Baixe Matemática Básica - Estudo Dirigido: Exercícios e Conceitos Fundamentais e outras Esquemas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
MATEMÁTICA BÁSICA
ESTUDO DIRIGIDO
04/07/2019 19:50:00 Prof. Dalton Vinicius Kozak
1.4. Números Irracionais (I=Q
MATEMÁTICA BÁSICA
ESTUDO DIRIGIDO
- Exponencial na Base Neperiana, e
- I. Conjuntos I- Sumário
- Por quê Estudar Conjuntos? I-
- Resumo da Simbologia I-
- Conceitos Primitivos............................................................................................................................................... I-
- Outras Representações para Conjuntos I-
- Subconjuntos I-
- Alguns Conjuntos Especiais I-
- Observações I-
- Operações com Conjuntos I-
- 8.1. União de Conjuntos I-
- 8.2. Interseção de Conjuntos................................................................................................................................... I-
- 8.3. Diferença de Conjuntos I-
- 8.4. Diferença Simétrica de Conjuntos I-
- 8.5. Complemento de um Conjunto I-
- Algumas Propriedades I-
- II. Números Reais II-
- Conjuntos Numéricos II-
- 1.1. Números Naturais (N)..................................................................................................................................... II-
- 1.2. Números Inteiros (Z) II-
- 1.3. Números Racionais (Q) II- - , U=R).................................................................................................................. II- c
- 1.5. Números Reais (R) II-
- 1.6. Números Complexos (C) II-
- 1.7. Relação Gráfica entre os Conjuntos................................................................................................................ II-
- Operações com Números Reais II-
- 2.1. Decomposição em Fatores Primos (DFP)....................................................................................................... II-
- 2.2. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) II-
- 2.3. Máximo Divisor Comum (MDC) II-
- 2.4. Operações Básicas com Reais II-
- 2.5. Prioridade s entre as Operações II-
- 2.6. Propriedades das Operações Básicas II-
- 2.7. Operação com Frações.................................................................................................................................. II-
- 2.7.1. Soma e Subtração II-
- 2.7.2. Multiplicação e Divisão II-
- 2.8. Potenciação com Expoente Inteiro II-
- 2.8.1. Definição II-
- 2.8.2. Propriedades II-
- 2.9. Radiciação II-
- 2.9.1. Definição II-
- 2.9.2. Propriedades II-
- 2.10. Potenciação com Expoente Racional II-
- 2.10.1. Definição II-
- 2.10.2. Propriedades II-
- 2.11. Racionalização II-
- 2.12. Racionalização de Denominadores II-
- 2.13. Módulo........................................................................................................................................................ II-
- III. Fatoração III-
- Introdução III-
- Fatoração por Fator Comum III-
- Fatoração por Agrupamento III-
- Fatoração utilizando Produtos Notáveis III-
- IV. Função Logarítmica ou Logaritmo IV-
- Definição IV-
- Convenção IV- 04/07/2019 19:50:00 Prof. Dalton Vinicius Kozak
- Logaritmação IV-
- Cologaritmo IV-
- Antilogaritmo..................................................................................................................................................... IV-
- Propriedades de Logaritmos IV-
- Mudança de Base IV-
- V. Função Exponencial................................................................................................................................................V-
- Definição de Exponencial ....................................................................................................................................V-
- A Função .............................................................................................................................................................V-
- Propriedades ........................................................................................................................................................V-
- .....................................................................................................................V- x
- VI. Funções Trigonométricas VI-
- Trigonometria VI-
- Medida de Ângulo VI-
- Seno, Cosseno e Tangente VI-
- Arcos Notáveis VI-
- Funções Recíprocas VI-
- Funções Inversas................................................................................................................................................ VI-
- Identidades Trigonométricas VI-
- 7.1. Fundamentais VI-
- 7.2. Soma e Subtração VI-
- 7.3. Ângulos Duplicados VI-
- 7.4. Ângulos pela Metade VI-
- 7.5. Lei dos Senos VI-
- 7.6. Lei dos Cossenos VI-
- Equações Trigonométricas................................................................................................................................. VI-
- 8.1. Relação entre Funções Trigonométricas de Ângulos Positivos e Negativos VI-
- 8.2. Função de Ângulos em Todos os Quadrantes em Relação ao Primeiro Quadrante.................................... VI-
- 8.3. Relação entre Funções no Primeiro Quadrante........................................................................................... VI-
- 8.4. Resolução.................................................................................................................................................... VI-
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5. Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em
B, denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A
também estão em B. Caso contrário, A não está contido,
representado por A ⊄ B. Diz-se que A é parte de B.
Exemplo 4
Se A = {a,b,c}, B = (a,b,c,d,e) e C = (c,d,e,f,g), então A ⊂ B e
A ⊄ C.
Exercício 1
Identifique, dentre os seguintes conjuntos, quem é ou não
subconjunto de quem. Use os sinais ⊂ e ⊄.
(a) A = { x | x satisfaz x
2
(b) B = {2, 4, 6}
(c) C = {2, 4, 6, 8, ...}
(d) D = {6}
Solução
A = {-6, -2}
Assim
D ⊂ B ⊂ C; A ⊄ B e A ⊄ C e A ⊄ D
6. Alguns Conjuntos Especiais
- Conjunto vazio. É um conjunto que não possui
elementos. É representado por { } ou por ∅. O conjunto
vazio está contido em todos os conjuntos. Ex.: A = { x | x
é ímpar e par}.
- Conjunto Universo. É um conjunto que contém todos os
elementos do contexto no qual estamos trabalhando e
também contém todos os conjuntos desse contexto. O
conjunto universo é representado pela letra U.
Ex.: A = { x | x é um ser vivo} é o conjunto de todos os
seres vivos.
- Conjunto Unitário. É um conjunto que contém apenas
um elemento. Ex.: A = {1}; A = { x | x é um número
primo múltiplo de 7}.
- Conjunto das Partes. É o conjunto formado por todos os
subconjuntos possíveis de um conjunto A, sendo
denominado de P(A).
Ex.: se A = {1,2,3}, então
P(A) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
Notar que {1,2} ⊂ A, mas {1,2} ∈ P(A).
Exemplo 5
Em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o
conjunto dos números inteiros, Z , é o Conjunto Universo.
Exercício 2
Quando falamos sobre biologia, qual seria o Conjunto
Universo?
Solução
O conjunto de todos os seres vivos.
A = { x | x é um ser vivo}.
7. Observações
- Todo conjunto é subconjunto dele mesmo (A ⊂ A).
- O conjunto vazio, ∅, é subconjunto de qualquer conjunto
(∅ ⊂ A).
- A partir dos n elementos de um conjunto A é possível
formar 2
n
subconjuntos. Esse número é representado por
#A (= 2
n
- A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B.
- A é subconjunto próprio de B se, e somente se, A ⊂ B e
A ≠ B.
8. Operações com Conjuntos
8.1. União de Conjuntos
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto
B. O símbolo de união é ∪. Assim,
A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B} (1)
Exemplo 6
Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A ∪ B={a,e,i,o,3,4}.
8.2. Interseção de Conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos
os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B. O símbolo de interseção é ∩. Assim,
A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B} (2)
Exemplo 7
- Se A={a, b, c, d} e B={c, d , e, f}, então A ∩ B = {c, d}.
- Se A={a, e, i, o, u} e B={1,2,3,4}, então A ∩ B = ∅.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são
disjuntos.
8.3. Diferença de Conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B } (3)
04/07/2019 19:50:00 I- 5
Exemplo 8
Se A={1, 2, 3, 4, 5} e B={4, 5, 6, 7}, então A - B={1, 2, 3}.
8.4. Diferença Simétrica de Conjuntos
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o
conjunto de todos os elementos destes conjuntos que não
pertencem à sua intersecção, sendo denotada pelo
símbolo ∆. Assim:
A ∆ B = { x | x ∈ A ∪ B - A ∩ B } (4)
ou
A ∆ B = { x | x ∈ (A - B) ∪ (B - A)} (5)
Exemplo 9
Se A={1, 2, 4, 8} e B={1, 3, 6, 8, 10}, então
A ∆ B={2, 3, 4, 6, 10}.
8.5. Complemento de um Conjunto
O complemento, ou conjunto complementar, do conjunto
B contido no conjunto A, denotado por CAB ou
B
C A , é a
diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto
de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e
não pertencem ao conjunto B. Assim,
CAB=
B
CA ={ x | x ∈ A e x ∉ B e B ⊂ A}
(6)
Exemplo 10
Se A={1, 2, 3, 4, 5} e B={1, 2 , 3}, então CAB={4, 5}.
Quando não há dúvida sobre o universo U em que
estamos trabalhando, simplesmente utiliza-se a letra c
posta como expoente, ou um apóstrofo, no conjunto para
indicar o seu complemento.
Exemplo 11
∅ c = U e U c = ∅; ∅ ’ = U e U ’ = ∅
9. Algumas Propriedades - A ∪ A = A • A - ∅ = A - A ∪ ∅ = A • A - B ≠ B - A, em geral - A ∪ B = B ∪ A • U - A = A
c
(= A’)
c
c
= A (= (A’)’)
- A ∩ A = A • ∅’ = U
- A ∩ ∅ = ∅ • U’ = ∅
- A ∩ B = B ∩ A • (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
- A ∩ U = A • (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
- A - A = ∅
Exercício 3
Sendo A = {3, 5, 7, 9, 11, 15}, determine os elementos dos
conjuntos abaixo
- B = { x ∈ A | x é impar}
- C = { x ∈ A | x é múltiplo de 5}
- D = { x ∈ A | x é divisor de 60}
- E = { x ∈ A | x é divisível por 2}
Solução
B = A
C = {5, 15}
D = {3, 5, 15}
E = ∅
Exercício 4
Se R = {w, x, y}, S = {u, v, w} e T = {u, v, w, x}, e o conjunto
universo é U = {u, v, w, x, y, z}, encontre:
a) R
c ∩ S
c ∩ T
c e) (S ∪ T) - T
c
b) (R - S) ∩ T f)^ (R - T) - (S - R)
c) (R c
- T c ) ∪ S g) (S - R) - [(T - R) ∪ (T - S)]
d) (R c ∪ S c ) c h) (T - R) ∪ S
Solução
a) R c ∩ S c ∩ T c = {u,v,z}∩{x,y,z}∩{y,z} = {z}
b) (R - S) ∩ T = {x,y}∩{u,v,w,x}={x}
c) (R
c
c ) ∪ S = ({u,v,z}-{y,z})∪{u,v,w} =
{u,v}∪{u,v,w} = {u,v,w} = S
d) (R
c ∪ S
c )
c = ({u,v,z}∪{x,y,z})
c = {u,v,x,y,z}
c = {w}
e) (S ∪ T) - T c = ({u,v,w}∪{u,v,w,x})-{y,z} =
{u,v,w,x}-{y,z} = {u,v,w,x} = T
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Exercício 10
Assinalar (sombrear) no respectivo diagrama cada um dos
seguintes conjuntos.
a) A C -B (^) b) AC-A∪B
c) B C ∪A d) (A∪B) C
e) (A∩B)
C f) B
C ∩A
Exercício 11
Descrever através de uma propriedade característica dos
elementos (x|x...) cada um dos seguintes conjuntos.
- A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6}
- B = {0, -10, -20, -30, -40, ... }
- C = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ... }
- D = {Lua}
Solução
A = {x | x é divisor de 6}
B = {x | x é múltiplo inteiro e negativo de l0}
C = {x | x é quadrado de um inteiro}
D = {x | x é satélite natural da Terra}
Exercício 12
Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, pede-se:
a) Escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes
sentenças:
- 3 é elemento de A;
- 1 não está em B;
- B é parte de A;
- B é igual a A;
- 4 pertence a B.
b) Classificar as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.
Solução
1. 3 ∈ A
(V)
2. 1 ∉ S
(V)
3. B ⊂ A
(V)
4. B ≡ A
(F)
5. 4 ∈ B
(V)
Exercício 13
Sejam os conjuntos A={a, b, c, d}, B={c, d, e, f, g} e
C = {b, d, e, g}.
Determinar:
a) A-B b)^ B-A^ c)^ C-B
d) (A∪C)-B e)^ A-(B∩C)^ f)^ (A∪B)-
(A∩C)
Solução
a) {a, b} b) {e, f, g} c) {b}
d) {a, b} e) {a, b, c} f) {a, c, e, f, g}
U
B
A
U
B
A
U
B
A
U
B
A
U
B
A
U
B
A
04/07/2019 19:50:00 II- 8
II. NÚMEROS REAIS
1. Conjuntos Numéricos
1.1. Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado por
N = {0,1,2,3,4,5...}.
Convém destacar o subconjunto dos números naturais
positivos,
N * = N – {0} = {1,2,3,4,5,...}.
A soma e o produto de dois números naturais sempre
terá como resultado um número natural. Já a subtração
entre dois números naturais nem sempre é um número
natural, como, por exemplo, 2-5, que não pertence à N
(mas pertence à Z ). Tem-se então a necessidade de se
definir o conjunto dos números inteiros.
1.2. Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.
No conjunto dos inteiros se destacam os seguintes
subconjuntos,
Z
= Z – {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...},
Z
= {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos),
Z
= {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos),
Z
*+
= {1,2,3,4...} (inteiros positivos),
Z
*-
= {-1,-2,-3,-4...} (inteiros negativos).
A adição, a multiplicação e a subtração entre números
inteiros resulta em um número inteiro. Já a divisão nem
sempre resulta em um número inteiro, como, por
exemplo, 7/2 , que não pertence aos inteiros. Tem-se
então a necessidade de se definir o conjunto dos números
racionais.
1.3. Números Racionais (Q)
Este conjunto pode ser definido como
Q = { x | ( x = a / b ) e ( a ∈ Z) e ( b ∈ Z*)}. (7)
O conjunto dos números racionais Q é a união do
conjunto dos números naturais ( N ), dos inteiros ( Z ) e das
frações positivas e negativas como, por exemplo, -5/4,
1/3 ou 9/7.
Observação. Um número racional pode aparecer em
forma de dízima periódica, isto é, um numeral decimal,
com a parte decimal formada por infinitos algarismos que
se repetem periodicamente como, por exemplo, 4,
(período 5), 10,878787 (período 87) e 9,8545454...
(período 54, parte não periódica 8)
1.4. Números Irracionais (I=Q
c
, U=R)
São todos os números decimais não exatos e não
periódicos, bem como todas as raízes não exatas, e que
não podem ser representados pela razão de outros dois
números naturais.
Exemplos : √2 = 1,414213..., √3 = 1,732050..., dízimas
não periódicas.
1.5. Números Reais (R)
O conjunto dos números reais consiste na reunião de
todos o conjuntos numéricos vistos até agora, ou seja,
R = { x | x ∈ ( Q ∪ I )}, (8)
onde N ⊂ Z ⊂ Q
1.6. Números Complexos (C)
O conjunto dos números complexos é definido em um
plano, dito plano complexo, onde um dos eixos é a reta
real (conjunto R ), e o outro se refere às raízes de número
negativos, ou eixo imaginário ( I ).
Breve Histórico dos Números Complexos
O conceito de número complexo teve um desenvolvimento
gradual. Começaram a ser utilizados formalmente no século
XVI em fórmulas de resolução de equações de terceiro e
quarto graus. No início, os números complexos não eram
vistos como números, mas sim como um artifício algébrico útil
para se resolver equações. Descartes, no século XVII, os
chamou de números imaginários. Abraham de Moivre e Euler,
no século XVIII começaram a estabelecer uma estrutura
algébrica para os números complexos. Em particular, Euler
denotou a raiz quadrada de -1 por i. Ainda no século XVIII os
números complexos passaram a ser interpretados como pontos
do plano (plano de Argand-Gauss), o que permitiu a escrita de
um número complexo na forma polar. Com isso, conseguiu-se
calcular potências e raízes de modo eficiente e claro.
1.7. Relação Gráfica entre os Conjuntos
Tem-se que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I ⊂ R ⊂ C.
04/07/2019 19:50:00 II- 10
2.6. Propriedades das Operações Básicas
Se a e b ∈ R , então ( a + b ) ∈ R e ( a - b ) ∈ R.
Se a e b ∈ R , então ( a ⋅ b ) ∈ R e (a/ b ) ∈ R.
a + b = b + a.
a ⋅ b = b ⋅ a.
a +( b + c ) = ( a + b )+ c.
a ⋅( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b )⋅ c.
a ⋅( b + c ) = ( a ⋅ b )+( a ⋅ c ).
Na adição: a +0 = a.
Na multiplicação: a ⋅1 = a.
2.7. Operação com Frações
2.7.1. Soma e Subtração
Procedimento:
bd
da bc
bd
c d
bd a b
bd
d
c
b
a ±
Exemplo :
Para três ou mais frações o procedimento é idêntico.
bdf
e
f
bdf
c
d
bdf
a
b
bdf
f
e
d
c
b
a
bdf
( df ) a ±( bf ) c ±( bd ) e
Exemplo :
Pode-se usar também como denominador o mmc dos
denominadores das frações, pois em muitas vezes o
denominador fica menor.
mmc ( b , d , f )
e
f
mmc
c
d
mmc
a
b
mmc
f
e
d
c
b
a
^ ±
^ ±
Exemplo :
^ −
^ +
2.7.2. Multiplicação e Divisão
Procedimento:
bd
ac
d
c
b
a
Exemplo :
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
Exemplo :
Exercício 16
Calcule o valor, em forma fracionária, das expressões abaixo.
a) 5
1
9
4
2
1
5
7
3
4 −
+ =^
b) (^)
− ⋅
+
40
85 16
110
430 11
40
c)
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2.8. Potenciação com Expoente Inteiro
2.8.1. Definição
Seja a um número real e n um número natural
(0, 1, 2, ...). Define-se a potência da base a no expoente
inteiro n como sendo o número a
n
ou a
-n
tal que:
n
= a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a , n ≥ 2;
1
= a ;
0
= 1, a ≠ 0;
n
n
a
a
−
, a ≠ 0. Exemplo:
2
2
−
2.8.2. Propriedades
Sejam a e b números reais, m e n números inteiros
(.., -2, -1, 0, 1 ,2,..). As seguintes propriedades valem
para potência inteira de números reais:
m
⋅ a
n
= a
m+n
; Exemplo:
3 2 3 2 5 2 ⋅ 2 = 2 = 2
mn
n
m
a
a
a (^) − = (^) , a ≠ 0; Exemplo:^422 2
4
2 2 2
−
n
⋅ b
n
= ( a ⋅ b )
n
; Exemplo:
4 4 4 2 ⋅ 3 =( 2 ⋅ 3 ) ;
n
n
n
b
a
b
a
= , b ≠ 0; Exemplo:
3
3
3
m
n
= a
m ⋅ n
; Exemplo:
4 2 42 8 ( 2 ) = 2 = 2
⋅
Obs. : se o expoente for negativo, deve-se tomar cuidado
de se verificar se a base é diferente de zero.
2.9. Radiciação
2.9.1. Definição
Chama-se raiz n -ésima de um número real a o número
real x cuja n -ésima potência é igual a a , ou seja:
x a x a
n n = ⇔ = ( n ∈ N *, a ∈ R )
O símbolo
n a chama-se radical de índice n , e a é
denominado radicando. O índice n é um inteiro positivo
(Natural não nulo, N *), e a é um número Real ( R ).
A operação de determinação da n -ésima raiz, quando ela
existe, denomina-se radiciação.
Ao se realizar a radiciação de um número, há três
tipos de resultado possíveis:
a) não existir a raiz n -ésima;
b) existir uma única raiz;
c) existir duas raízes.
Cada um desses tipos depende do sinal do radicando
(+ ou -) e do índice do radical (par ou ímpar).
Combinando essas possibilidade, são quatro os casos que
se apresentam.
3 Mas no conjunto dos números complexos sim, mas isso não interessa
agora.
Caso 1. Radicando positivo e índice par
Nesse caso, há duas raízes simétricas, isto é, iguais em
valor absoluto, porém com sinais contrários.
Exemplos :
2 = =± , pois 3 2
2
4 = ± , pois 2 4
4
2 = =± , pois
2
2
Por convenção, para n = 2 (raiz quadrada) o índice é
omitido.
Caso 2. Radicando positivo e índice ímpar
Nesse caso, há apenas uma raiz positiva.
Exemplos :
3 = + ; 32 2
5 = + ; 1 1
= + ;
2
3 =+
Caso 3. Radicando negativo e índice par
Não existe raiz real para radicandos negativos, pois não
há número real que elevado a um expoente par resulte em
um valor positivo.
Exemplos :
4 − (^16) e
6 − (^5) não têm significado
no conjunto de números reais
3
Caso 4. Radicando negativo e índice ímpar
Nesse caso, a raiz é única e negativa.
Exemplos :
3 − =− ; 32 2
5 − =− ;
2
3 − =−
2.9.2. Propriedades
Sejam a e b números reais positivos, e n um número
natural não nulo ( N *:={1, 2, 3, ..}). As seguintes
propriedades valem para a radiciação.
n n n a b = ab ; Exemplo:
3 3 3 3 2 4 = 2 ⋅ 4 = (^8) ;
n (^) n n
a b = a b ; Exemplo:
(^3 3 ) 4 ⋅ 6 = 4 6 ;
n n
n
b
a
b
a
= , b ≠ 0; Exemplo:
3 3
3
n (^) m n^ m ( a ) = a , m ∈ Z ; Exemplo:
(^3 53 ) ( 2 ) = 2 ;
n m nm
a = a , m ∈ N *;
Exemplo:
2 3 23 6
⋅
pn pm n m a = a , m ∈ Z , p ∈ N *;
Exemplo:
(^3 4 2 3246 ) 5 = 5 = 5
⋅ (^) ⋅
04/07/2019 19:50:00 II- 13
c)
( ) 1 3 1
( 5 ) 4 1 / 5 2
2 2 0
− − + −
−
2
2 2 0
1 10 10
9 1 10
9
10
10 = + = + =
d)
2 4 2 4
(^12 )
5 2 2 3
5 2 3 2
⋅ − ⋅
⋅ − ⋅
2 4 2 4 4
12 2
6
2 4 2 4
(^12 )
4
4
4
2
2
1
Exercício 18
Simplifique as expressões abaixo.
a) (^5 )
3 4 2 5 8 ÷ ⋅ ÷ ⋅ ÷ −
÷ ⋅ ÷ ⋅ ÷ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − =
− − − 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
3 4 2 5 8 3 1 4 2 5 8
5 5 5 5 0
3 1 42 58 1 − = − =
−+ − +−
b)
2 2
c)
4
65 67
4
65 4
2 65 4
65 65 2 4
65 67
4 Dica: 0,222... = 2/9.
4 4 651 4 64 16
65
−
d) 99 20 101
98 50 34
2 32 2
2 4 8
99 100 101
98 100 102
99 520 101
98 250 334
98 2 3
98 2 4
Exercício 19
Resolva (sem calculadora) ou simplifique.
a) (^)
2 b)^ 2 3 ( 1 / 3 ) ( 1 / 3 )
c)
0 , 222 ..
{4} d)
( 3 ) ( ( 5 ) )
1 2
0 3
− − − ⋅ −−
e) 5
g)
2
2
h)
2
1 3 4
x
xy
−
i) ( )
2 3 − xy
j)
3
4 3
−
a b
k)
2
−
l)
3 4 / 2
− −
m)
1 22 ( 2 2 )
− −
÷
x x (4)
o) 5 6
7 8
p) 3 2 ⋅( 9 + 2 ⋅ 25 )+ 1
(R.: 3)
q)
10 12 23 100 1 + (− 1 ) +(− 1 ) +(− 1 ) (2)
r)
3 2 ⋅( 9 + 2 ⋅ 25 )+ 1
(R.: 3)
s)
7 10 2 57 ( 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ) ÷( 4 ) (4)
t)
3 2
2
3
2 2
b
ac
c
ab u)
3
2 2
2
3 3
2
a b
xy
ab
x y
04/07/2019 19:50:00 II- 14
v)
(^9 ) a w)^
3
x)
3
243 y)
3 14 x
z)
3
− 125 aa)
5 510 1024 xy
bb) 26
4 16
y z
x cc) a x
4 25
dd)
2 6 36 a b ee)
4 8 / 2 100 x
ff) 2
3 1 ( 4 )
x
xy
−
gg)
3 2 ( )
− xy
hh)
4
2 3
−
a
8
81 a )) ii)
3 2
2
3
2 2
b
ac
c
ab
jj)
4 3 2 ( )
− − a y kk) x + 2 2 x^3 − x 8 x (x)
Solução
a)
8
b)
2 3
c) 512 512 ( 2 ) 2 4
0 , 222 .. 2 / 9 9 2 / 9 92 / 9 = = = =
⋅
d)
1 2
0 3
− −
e)
−^ =
− =^ +
f)
^ =
^ ⋅
^ =
g)
2
2
h)
2 3 2 1 2 3 3 3
1 3
x xy x x y x y
xy = = =
−
i) ( )
2 12 32 2 6 3
2 3 1 1 1
x y x y xy
xy = = = ⋅ ⋅
−
j) (^ )^
43 33 12 9 3 4 3
3
4 3
a b a b a b
a b
−
k) 4
2 2
=
−
l)
2 3
3 4 / 2
=−^ −
^ −
− −
m)
2
2 2 2 2
1 22
− −
n) 2 2 2 2 4
4 2 4 2 2 ÷ = = =
x + x + x + − x −
o) 2 3 7 2 3 7 497 252
2 3
5 6
7 8
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅
p)
2 ( 13 ) 1 27 3
3 3
(^33)
q) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 2
10 12 23 100
r) = p)
s)
( 4 ) 4 4 4 4 4 4 4 4
182 35 182 35 36 35 3635 1
7 10 2 57 71012 57
÷ = ÷ = ÷ = = =
⋅ ⋅ ÷ = ÷ =
⋅ −
t)
3
8 8 3
2 6 4 33 6 3
6 3
6
2 4
3 2
2
3
2
c
ab abc
a b c
b
ac
c
a b
b
a c
c
ab
−
u)
4
43 26 6 6 66 4 0 0
3 6
6 6
6 6
4 2
6 6
3 6
6 6
4 2
3
2 2
2
2
3 3
2
y
x x y a b xy ab
x y
ab
ab
x y
ab
x y
ab
x y
ab
xy
ab
x y
− − − − −
v) 3 3
1
9
3 (^9 ) a = a = a = a
w)
3 3 3 4 3 3 3 3 48 = 3 ⋅ 16 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 3 ⋅ 2 = 2 6
x) 3 3 5 3 2 3 3 2 3 243 = 3 = 3 ⋅ 3 = 3 3 = 3 9
y)
3 14 3 212 43 2 x = x x = x x
z) 125 125 5 5
3 3 3 3 − =− =− =−
04/07/2019 19:50:00 III- 16
III. FATORAÇÃO
1. Introdução
Fatorar uma expressão algébrica significa expressá-la
como produto de outras expressões algébricas, ou fatores.
A fatoração permite muitas vezes simplificar expressões,
deixando-as mais simples e mais fáceis de resolver. Por
exemplo, no estudo de limites, ela auxilia a eliminar
alguns tipos de indeterminação (como a divisão 0/0); no
estudo de polinômios, ela permite expressá-los na forma
de produtos de fatores contendo as raízes.
A propriedade distributiva da multiplicação é
amplamente aplicada no processo de fatoração. É
exemplifica pelas expressões abaixo.
a ( b + c )= ab + ac (10)
( a + b )( c + d )= ac + ad + bc + bd (11)
Existem alguns tipos de fatoração (descritas a seguir).
2. Fatoração por Fator Comum
Colocar um fator comum em evidência significa utilizar a
propriedade distributiva da multiplicação (expr. (10)) em
relação à adição para fatorar uma expressão algébrica que
seja dada por uma soma de termos onde exista um fator
multiplicativo comum a todos eles.
Exemplos:
- 3 x + 9 = 3 ⋅ x + 3 ⋅ 3 = 3 ( x + 3 );
- 5 25 5 5 5 5 ( 5 )
2
x + x = x ⋅ x + x ⋅ = xx + ;
- 12 3 9 3 4 3 1 3 3 3 ( 4 1 3 )
2 y + y − y = y ⋅ y + y ⋅− y ⋅ = y y + −
Exemplo 14
Simplificar a expressão
ab b
a a
2
Solução
b
a
b a
a a
b a b
a a a
ab b
a a
2
= −
3. Fatoração por Agrupamento
Inicialmente, escreve-se a expressão algébrica como
soma de outras expressões fatoradas, ou grupos; após,
identifica-se um fator comum aos grupos formados e o
coloca-se em evidência (expr. (11)).
Exemplo:
- ac + bc + ad + bd =( a + b ) c +( a + b ) d =( a + b )( c + d )
Exemplo 15
Fatorar a expressão
2 2 3 6 x − 9 xy − 2 xy − 3 y.
Solução
2
2 2 3 2
x y x y
x xy xy y x x y y x y
4. Fatoração utilizando Produtos Notáveis
No cálculo algébrico, expressões representadas por
produtos de outras expressões algébricas aparecem com
frequência. Tais expressões são denominadas produtos
notáveis e são utilizados principalmente para realizar
fatorações que auxiliam na simplificação e cálculo de
expressões mais complexas.
Abaixo, alguns desses produtos notáveis.
1. a^ ( x ±^ y )= ax ± ay
2 2 2
( a + b ) = a + 2 ab + b
2 2 2
( a − b ) = a − 2 ab + b
2 2
( a + b )( a − b )= a − b
5. ( a + b )( a − b )= a − b
3 3 2 2 3
( a + b ) = a + 3 ab + 3 ab + b
3 3 2 2 3
( a − b ) = a − 3 ab + 3 ab − b
3 3 2 2
a + b = a + b a − ab + b
3 3 2 2
a − b = a − b a + ab + b
4 4 2 2
a − b = a + b a + b a − b
2 2 2 2
a + b + c = a + b + c + ab + ac + bc
12. ( x + a )( x + b )= x +( a + b ) x + ab
2
a
b b ac
x
a x x ax bx c
ax bx c ax x x x
0 , e raízesde 0
2
1 , 2
2 1 2
1 2
2
Exemplos:
2 2 2 2
x − = x − ⋅ ⋅ x + = x − x + ;
2 2 2
x − = x − = x − x + ;
3 3 3 2 x + = x + = x + x − x +
Exemplo 16
Simplificar a expressão
( 4 )( 2 )
2
4
x x
x .
Solução
2
2
2
2 2 2 2
2
22 22
2
4
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x x
x
Exercício 22
Desenvolva as expressões abaixo.
a) ( 1 ) ( 2 4 )( 2 4 )
2 x − − x + x − b)^ (^3 xy +^5 )(^3 xy −^5 )
c) ( 2 3 − 1 )( 2 3 + 1 ) d)
3 ( x + 2 )
e)
3
( 2 x − 2 ) f) 125
3
x −
04/07/2019 19:50:00 III- 17
Solução
a)
2 1 4 16 3 2 17
2 2 2
2 2 2
x x x x x
x x x x x x
b) ( 3 5 )( 3 5 ) ( 3 ) 5 9 25
2 2 2 2 xy + xy − = xy − = x y −
c)
12 1 11
2 2 2 2
d) ( 2 ) 3 2 32 2 6 12 8
3 3 2 2 3 3 2 x + = x + x + x + = x + x + x +
e)
8 24 2 24 8
3 2
3 3 2 2 3
x x x
x x x x
f)
( 5 )( 5 25 )
2
3 3 3 2 2
x x x
x x x x x
Exercício 23
Calcule 29⋅31 usando apenas produto notável (sem calculadora:
conta só de cabeça!).
Solução
2 2 ⋅ = − + = − = − =
Exercício 24
Usando produtos notáveis, calcule as expressões abaixo.
a) 2 ( 3 + 7 ) b)^
2 ( 1 − 6 )
c) (^) ( 4 + 5 )^2 d) (^) ( 10 + 7 )( 10 − 7 )
e) (^) ( 6 − 2 )^2 f) ( 5 + 1 )( 5 − 1 )
g) (^) ( − 2 5 + 1 )(− 2 5 − 1 ) h)
3 ( 28 + 1 )( 28 − 1 )
Solução
a) (^) ( 3 + 7 )^2 = 3 + 2 3 7 + 7 = 10 + 2 21 = 2 ( 5 + 21 )
b) (^) ( 1 6 ) 1 2 1 6 6 7 2 6 2 − = − ⋅ ⋅ + = +
c) (^) ( 4 + 5 )^2 = 16 + 8 5 + 5 = 21 + 8 5
d) (^) ( 10 7 )( 10 7 ) ( 10 ) ( 7 ) 10 7 3 2 2
e) (^) ( 6 − 2 )^2 = 6 − 2 6 2 + 2 = 8 − 2 3 2 2 = 8 − 4 3
f) ( 5 1 )( 5 1 ) ( 5 ) ( 1 ) 5 1 4 2
2 2
g) (^) ( − 2 5 + 1 )(− 2 5 − 1 )=(− 2 5 )^2 −( 1 )^2 = 20 − 1 = 19
h)
3
3 3 2 2 3
04/07/2019 19:50:00 IV- 19
IV. FUNÇÃO LOGARÍTMICA OU LOGARITMO
1. Definição
Defini-se logaritmo de um número N numa da base a o
expoente x ao qual deve ser elevado o número a de modo
a se obter como resultado o próprio número N.
Simbolicamente, tem-se
log N x a N ,
x a = ↔ = N > 0, 0 < a ≠ 1, (12)
onde
- N é o logaritmando, ou antilogaritmo de x ;
- a é a base;
- x é o logaritmo (expoente da base).
As restrições acima ( N ∈ R
e a ∈ ( R
5
visam
garantir que a operação seja sempre possível em R e de
resultado único.
2. Convenção
Quando a base é 10 não é necessário explicitá-la, ou seja,
log 10 N = log N (13)
3. Logaritmação
É a operação pela qual se determina o logaritmo de um
número N > 0 na base a , 0 < a ≠ 1. O resultado dessa
operação é o logaritmo.
Como conseqüências da definição de logaritmo
(expressão (12)), tem-se que
, pois a
0
1
= a ;
log , pois b^ b a b
ab a a = ↔ =
log log log ;
α a = a log , pois a
α
= a
α
4. Cologaritmo
Chama-se cologaritmo de um número N > 0 numa base a ,
0 < a ≠ 1, ao logaritmo do inverso de N na mesma base.
Assim,
N N
N
N
a a a a
log log
colog log
1
− (14)
Exemplo :
log10 1 log
1
−
5. Antilogaritmo
Se a > 0 e 0 < b ≠ 1, define-se
antilog b x = a ↔log ba = x.^ (15)
Exemplo :
- (^) log 100 2 antilog 2 100 10 =^ ↔ 10 =
5 R
é o conjunto dos números reais positivos.
Exemplo 17
Calcular os logaritmos abaixo.
a) log 232
32 = 2 x → 2 5 = 2 x → x =5.
b) log1/3 9
9 = (1/3)
x → 3
2 = (1/3)
x → 3
2 = 3
c) log 1664
x → 4
3 = (
2 )
x → 4
3 = 4
2 x → x =3/2.
d) log 121
1 = 12 x → x =0.
e) log 77
7 = 7 x → x =
f) colog1/3 81
-log1/381 = log1/3 81
- = log1/3( 4 ) - = log1/3(1/3) 4 = 4
g) Qual a base em que o logaritmo de 1/9 é 2?
loga1/9 = 2 → a
2 = 1/9 → a
2 = (1/3)
2 → a = 1/3.
h) Qual número cujo logaritmo na base 7 é -2?
log 7 N = -2 → 7
i) Sabe-se que o antilogaritmo de x na base 5 é 25. Quanto
vale x?
antilog 5 x = 25 ↔ log 5 25 = x → 5
x = 25 = 5
2 ∴ x = 2.
Exercício 26
Calcular os logaritmos abaixo.
a) log 2256
b) log1/3 9
c) log 9243
d) log 231
e) log 99
f) colog1/3 729
g) Qual a base em que o logaritmo de 1/64 é 2?
h) Qual número cujo logaritmo na base 5 é -3?
i) Sabe-se que o antilogaritmo de x na base 7 é 343. Quanto
vale x?
Solução
a) log 2256
256 = 2 x → 2 8 = 2 x → x =8.
b) log1/3 9
9 = (1/3)
x → 3
2 = (1/3)
x → 3
2 = 3
c) log 9243
x → 3
5 = (
2 )
x → 3
5 = 3
2 x → x =5/2.
d) log 231
1 = 23 x → x =0.
e) log 99
9 = 9 x → x =
f) colog1/3 729
-log1/3729 = log1/3 729
- = log1/3( 6 ) - = log1/3(1/3) 6 = 6
g) Qual a base em que o logaritmo de 1/64 é 2?
loga1/64 = 2 → a
2 = 1/64 → a
2 = (1/8)
2 → a = 1/8.
h) Qual número cujo logaritmo na base 5 é -3?
log 5 N = -3 → 5
i) Sabe-se que o antilogaritmo de x na base 7 é 343. Quanto
vale x?
antilog 7 x = 343 ↔ log 7 343 = x → 7
x = 343 = 7
3 ∴ x = 3.
04/07/2019 19:50:00 IV- 20
6. Propriedades de Logaritmos
É possível mostrar que
log a ( AB )= log aA +log a B ,^ (16a)
A B
B
A
a a a log (^) =log −log
, (16b)
A m A a
m a log = log , (16c)
A
m
A a
m
a log
log =.^ (16d)
Exemplo 18
Dados log 2 = 0.301 e log 3 = 0.477, calcular os logaritmos
abaixo.
a) log 6
log 6 = log 2⋅3 = log 3 + log 2 = 0.301 + 0.477 = 0.778.
b) log 1,
log 1,8 = log (18/10) = log 18 - log 10 =
log (2⋅ 3 ⋅3) - 1 = log (2) + log (
2 ) -1 =
log (2) + 2⋅log(3) - 1 = 0.301 + 2⋅0.477 - 1 = 0.255.
c) (^) log 3 / 2
= = (log 3 −log 2 ) =
log
log 3 / 2
7. Mudança de Base
A mudança de base se torna necessária em certas
situações, como no caso da aplicação das propriedades de
logaritmos (que valem para uma base única) na situação
onde as bases envolvidas não são as mesmas.
A expressão utilizada para a mudança de base é
a
N
N
b
b a log
log log = (^) (17)
onde 0 < ( a e b ) ≠ 1 e N > 0.
Exemplo 19
Escrever os logaritmos a seguir nas bases indicadas:
log 3
log 5 log 5
8
8 3
log 5
log 8 log 8 9
9 5 =
Exercício 27
Dados log 2 = 0.301 e log 3 = 0.477, calcular os logaritmos
abaixo.
a) log 6 + log 310
b) log 2.
c) (^) log 27 / 2
Solução
a) log 6 + log 310
log 6 = log 2⋅3 = log 3 + log 2 = 0,301 + 0,477 = 0,778.
log 3 10 = log 10/log 3=1/0,301=3,
log 6 + log 3 10 = 4.
b) log 2,
log 2,7 = log (27/10) = log 27 - log 10 =
log (3⋅ 3 ⋅3) - 1 = log (
3 ) -1 =
3 ⋅log(3) - 1 = 3⋅0,477 - 1 = 0,431.
c) (^) log 27 / 2
= = (log 27 −log 2 ) =
log
log 27 / 2
( 3 log 3 log 2 ) 2
(log 3 log 2 ) 2
