda de x 0. (b) x à direita x 0.
y y
x x
a (^) b
As letras gregas δ (delta) e ε (épsilon) são usadas para denotar pequenos números reais positivos. Observe que desejamos fazer com que f ( x ) fique muito próximo de L, desde que x 0 possua uma certa distância de δ, ou seja, x 0 ≠ x.
Valor absoluto (módulo)
Geometricamente, o valor absoluto ou módulo de um número é a distância entre dois pontos em uma reta (Figura 2).
Figura 2. Interpretação geométrica.
Se existir um x no intervalo aberto x 0 – δ < x < x 0 + δ , então f ( x ) está no intervalo aberto y 0 – ε < f ( x ) < y 0 + ε.
Propriedade (1)
Para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, para todo x ∈ Df (domínio da função),
x – δ < x 0 < x + δ , x ≠ x 0 ⇒ L – ε < f ( x ) < L + ε
2 Definição de limite matemático e demonstrações
De acordo com Guidorizzi (2018), o limite de f em x 0 não depende do valor (caso f esteja definida em x 0 que f assume em x 0 , mas sim dos valores que f assume nos pontos próximos de x 0. O conceito de limite é um conceito local, pois para o limite de f em x 0 , analisamos os valores que f assume em um pequeno intervalo aberto contendo x 0.
Figura 4. Definição.
y
L + ε
L – ε
x 0 – δ x 0 x 0 + δ x
L
A partir de agora, veremos alguns exemplos.
Exemplo 1 Mostre que:
limδ 0 ( + ) = 0 +
4 Definição de limite matemático e demonstrações
Solução: Seja para todo f ( x ) = axε > 0, existe um + b e L = ax 0 + bδ. De acordo com a definição, devemos mostrar que, > 0 tal que:
se 0 < | x – x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) – L | < ε Então: 0 < | x – x 0 | < δ ⇒ |( ax + b ) – ( ax 0 + b )| < ε
valor de^ Desenvolvendo a segunda desigualdade em que envolve δ.^ ε , nos fornece o
Fazendo δ <
| + δ 0 δ | < | − 0 | < | − 0 | < | − 0 | < : 0 < |^ δ 0 | < 0 < |^ − 0 | < 0 < | − 0 | < 0 < | − 0 | < Note que δ <
| (^) + δ 0 δ | < | (^) − 0 | < | − 0 | < | − 0 | < não é o único valor que fará 0 < | x – x 0 | < δ implicar | ax – ax 0 | < ε.
Exemplo 2 Mostre que: limδ2 (3 ε 1 ) = 5
Definição de limite matemático e demonstrações 5
Exemplo 3 Seja o:
lim→1 (√3 + 6) = 3
determine um δ > 0 que sirva para ε = 2. Solução: Para determinar δ > 0, temos:
0 < | − 1 | < e | √3 + 6 − 3 | < Iniciamos resolvendo a inequação0 < | − 1 | < e | √3 + 6 − 3 | < para determinar um inter- valo que contenha x 0 = 1 para que a inequação valha para qualquer x 0 ≠ x. |√3 + 6 ≠ | < 2 δ ε ≠ → ≥ ≠ 2 + 3 < √3 + 6 < 2 + 3 1 < √3 + 6 < 5 1 2 < 3 + 6 < 5 2 1 < 3 + 6 < 25 1 − 6 < 3 < 25 − 6 −5 < 3 < 19 −^53 < <^193
vale para todo^ A inequação é validada para qualquer pertencente ao intervalo aberto , logo x ≠ 1. Determinando um valor δ > 0, devemos centrar o intervalo de 1 – δ < x < 1 + δ , centrando o intervalo (^) (− 53 ,^193 ). Usamos a distância mais próxima de 1 até (^) (− 53 ,^193 ). A Figura 5 mostra a menor distância sendo 83 , isso significa que em qualquer número positivo menor que δ = 83 , a inequação 0 < | x – 1| < δ colocará x no intervalo de (^) (− 53 ,^193 ).
Definição de limite matemático e demonstrações 7
y
x (^113) (^8383)
-^53 -
1
2
3
4
5
–3 –2 1 2 3 4 5 6
Figura 5. Função e intervalo.
Exemplo 4 Dado: lim→−3 (2 + 4) = −
e ε = 0,02, determine um δ positivo tal que | f ( x ) – L | < ε sempre que 0 < | x – x 0 | < δ Solução: Sabe-se que: f ( x ) = 2x + 4, x 0 = –3 e L = –2.
8 Definição de limite matemático e demonstrações
Definição: Quando x 0 tende à direita Seja f uma função, x 0 um número real. Dizemos que um número L é o limite lateral à direita da função f quando x tende para x 0 (Figura 7) e escrevemos:
lim→ 0 + ( ) = ,
se para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que | f ( x ) – L | < ε sempre que x 0 < x < x 0 + δ. Usamos o símbolo x → x 0 +^ quando os valores são maiores que x 0.
Figura 7. Limite da função pela direita.
Definição: Quando x 0 tende à esquerda Seja f uma função, x 0 um número real. Dizemos que um número L é o limite lateral à esquerda da função f quando x tende para x 0 (Figura 8) e escrevemos:
lim→ 0 − ( ) = ,
se para todo ε > 0 existe um δ > , tal que | f ( x ) – L |<ε sempre que x 0 < x < x 0 + δ. Usamos o símbolo x → x 0 +^ quando os valores são maiores que x 0.
10 Definição de limite matemático e demonstrações
Figura 8. Limite da função pela esquerda.
Exemplo 5 Dada a função: ( ) = √ − 5
determinar, se possível,
lim→5− ( )
lim→5 − ( ) = lim→5 − √ − 5
= √5 − 5 = √ = 0
Solução: Iniciamos calculando o limite quando x tende à direita:
lim →5 − ( )
lim→5 − ( ) = lim→5 − √ − 5
Definição de limite matemático e demonstrações 11
5 4 3 2 1 –3 –2 –1 1 3 4^ x
y
2 Figura 9. Limite de uma função.
Como os limites laterais são iguais, concluímos que o limite existe, logo:
li→2m ( ) = 5
Exemplo 7 Considere a seguinte função representada pelo gráfico da Figura 10.
Figura 10. Exemplo.
Definição de limite matemático e demonstrações 13
Determine: a) δε 2lim ε ( )
b) δε 2lim + ( )
c) limδε 2 ( )
d) δε 1lim ε (^ )
e) limδε 1 + (^ )
f) limδε 1 (^ )
g) limδ1 ε (^ )
h)limδ1 + ( )
i) limδ1 (^ )
Solução: A função não está definida, portanto:
δε 2lim ε^ (^ ) =^ ≠
Quando nos aproximamos de –2 pela direita, observa-se no gráfico que o limite tende a –2, logo:
δε 2lim +^ (^ ) =^0
Como:
limδε 2 ε ( ) ≠ δε 2lim + ( ) → limδε 2 ( ) ≥
Quando: δ ε ≠→≥δε ≠ε ε≠ Quando: δ ε ≠→≥δε ≠ ≠
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