Notas sobre Relações Binárias - UFPE, Notas de estudo de Informática

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Notas sobre Relações

Fonte: livro de Kenneth Rosen (ref. completa na página)

Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco

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Relações e suas propriedades

Seja S um conjunto de pessoas. Digamos que queremos escolher os pares ordenados de S × S de forma que os componenetes do par iniciem com a mesma letra. Esse subconjunto de S × S chamamos de relação binária sobre S. Podemos usar as seguintes notações para expressar essa relação: (^1) R = {(x, y)|x e y ∈ S e x e y começam com a mesma letra }; (^2) xRy ↔ x, y ∈ S e x e y começam com a mesma letra.

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Relações e suas propriedades

Definições

Definição (Relação binária em um conjunto S) Dado um conjunto S uma relação binária em S é um subconjunto de S × S.

Genericamente: Definição Sejam S e T conjuntos. Uma relação binária de S para T (podemos também dizer “ em S × T ”) é um subconjunto de S × T.

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Relações e suas propriedades

Função como relação

Uma função pode ser vista como um tipo especial de relação, conforme definido a seguir.

Definição Uma função f de A em B é um subconjunto de A × B onde cada elemento de A aparece exatamente uma única vez como componente de um par ordenado. A é o domínio e B o contradomínio da função.

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Relações e suas propriedades

Simetria

Definição Uma relação R em um conjunto A é dita simétrica se (b, a) ∈ R toda vez que (a, b) ∈ R.

(a, b) ∈ R → (b, a) ∈ R, para a, b ∈ A

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Relações e suas propriedades

Anti-Simetria

Definição Uma relação R em um conjunto A é dita anti-simétrica se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R somente quando a = b, para a, b ∈ A.

Sejam a, b ∈ A, se (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R → a = b.

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Relações e suas propriedades

Combinando relações

Exemplo Seja A = { 1 , 2 , 3 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 }. As relações R 1 = {( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( 3 , 3 )} e R 2 = {( 1 , 1 ), ( 1 , 2 ), ( 1 , 3 ), ( 1 , 4 )} podem ser combinadas para obtermos novas relações: R 1 ∪ R 2 = {( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( 3 , 3 ), ( 1 , 2 ), ( 1 , 3 ), ( 1 , 4 )} R 1 ∩ R 2 = {( 1 , 1 )} R 1 − R 2 = {( 2 , 2 ), ( 3 , 3 )}