Matemática Financeira: Conceitos Gerais e Aplicações, Notas de estudo de Matemática Financeira

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Profa. Dra.Luciana C.Siqueira Ambrozini

Matemática

Financeira

Faculdade de Economia, Administração e

Contabilidade de Ribeirão Preto - FEA-RP

Conceitos gerais

Matemática Financeira Tem o objetivo de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de caixa de entrada e saída de dinheiro verificados em diferentes momentos. Estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. t Entradas de Caixa (+) Saídas de Caixa ( - ) Matemática Financeira Postergar uma entrada de caixa gera um sacrifício. O dinheiro é preferível hoje ou amanhã? t Entradas de Caixa (+) Saídas de Caixa ( - ) t Entradas de Caixa (+) Saídas de Caixa ( - ) Juros = recompensa pelo sacrifício

Matemática Financeira Exemplo: Tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. Regras básicas Uma caderneta de poupança oferece 2% de juros ao mês e os rendimentos creditados mensalmente. Prazo da taxa e período de capitalização são coincidentes Uma caderneta de poupança oferece 12% de juros ao ano e os rendimentos são creditados mensalmente. Prazo da taxa e período de capitalização NÃO são coincidentes Matemática Financeira Exemplo: Regras básicas Uma caderneta de poupança oferece 12% de juros ao ano e os rendimentos são creditados mensalmente. Prazo da taxa e período de capitalização NÃO são coincidentes Conversão juros simples = média aritmética 12% a.a. / 12 meses = 1% a.m.

Matemática Financeira Demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Critérios (regimes) de capitalização de juros

• Comporta-se como a progressão aritmética.
• Os juros crescem de forma linear ao longo do tempo. Regime de capitalização simples
• Os juros incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo) Matemática Financeira Exemplo: (^) Admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples de 10% a.a. Ano Saldo no início de cada ano^ Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao final de cada ano Crescimento anual do saldo devedor Início ano 1 - - 1.000 - Fim ano 1 1.000 0,10 x 1.000 = 100 1.100 100 Fim ano 2 1.100 0,10 x 1.000 = 100 1.200 100 Fim ano 3 1.200 0,10 x 1.000 = 100 1.300 100 Fim ano 4 1.300 0,10 x 1.000 = 100 1.400 100 Fim ano 5 1.400 0,10 x 1.000 = 100 1.500 100 Juros variam linearmente; custo da dívida = 5 anos x 10%a.a. = 50% Conversão da taxa em termos mensais = 10% a.a. / 12 meses = 0,8333%

Matemática Financeira

• Incorpora ao capital os juros referentes a cada período

Regime de capitalização composta

• Juros sobre os juros acumulados até o momento anterior
• Tem o comportamento equivalente à uma progressão geométrica
• Os juros incidem sobre o saldo apurado no início do período correspondente (não unicamente sobre o capital inicial). http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/onde-investir-o-dinheiro-das-contas-inativas-do-fgts/ Matemática Financeira Exemplo: (^) Admita um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros compostos de 10% a.a. Ano Saldo no início de cada ano Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao final de cada ano Início ano 1 - - 1.000, Fim ano 1 1.000 0,10 x 1.000 = 100,00 1.100, Fim ano 2 1.100 0,10 x 1.100 = 110,00 1.210, Fim ano 3 1.210 0,10 x 1.210 = 121,00 1.331, Fim ano 4 1.331 0,10 x 1.331 = 133,10 1.464, Fim ano 5 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 1.610, Os juros incidem sobre o total existente no início de cada ano (ou cada período)

Matemática Financeira Comparação entre os dois sistemas de capitalização Período Capitalização Simples Capitalização Composta^ Diferença Composta- Simples Juros anuais ($) Saldo devedor Juros anuais ($) Saldo devedor Juros anuais ($) Saldo devedor Início ano 1 - 1.000 1.000, Fim ano 1 100 1.100 100,00 1.100,00 (^) diferençaSem diferença^ Sem Fim ano 2 100 1.200 110,00 1.210,00 10,00 10, Fim ano 3 100 1.300 121,00 1.331,00 21,00 31, Fim ano 4 100 1.400 133,10 1.464,10 33,10 64, Fim ano 5 100 1.500 146,41 1.610,51 46,41 110, No primeiro período é indiferente o uso de capitalização simples ou composta. Matemática Financeira Cálculo do valor dos juros Fórmulas de juros simples J = C x i x n Variações da fórmula

Matemática Financeira Exercícios:

3. Uma aplicação de R$ 250.000, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000. Calcular o prazo da aplicação.
4. Qual o capital que produz R$ 18.000 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: a) 60 dias b) 80 dias c) 3 meses e 20 dias Matemática Financeira Montante: capital + valor dos juros acumulados Fórmulas de juros simples M = C + J J = C x i x n M = C + C x i x n M = C (1 + i x n) (^) Ou

Matemática Financeira Exemplo: Uma pessoa aplica R$ 18.000 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. M = C (1 + i x n) Taxa = 1,5% (0,015) Capital = R$ 18.000 Prazo = 8 meses M = 18.000 (1 + 0,015 x 8) M = 18.000 x 1,12 = R$ 20. Matemática Financeira Exercícios: Uma dívida de R$ 900.000 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria se antecipasse a liquidação. M = R$ 900.000; n= 4 meses; i = 7% (0,07); C= ??? C = (900.000)/ (1 + 0,07 x 4) = 900.000/ 1,28 = 703.

Matemática Financeira Equivalência financeira Na questão da equivalência financeira em juros simples, é importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados. Isto se dá uma vez que, dois capitais equivalentes, ao fracionar seus prazos, deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples. Matemática Financeira Exemplo: Admita R$ 100, à taxa de 20%, ao final de 2 anos. Este processo não pode ser fracionado em juros simples! Por exemplo, apurar o montante ao final do 1º ano e, a partir daí, chegar ao montante do 2º ano. Juros compostos = juros sobre juros

Matemática Financeira t R$ 100 M= 100 x (1 + 0,20 x 1) R$ 120 R$ 144 M= 120 x (1 + 0,20 x 1) R$ 100 R$ 140 M= 100 x (1 + 0,20 x 2 ) Matemática Financeira Assim, a equivalência de capitais em juros simples é dependente da data de comparação escolhida. Admita que A deve a B os seguintes pagamentos: R$ 80.000 de hoje a 8 meses Exemplo: R$ 50.000 de hoje a 4 meses Nova proposta de pagamento R$ 10.000 hoje R$ 30.000 de hoje a 6 meses Restante no final do ano Taxa = 2% a.m.

Matemática Financeira Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000 e R$ 56. cada. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. Exercício: Considerando uma taxa de 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento único. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5º mês. Matemática Financeira Exercício: M5 = 25.000 x (1 +0,03 x 3) + 56.000 x (1+0,03 x2) 1 t R$ 25. 2 3 4 5 R$ 56. M5 = 27.250 + 59.360 = 86.