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Guias e Dicas
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Matemática Aplicada a Computação, Resumos de Matemática Computacional

Apresenta a história e a evolução da matemática sendo aplicada na aréa da computação

Tipologia: Resumos

2023

Compartilhado em 23/07/2023

keyti-suelen-9
keyti-suelen-9 🇧🇷

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 - U N I D A D E - TEORIA DOS CONJUNTOS - DIAGRAMASDEVENN-EULER - U N I D A D E - RELAÇÕES - DIAGRAMAS PERT - U N I D A D E - ESTUDO DAS FUNÇÕES - ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
  • 5 U N I D A D E - A LÓGICA PROPOSICIONAL
  • 29 U N I D A D E - TABELAS-VERDADE E LÓGICA SIMBÓLICA - O MÉTODO DEDUTIVO

INICIE SUA JORNADA

A Lógica Matemática formal fornece base para o modo de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. Ela é considerada base de todo raciocínio matemático e do raciocínio automatizado, tendo aplicações diretas nas Ciências da Computação, em grau variado de complexidade. Considera-se que o estudo da Lógica teve início na Grécia Antiga, sendo sistematizado por Aristó- teles (384 a.C.-322 a.C.), com a formulação de leis gerais de encadeamentos de conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades (Lógica Clássica). Os argumentos formulados em linguagem natural, como no português, por exemplo, são, muitas vezes, de difícil avaliação, devido a ambiguidades nas frases e construções confusas. Os matemáticos da atualidade entenderam, então, que, para uma matéria ser estudada com o caráter científico necessário, era preciso introduzir uma linguagem simbólica. A Lógica Simbólica ou Lógica Matemática utiliza símbolos de origem mate- mática para formular os argumentos. Nessa lógica, as várias relações entre propo- sições são representadas por fórmulas cujos significados estão livres de ambigui- dades tão comuns à linguagem corrente, e essas fórmulas podem ser “operadas” segundo um conjunto de regras de transformação formal. Outra vantagem de seu uso refere-se à facilidade de entendimento e à brevidade para obter resultados.

Para entender melhor como surgiram os primeiros estudos sobre a Lógica Simbólica desde Aristóteles na Grécia Antiga, passando por George Boole e Augustus de Morgan, e a im- portância dessa lógica como linguagem e fundamento para a programação e sua manutenção, ouça o podcast “A Lógica de Ontem, Hoje e Amanhã”.

PLAY NO CONHECIMENTO

UNICESUMAR

TEMA DE APRENDIZAGEM 1

DESENVOLVA SEU POTENCIAL

LÓGICA MATEMÁTICA

A Lógica Matemática ou, apenas, Lógica, é a parte da Matemática que estuda a estrutura, o conteúdo e o processo de argumentação formal, usando símbolos e regras bem-definidos. É fundamental para a compreensão da Matemática e para a resolução de problemas, pois permite que sejam feitas inferências precisas e corretas a partir de informações conhecidas. Na Lógica Matemática, são usadas fórmulas lógicas para representar propo- sições e estabelecer relações entre elas. Essas fórmulas são manipuladas seguindo regras rigorosas para chegar a conclusões válidas. Alguns dos princípios funda- mentais dela incluem a identidade, a negação e a conexão. Essa lógica é amplamente utilizada em muitos campos, incluindo Matemática, Computação, Inteligência Artificial, Filosofia e Teoria da Verificação. É também uma ferramenta importante na solução de problemas complexos e na construção de teoremas e provas rigorosas na Matemática.

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Figura 1 - A Inteligência Artificial em organograma com os seus pilares fundamentais

Descrição da Imagem: a figura apresenta um organograma com os pilares fundamentais para a construção de uma Inteligência Artificial, da esquerda para a direita, está escrito, em inglês: “Inteligência Artificial”, “Cibernética”, “Solução de problemas”, “Aprendizagem profunda”, “Aprendizagem de máquina”, “Robótica” e “Redes neurais”. Cada um desses pilares apresenta um ícone ilustrativo.

Na Inteligência Artificial, a Lógica Matemática é amplamente utilizada em sistemas de inferência baseados em regras. Um exemplo disso é o desenvolvimento de sistemas de diagnóstico médico: eles utilizam uma base de conhecimento formulada em Lógi- ca Matemática para identificar doenças ou condições a partir de sintomas específicos.

TEMA DE APRENDIZAGEM 1

Observamos que todas essas sentenças são proposições, pois: (2) e (5) são ver- dadeiras e (1) é falsa; a veracidade ou falsidade da (4) depende do momento em que a proposição é feita e, apesar de não sabermos o valor do dígito solicitado na afirmação (3), ele será igual a 2 ou não será igual a 2, ou seja, a sentença será verdadeira ou falsa. Além de exemplificarmos frases que são classificadas como proposições, é importante citar aquelas que não podem ser classificadas como tal:

  1. Feliz aniversário!!! (sentença exclamativa).
  2. Onde está a chave? (sentença interrogativa).
  3. Vire à esquerda. (sentença imperativa).
  4. x + y = 6 (sentença aberta).
  5. A Ivete Sangalo canta muito bem (sentença interpretativa).

No caso da sentença aberta (4), ela pode ser verdadeira ou falsa em todo momen- to, pois depende dos valores atribuídos para x e y. Já na sentença interpretativa (5), afirmar que alguém canta bem ou não é subjetivo e relacionado ao julgamento de cada um. Para essas duas sentenças, não cabe a atribuição de um valor lógico , portanto, não podem ser consideradas proposições. O valor lógico de uma proposição se refere a um dos dois possíveis juízos que atribuímos a uma proposição: verdadeiro, denotado por V (ou 1), ou falso, denotado por F (ou 0). Na escrita formal, usa-se uma simbologia para representar o valor lógico de uma determinada proposição simples ou composta. Observe o quadro:

SIMBOLOGIA LÊ-SE

V(p) “O valor lógico de p…”

V(q) = V “O valor lógico de q é V (verdade)”

V(p) = F “O valor lógico de p é F (falso)”

Quadro 1 - Valores lógicos em linguagem corrente / Fonte: a autora.

Princípios básicos das proposições

Para o bom entendimento da Lógica Proposicional, assumimos dois princí- pios básicos. ■ Princípio de não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. ■ Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não existe um terceiro valor lógico.

Classificação das proposições

As proposições são classificadas em simples e compostas: ■ Proposições simples : aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. São representadas por letras minúsculas. Exemplos: ■ p: A impressora está ligada. ■ q: O novo papa é argentino. ■ Proposições compostas : aquelas formadas pela combinação de propo- sições simples. São representadas por letras maiúsculas acompanhadas ou não de parênteses, indicando a sua composição. Exemplos: ■ P: João é médico e Pedro é dentista. ■ P (p,q): A impressora está ligada ou o novo papa é argentino.

CONECTIVOS LÓGICOS

Os conectivos lógicos são símbolos ou palavras usados para unir duas ou mais proposições lógicas e determinar as suas relações lógicas. Eles são amplamente utilizados na Lógica Matemática, na Inteligência Artificial e em muitas outras áreas da Computação e da Matemática. Os conectivos lógicos básicos incluem a negação, a conjunção, a disjunção, a implicação e a equivalência. Cada conectivo tem o seu próprio significado e cos- tuma ser usado para expressar uma relação lógica específica entre duas ou mais proposições. Por exemplo, a negação é usada para negar uma proposição, enquanto a conjunção indica que duas proposições são verdadeiras ao mesmo tempo.

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TEMA DE APRENDIZAGEM 1

O valor lógico de uma proposição composta (verdadeiro ou falso) depende do valor lógico das proposições simples que a compõem e da maneira como elas são combinadas pelos conectivos. Conhecendo os valores lógicos de duas proposições p e q, definiremos valores lógicos a algumas sentenças compostas, por meio do uso das tabelas-verdade referenciais de cada conectivo lógico. Uma tabela-verdade é uma representação gráfica da relação entre variáveis lógicas e seus valores possíveis de verdadeiro (1) ou falso (0). São muito utilizadas no estudo da Lógica e, também, em sistemas digitais para a leitura de entrada e saída de dados processados por portas lógicas.

As portas lógicas são componentes básicos em sistemas digitais que executam oper- ações lógicas simples. Cada porta é projetada para realizar uma oper- ação lógica específica, como: negação, con- junção ou disjunção. Os conectivos lógicos na Lógica Matemática são equivalentes às operações realizadas por portas lógicas em sistemas digitais. Por exemplo, a negação é equivalente a uma porta lógica NOT, que inverte a entrada; a conjunção é equivalente a uma porta lógica AND, que retorna verdadeiro se ambas as entradas são verdadeiras; a disjunção é equivalente a uma porta lógica OR, que retorna verdadeiro se uma ou ambas as entradas são verdadeiras. Assim como as portas lógicas podem ser combinadas para formar circuitos lógicos mais complexos, os conectivos lógicos podem ser combinados para formar fórmulas lógicas mais complexas. Essas fórmulas são usadas na representação dos sistemas de inferência e do conhecimento na Inteligência Artificial e na resolução de problemas lógicos. Em resumo: as portas lógicas em sistemas digitais são equivalentes aos conectivos lógicos na Lógica Matemática. Ambas as ferramentas são usadas na realização de operações lógicas simples e para combinar operações lógicas em sistemas mais complexos.

APROFUNDANDO