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Documento que apresenta exemplos práticos de cálculo de juros simples e compostos, incluindo cálculo de montantes, taxas de juros e períodos. Além disso, o texto aborda o conceito de desconto simples comercial.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de estudo
1 / 29
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Não perca as partes importantes!
Laércio Bisetto
1983
O objetivo deste texto é apresentar as noções fundamentais de Matemática Financeira. São apresentados apenas os instrumentos principais, cujo entendimento e correto manuseio possibilita a solução da maior parte dos problemas cotidianos ligados a essa área. A utilização de fórmulas é restringida ao essencial. Procuramos tratar dos problemas mais comuns, de forma bastante clara, de maneira que se possa compreender o raciocínio que conduz às suas soluções. Por não terem aplicações práticas não são abordados assuntos como o desconto simples racional (ou por dentro), o desconto composto bancário, etc. Também não tratamos das rendas enquanto tal, já que se referem a meras aplicações de juros compostos.
1. JUROS SIMPLES
“Juro é uma compensação em dinheiro pelo empréstimo de um capital financeiro, a uma taxa combinada, por prazo determinado”. 1 O juro é chamado simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial”. 2
Exemplo 1 : calcular os juros de Cr$ 500.000, a 8% ao mês, durante 4 meses.
Capital = Cr$ 50. Taxa de juros = 8% a.m. = 0,08 a.m. Prazo = 4 meses Juros = Cr$ 500.000 x 0,08 x 4 = Cr$ 160.
(^1) De Francisco, Walter. Matemática Financeira. São Paulo, Atlas, 1974, pg. 39 (^2) Idem, ibidem.
Podemos usar esta fórmula para determinar não só o montante mas também o capital aplicado, o número de períodos e a taxa de juros.
Exemplo 3 : calcular o montante de uma aplicação de Cr$ 2.000.000, à taxa de 4% ao mês, ao final de 7 meses.
M = Cr$ 2.000.000 (1 + 0,04. 7) M = Cr$ 2.000.000 ( 1 + 0,28) M = Cr$ 2.000.000 x 1, M = Cr$ 2.560.
Exemplo 4 : Qual o capital que, aplicado a 6,5% ao ano, durante 5 anos, perfaz o montante de Cr$ 6.956.250?
Cr$ 6.956.250 = C (1 + 0,065. 5) Cr$ 6.956.250 = C ( 1 + 0,325) Cr$ 6.956.250 = C. 1, Cr$ 6.956.250 = C 1, C = Cr$ 5.250.
Exemplo 5 : Cr$ 75.000, aplicados a 5% ao mês, deram o montante de Cr$ 97.500.
Por quantos meses o capital foi aplicado? Cr$ 97.500 = Cr$ 75.000 (1 + 0,05. n) Cr$ 97.500 = 1 + 0,05. n Cr$ 75.
1,3 = 1 + 0,05. n 1,3 - 1 = 0,05. n 0,3 = 0,05. n 0,3 = n 0, 6 = n n = 6 meses
Exemplo 6 : A que taxa de juro foi aplicado o capital de Cr$ 150.000 que, após 10 meses, deu em resultado o montante de Cr$ 228.750?
Cr$ 228.750 = Cr$ 150.000 (1 + i. 10) Cr$ 228.750 = 1 + 1. 10 Cr$ 150.
1,525 = 1 + 1. 10 1,525 – 1 = i. 10 0,525 = i. 10 0,525 = i 10
0,0525 = i i = 0,525 ou i = 5,25%
2, DESCONTO SIMPLES “Desconto é o abatimento que se faz sobre um título de crédito quando resgatado antes do seu vencimento” 3. A forma mais utilizada é a do desconto simples comercial (ou por fora), que é calculado sobre o valor nominal do título. d = Nin
onde d = desconto N = valor nominal do título I = taxa (unitária) N = número de períodos
Exemplo 7 : Calcular o desconto simples comercial de uma duplicata de Cr$ 200.000, vencível em 90 dias, à taxa de 7% ao mês.
d = Cr$ 200.000 x 0,07 x 3 d = Cr$ 200.000 x 0, d = Cr$ 42.
(^3) Idem pg. 42
“Juros compostos são os juros que no final de cada período são somados ao capital para produzirem novos juros no período seguinte”.^5
Exemplo 8 : Calcular os juros compostos de Cr$ 500.000, a 8% ao mês, durante 4 meses (mesmos dados do exemplo 1)
Para o cálculo dos juros e dos montantes podemos elaborar um quadro como o apresentado abaixo.
QUADRO 2 n Saldo inicial (Cr$) Juros (Cr$) Juros acumulados (Cr$) Montante (Cr$) 1 500.000 40.000 40.000 540. 2 540.000 43.200 83.200 583. 3 583.200 46.656 129.856 629. 4 629.856 50.388 180.244 680.
Neste caso, os juros mensais são constantes, porque sua base de incidência não é mais o capital inicial (Cr$ 500.000), mas o montante do mês anterior, que é, por definição, o capital inicial mais os juros acumulados até então. O valor dos juros pode ser obtido pela diferença entre o montante e o capital inicial. J = M - C J = Cr$ 680.244 - Cr$ 500.000 = Cr$ 180.
A questão se volta, então, para o cálculo do montante. Partindo do quadro 2 vamos analisar a construção dos montantes mês a mês.
O montante do mês 1 é
540.000 = 500.000 + 40.000 = 500.000 + 500.000 x 0,08 = 50.000 x (1+0,08) = 500.000 x 1,
O montante do mês 2 é
583.200 = 540.000 + 43.200 = 540.000 + 540.000 x 0,08 = 500.000 x (1+0,08) = 540.000 x 1,08.
Mas 540.000 é o montante do mês 1, que concluímos ser igual a expressão 500.000 x 1,08. Substituindo temos: 583.200 = 500.000 x 1,08 x 1,08 = 500.000 x 1,08^2
O montante do mês 3 é
629.856 = 583.200 + 46.656 = 583.200 + 583.200 x 0.08 = 583.200 x (1 + 0,08) = 583.200 x 1,
Porém acabamos de ver que 583.200 é o montante do mês 2, que é igual a expressão 500.000 x 1,08^2.
Substituindo temos 629.856 = 500.000 x 1,08^2 x 1,08 = 500.000 x 1,08^3
Finalmente o montante do mês 4 é
680.244 = 629.856 + 50.588 = 629.856 + 629.856 x 0,08 = 629.856 x (1+0,08) = 629.856 x 1,
Como 629.856 é o montante do mês 3, que também pode ser representado por 500.000 x 1,08^3 , podemos substituí-lo na expressão montante do mês 4 e temos, então:
680.244 = 500.000 x 1,08^3 x 1,08 = 500.000 x 1,08^4
O resumo desses cálculos está no quadro 3.
QUADRO 3 Mês Montante 1 500.000 x 1,08 = 500.000 x 1,08 = 540. 2 500.000 x 1,08^2 = 500.000 x 1.1664 = 583. 3 500.000 x 1,08^3 = 500.000 x 1,259712 = 629. 4 500.000 x 1,08^4 = 500.000 x 13604889 = 680. Concluímos que, para qualquer período n, o montante é obtido pela multiplicação do capital inicial pelo coeficiente (1 + i)n
M = C (1 = i)n
(^5) Idem pg. 53
Exemplo 12 : um capital de Cr$ 140.000,00, aplicado a 11% a.a., deu o montante de Cr$ 322.635,18. Por quanto tempo foi aplicado?
Cr$ 140.000,00 (1,11)n^ = Cr$ 322.635, (1,11)n^ = Cr$ 322.635, Cr$ 140.000, (1,11)n^ = 2,
Na tabela I verificamos que o coeficiente 2,304537 encontra-se na interseção da coluna 11%, que é a taxa de juros dada, com a linha n = 8. Portanto, a resposta é 8 anos.
Se, em vez de tabela, dispuséssemos de uma calculadora com recursos para calcular raízes, poderíamos fazer:
(1,11)n^ = 2,
Portanto: n√ 2,304537 = 1,
então n= 8
Exemplo 13: um capital de Cr$ 20.000, aplicado por 20 meses, deu o montante de Cr$ 47.328. A que taxa foi aplicado?
Cr$ 20.000 (1 + i)^12 = Cr$ 47. (1 + i)^12 = Cr$ 47. Cr$ 20. (1 + i)^12 = 2, Na tabela I, na linha 12, não existe o coeficiente 2,3664. Verificamos, no entanto, que ele estaria entre o coeficiente 2,012196, que corresponde à taxa de 6%, e o coeficiente 2,518170, que corresponde à taxa de 8%. Portanto, a taxa de juros está entre 6% e 8%.
Para encontrar a resposta fazemos uma interpolação. Taxa Coeficiente 6% 2, i 2, 8% 2, diferença entre as taxas: 8% - 6% = 2% diferença entre os coeficientes correspondentes = 2,518170 – 2,012196 = 0, Então, a uma diferença de 2% na taxa de juros corresponde uma diferença de 0,505974 no coeficiente.
A diferença entre o coeficiente 2,012196 e o coeficiente 2,3664 é de 0, e corresponde à diferença entre a taxa de 6% e a taxa i. Pela regra de três simples temos:
2% .............................0, x ..............................0, x= 2% x 0,354204 = 2% x 0,7000438 = 1,4% 0, Então a taxa de juro i = 6% + 1,4% = 7,4% a.m.
Exemplo 14: qual o capital que, aplicado à taxa de juros compostos de 7% ao mês, durante 3 meses, dá o montante de Cr$ 200.000?
Cr$ 200.000 = C (1,07)^3 Cr$ 200.000 = C 1, Cr$ 200.000 = C 1, C = Cr$ 163. Este exemplo nos remete ao desconto composto.
Juros Compostos Desconto Composto Real
M = C (1 + 1)n^ A (1 + 1)n^ = N
C = _________M_________ ________N_________ (1 + 1)n^ (1 + 1)n
(1 + 1)n
(1 + 1)n
Voltemos ao exemplo 14. Sua redação, numa forma alternativa, poderia ser: calcular o valor atual de uma letra de câmbio de Cr$ 200.000, vencível em 3 meses, descontada pelo método do desconto composto real, à taxa de 1% ao mês. E a solução seria a mesma:
A (1 + i)n^ = N A (1,07)^3 = Cr$ 200. A. 1,225043 = Cr$ 200.
A = Cr$ 200. 1, A = Cr$ 200.000 x ____ 1 ______ 1, A = Cr$ 200.000 x 0, A = Cr$ 163. Agora vejamos o seguinte:
______ 1 _______ (1 + 1)n Utilizando ainda os números do exemplo 14: I = 7% ou 0, n = 3 M = N = Cr$ 200. C = A = Cr$ 163.
M = N = Cr$ 200.000 = Cr$ 163.260 x (1 + 0,07)^3 C = A = Cr$ 163.260 = Cr$ 200.000 x ______ 1 ______ ( 1 + 0,07)^3 O coeficiente (1 + i)n^ depende dos valores de i e de n e consta da tabela Ique, como já vimos, nos auxilia na determinação do montante ou do valor nominal.
O coeficiente ____ 1 _______ é o inverso do anterior e serve para calcular (1 + i)n o valor atual do capital.
Para se construir uma tabela desses coeficientes basta calcular o inverso dos coeficientes da tabela I. Os resultados assim obtidos estão na tabela II.
Exemplos para utilização na tabela II:
Exemplo 15: calcular o valor atual de um título de Cr$ 680.244, vencível em 4 meses, descontando-o pelo método do desconto composto real, à taxa de 8% ao mês.
I = 8% Coeficiente = 0, N = 4
A = Cr$ 680.244 x 0,735030 = Cr$ 500.
diagrama referente ao exemplo 10 M
diagrama referente ao exemplo 17 No primeiro problema, a aplicação de Cr$ 28.000, feita no momento 0 vai render por 6 períodos. Portanto, o montante (M), no momento 6, é dado por
M = Cr$ 28.000 x 1,340095 = Cr$ 37.523, Onde: 1,340095 é o coeficiente encontrado na tabela I (i = 5%; n = 6).
No segundo problema são 6 aplicações de mesmo valor, feitas em 6 meses subsequentes, do mês 0 ao mês 5. Queremos saber o montante no mês 6, um mês após encerradas as aplicações. Podemos calcular o montante de cada uma das aplicações isoladamente, utilizando a tabela I, e em seguida somar esses montantes.
Capital x Coeficiente = Montante Montante da 6a. aplicação Cr$ 28.000 x 1,050000 = Cr$ 29. Montante da 5a^ aplicação Cr$ 28.000 x 1,102500 = Cr$ 30. Montante da 4a^ aplicação Cr$ 28.000 x 1,157625 = Cr$ 32. Montante da 3ª^ aplicação Cr$ 28.000 x 1,215506 = Cr$ 34. Montante da 2ª^ aplicação Cr$ 28.000 x 1,276281 = Cr$ 35. Montante da 1ª^ aplicação Cr$ 28.000 x 1,340095 = Cr$ 37. TOTAL Cr$ 199.
Como o valor de cada aplicação é constante, logicamente teria sido mais fácil multiplicar o seu valor pela soma dos coeficientes, e teríamos o mesmo montante.
M = Cr$ 28.000 x 7,122007 = Cr$ 199. Problemas desse tipo podem ser pensados em relação ao passado, assim:
Exemplo 18: qual o montante, hoje, de uma série de n aplicações mensais uniformes, de Cr$ 10.000 cada, à taxa de 5% ao mês?
Vamos assumir a hipótese de que a última aplicação tenha ocorrido há um Mês atrás. Assim temos:
a) se n=1, M = Cr$ 10.000 x 1,05 = Cr$ 10. b) se n=2, M = Cr$ 10.000 x (1,05 + 1,1025) = Cr$ 10.000 x 2,1525 = Cr$ 21. c) se n=3, M = Cr$ 10.000 x (1,05 + 1,1025 + 1,157625) = Cr$ 10.000 x 3,310125 = Cr$ 33. d) se n=4, M = Cr$ 10.000 x (1,05 + 1,1025 + 1,157625 + 1,215506 = Cr$ 10. x 4,525631=Cr$45. e) se n=5, M = Cr$ 10.000 x (1,05 + 1,1025 + 1,157625+1,215506+1,276281=Cr$10.000x5,801912 =Cr$ 58. f) se n=6, M = Cr$ 10.000 x (1,05+1,1025+1,157625+1,215506+1,276211+1,340095) = Cr$ 10.000 x 7,142007 = Cr$ 71.420 e assim por diante.
A construção de uma tabela que facilite a solução de problemas desse tipo é muito simples; basta acumular os coeficientes da tabela I. Por esse processo foi construída a tabela II. Exemplo para utilização da tabela III: Exemplo 19: qual o montante produzido por uma série de 15 aplicações mensais, de Cr$ 35.000 cada, à taxa de 4% a.m.? Considerar o montante de um mês após a última aplicação.
M = Cr$ 35.000 x 20,824531 = Cr$ 728.
Evidentemente, o mesmo resultado seria obtido pela multiplicação do valor unitário das duplicatas pela soma dos coeficientes. Cr$ 80.000 x 3,465106 = Cr$ 277.
À semelhança da tabela III, cujos coeficientes correspondem aos valores acumulados dos coeficientes da tabela I e servem para calcular montantes de séries uniformes, construímos a tabela IV a partir dos coeficientes da tabela II. Essa Tabela IV destina-se ao cálculo do valor atual de séries uniformes.
Exemplos de aplicação da tabela IV:
Exemplo 21: qual o valor atual de 18 notas promissórias de Cr$ 120.000 cada, vencíveis mensalmente, sendo o vencimento da primeira daqui a um mês, considerando a taxa de juro de 8% ao mês?
N = 18 Coeficiente = 9, I = 8% Valor atual = Cr$ 120.000 x 9,371887 = Cr$ 1.124.
Exemplo 22: Qual deve ser o preço a vista de um eletrodoméstico anunciado assim: 24 prestações e Cr$ 38.955, sem entrada? (considere que a taxa de juros cobrada pela loja é de 10% a. m.)
N = 24 Coeficiente = 8, I = 10% Preço a vista = Cr$ 38.955 x 8,9884744 = Cr$ 350.
7.1. Taxas Proporcionais “Quando entre duas taxas existe a mesma relação que a dos períodos de tempo a que se referem, elas são proporcionais”. 8
Exemplo 23: a taxa de 24% no ano é proporcional à taxa de 2% ao mês.
24%.....................................12 meses 2%..................................... 1 mês
Exemplo 24: são proporcionais as seguintes taxas:
18,0% ao ano e 1,5% ao mês 18,0% ao ano e 4,5% ao trimestre 7,2% ao ano e 0,6% ao mês 3,9% ao trimestre e 1,3% ao mês 8,0% ao semestre e 4,0% ao trimestre 9,0% ao semestre e 6,0% ao quadrimestre 5,0% ao mês e 10,0% ao bimestre 2,5% ao bimestre e 15,0% ao ano 6,0% ao mês e 0,2% ao dia 0,3% ao dia e 108,0% ao ano 7.2. Taxas Equivalentes
“Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza um mesmo montante, num mesmo tempo”. 9
Exemplo 25: a taxa de 1,80876% ao mês é equivalente à taxa de 24% ao ano. De fato, se aplicarmos Cr$ 100.000 por 3 anos (36 meses), o montante será de Cr$ 190.662 para ambas as taxas. Cr$ 100.000 x (1,24)^3 = Cr$ 100.000 x 1,906624 = Cr$ 190. Cr$ 100.000 x (1,0180876) 36 = Cr$ 100.000 x 1,906624 = 190.
(^8) De Francisco, idem pg. 57 (^9) De Francisco, idem pg. 57
