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Sesión N° 4

Cadenas de Markov

Ingeniería Industrial Semestre Académico 2022 - I

Ingeniería Industrial DÍA EL Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante formula y resuelve casos prácticos sobre Cadenas de Markov en base al enunciado de una problemática empresarial, ó de cualquier indole, relacionando de manera coherente los estados con las probabilidades de transición junto a costos y/o beneficios que plantea el problema.

Logro de Aprendizaje

Ingeniería Industrial DÍA EL

1. Proceso Estocástico

• Conjunto ó sucesión de variables aleatorias: { X ( t ) } definidas en un mismo espacio de probabilidad.
• Normalmente el índice t representa tiempo y X ( t ) representa el estado del proceso estocástico en el instante t.
• El proceso puede ser de tiempo Discreto ó Continuo.
• Si el proceso es de tiempo discreto, usamos enteros para representar el índice: { X 1 , X 2 , ... } Ejemplos :
  1. Serie mensual de ventas de un producto
  2. Estado de una máquina al final de cada semana: Funciona ó Averiada
  3. Número de clientes esperando en una cola, medido cada 30 segundos
  4. Preferencia de un consumidor por una marca de detergente en sus compras semanales
  5. Número de unidades en inventario al finalizar la semana

Ingeniería Industrial DÍA EL Ejemplo : “El estado ó condición de una máquina” La condición de una máquina al momento de hacerle un mantenimiento preventivo mensual puede ser : Mala, Regular ó Buena. Para el mes t, el proceso estocástico en esta situación se representa como sigue: La variable aleatoria Xt es finita porque puede encontrarse solamente en 3 estados : malo ( 0 ), regular ( 1 ) y bueno ( 2 ). Xt = 0, si la condición es mala 1, si la condición es regular 2, si la condición es buena , t = 1,2,

1. Proceso Estocástico

Ingeniería Industrial DÍA EL

2. Propiedad Markoviana

La probabilidad condicional de cualquier “evento” futuro dados cualquier

“evento” pasado y el estado actual Xt = i, es independiente de los eventos

pasados y solo depende del estado actual del proceso.

Un proceso estocástico {Xt} (con t = 0 , 1 ,.. ) es una “ Cadena de Markov ”

si presenta la “ propiedad markoviana”

Ingeniería Industrial DÍA EL

3. Probabilidades de Transición Las probabilidades condicionales P { Xt+ 1 = j / Xt = i } de una CM se llaman “Probabilidades de Transición de un Paso”. Las probabilidades de transición, de un paso son “Estacionarias”, esto quiere decir que éstas probabilidades “no cambian con el tiempo” La existencia de Probabilidades de transicion de un paso estacionarias también implica que, para cada i , j y n ( n = 0 , 1 , 2 ,.. .) :

P { Xt+n = j / Xt = i } = P { Xn = j / X 0 = i }, para toda t = 0 , 1 , 2 ,…

Estas probabilidades condicionales se llaman : “Probabilidades de Transición de n pasos”.

Ingeniería Industrial DÍA EL Las probabilidades de transición de “ n” pasos se pueden representar en forma de una Matriz : Cuando n = 1 , el superindice ya no se escribe. Esta matriz se conoce como la “Matriz de Transición de n pasos” y representa a una “ Cadena de Markov” Probabilidad de “transitar” del estado “ 0 ” al estado “ 1 ” en “n pasos”.

3. Probabilidades de Transición en Forma de Matriz

Ingeniería Industrial DÍA EL

4. Proceso de Markov

Diagrama de Transición de Estados (DTE)

El Diagrama de Transición de Estados (DTE) de una CM es un grafo dirigido cuyos nodos son los estados de la CM y cuyos arcos se etiquetan con la probabilidad de transición entre los estados que unen. Si dicha probabilidad es nula, no se pone arco.

i j

P

ij

Ingeniería Industrial DÍA EL Estados S = {1,2,3} (1) buena, (2) regular y (3) mala Estado 1 2 3 1 0,2 0,5 0, 2 0 0,5 0, 3 0 0 1

P =

• {Xt} = {X 0 , X 1 , X 2 ,…} representa la forma en que evoluciona la condición de la tierra en el tiempo t = 0 , 1 , 2 ,…
• Las probabilidades de transición muestran que la condición de la tierra puede o deteriorarse o permanecer como está pero nunca mejorar.
• Por ejemplo, si la condición de la tierra es buena en este año (estado 1 ) hay 20 % de probabilidad que no cambie el año siguiente, 50 % que sea regular (estado 2 ), y 30 % que se deteriorará a una condición mala (estado 3 ). 4. Proceso de Markov

Solución :

Ingeniería Industrial DÍA EL El agricultor modifica las probabilidades de transición P utilizando un fertilizante orgánico. En este caso, la matriz de transición se vuelve: El uso de fertilizante puede conducir a mejorar las condiciones del suelo.

P =

4. Proceso de Markov

Solución :

Ingeniería Industrial DÍA EL La evolución del clima día tras día en el pueblo es un proceso estocástico. {Xt} = {X 0 , X 1 , X 2 ,…} proporciona una representación matemática de la forma en que evoluciona el clima en el tiempo t=0,1,2,… P{Xt+1 = 0|Xt = 0} = 0,8, P{Xt+1 = 0|Xt = 1} = 0, Estados S ={0,1} (0) = El día es seco (1) = El día es lluvioso 0 si día t es seco Xt = 1 si día t es lluvioso Las probabilidades de transición (de un paso) son P 00 = P{Xt+ 1 = 0 |Xt = 0 } = 0 , 8 P 10 = P{Xt+ 1 = 0 |Xt = 1 } = 0 , 6 P 00 + P 01 = 1 entonces P 01 = 1 – 0,8 = 0, P 10 + P 11 = 1 entonces P 11 = 1 – 0,6 = 0,

4. Proceso de Markov

Solución :

Ingeniería Industrial DÍA EL Matriz de transición : se refiere a la transición del estado fila al estado columna. Diagrama de transición.

4. Proceso de Markov

Solución :

Ingeniería Industrial DÍA EL A que llamamos “Estado”? : El estado es un conjunto de condiciones dadas en un momento determinado. En nuestro ejemplo el estado de un poblador (en esta semana) es la preferencia que tiene por comprar en cierto supermercado. Cuales son las probabilidades de los Estados? : Para nuestro ejemplo son : P(A) = 0. 40 , P(B) = 0. 30 , P(C) = 0. 30. En otras palabras viene a ser la “cuota de clientes” que tiene cada supermercado. Estas probabilidades las podemos representar en un vector llamado “Vector de Probabilidades de Estado Inicial”

5. Propiedades Markovianas

Solución :

Ingeniería Industrial DÍA EL Que son las Probabilidades de Transición? : “Son probabilidades que indican un comportamiento futuro de pasar de un estado a otro estado”. Imagine que para la siguiente semana (Semana “ 1 ”), de los que compraban en A, el 80 % se mantiene en A, el 10 % se pasa a B y el otro 10 % se cambia a C. De los que compraban en B, el 10 % se cambia a A, el 70 % se mantiene en B y el otro 20 % se cambia a C; y de los que compraban en C, el 20 % se cambia a A, el 20 % se cambia a B y el 60 % restante se mantiene en C. Estos cambios los podemos representar en el siguiente diagrama y matriz :

5. Propiedades Markovianas

Solución :