Sistemas Lineares: Resolução de Equações e Matrizes, Resumos de Matemática

Baixe Sistemas Lineares: Resolução de Equações e Matrizes e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO

AMAZONAS CAMPUS MANAUS CENTRO DEPARTAMENTO ACADÊMICO

DE INFRAESTRUTURA

TRABALHO DE MATEMÁTICA

EDUARDO HENRIQUE PEIXOTO FERREIRA

MANAUS/AM

SISTEMA LINEAR

Sistemas lineares são formados por duas ou mais equações lineares que

possuem suas incógnitas relacionadas. Eles podem ser resolvidos por meio de

diferentes métodos.

EQUAÇÃO LINEAR

O trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos valores desconhecidos de incógnitas. Chamamos de equação quando temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é classificada como linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir: 2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por: a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas. SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕES DO 1 GRAU E DUAS INCÓGNITAS Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são: método da comparação método da adição método da substituição Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-los. Método da substituição O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação. Exemplo: 1º passo: isolar uma das incógnitas. Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui

1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que: 2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x. 3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações. x = -4 – 3y x = -4 – 3 (-2) x = -4 + 6 x = 2 Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}. MÉTODO DA ADIÇÃO O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero. Exemplo:

1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos. Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça. I → 5x – 4y = - 2 · II → 2x + 4y = 26 2º passo: realizar a soma I + 2 · II. 3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações. Sistemas lineares com três equações do 1º grau e três incógnitas Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de resolução. Todos esses métodos relacionam os coeficientes com matrizes, e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o escalonamento. Para a resolução em ambos os métodos, é necessário a representação matricial do sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser representado por meio de uma matriz. Há duas possíveis representações, a matriz completa e a matriz incompleta: Exemplo: O sistema

Exemplo: 1º passo: calcular D. 2º passo: calcular Dx. 3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois: 4º passo: calcular Dy. ]

5º passo: então podemos calcular o valor de y: 6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção é calcular Dz. Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação: 2x + y – z = 3 2 · 0 + 2 – z = 3 0 + 2 – z = 3 -z = 3 – 2 -z = -1 (-1) z = - Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1). Escalonamento Outro método de resolver sistemas lineares é o escalonamento, nele utilizamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o objetivo de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o sistema a seguir. 1º passo: escrever a matriz completa que represente o sistema.

a31 = 0 + 3 · 0 = 0 a32 = -3 + 3 · 1 = 0 a33 = 7 + 3 · (-1) = 4 a34 = -17 + 3 · 3 = - Então L3 será: 0 0 4 -8. A nova matriz escalonada será: Agora, ao representarmos essa matriz como um sistema novamente, adicionando x, y e z nas colunas, encontraremos o seguinte: Podemos então encontrar o valor de cada uma das incógnitas. Analisando a equação III, temos que: Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação:

Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor de y e z para encontrarmos o valor de x. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm https://br.search.yahoo.com/search?fr=mcafee&type=E211BR853G0&p=sistema+linear https://www.todamateria.com.br/sistemas-lineares/