Matemática Discreta
Relações
Ivan da Silva Sendin
sendin@catalao.ufg.br
Universidade Federal de Goi´
as
Matem´
atica DiscretaRelac¸ ˜
oes – p.1/12
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Introdução à Matemática Discreta: Relações e Equivalências, Notas de estudo de Informática
Conceitos básicos da matemática discreta, com ênfase em relações e equivalências. O texto aborda o produto cartesiano, relações binárias, relações de equivalência e propriedades matemáticas relacionadas. O autor, ivan da silva sendin, é professor da universidade federal de goiás.
Tipologia: Notas de estudo
2010
1 / 12
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Matemática DiscretaRelações^ Ivan da Silva Sendin^ sendin@catalao.ufg.br^ Universidade Federal de Goi ´
as
Matem ´atica DiscretaRelac
Produto Cartesiano
Sejam^ X, Y
6 =^ ∅, o^ produto cartesiano
de^ X^ por
Y^ -
denotado por
X^ ×^ Y^ - é o conjunto^ {(x, y
) :^ x^ ∈^ X, y
∈^ Y^ }
Cada membro de
X^ ×^ Y^ é chamado de
par ordenado^ Matem ´atica DiscretaRelac
Relações Binárias
Uma relação
R^ em^ X
(^6 =^ ∅)^ é qualquer subconjunto de X^ ×^ X^ ou
2 X
Uma relações pode ser binária (pares ordenados), ternária(para 3-tupla) ou k-nária (para
k-tupla)
Exemplos:^ Para
A^ =^ {a, b
}^ podemos definir a relação de igualdade Para o mesmo
A a^ = 0
, b^ = 1^ podemos definir a relação^
Para^ A^ =
{^2 ,^3 ,^6 ,^
10 ,^12 ,^14
}^ podemos definir a relação
divide :^ R
=^ {(x, y
) :^ x|y}
Matem ´atica DiscretaRelac
Relações de Equivalência
Uma relação
R^ em^ X
é chamada de
relac¸ ˜ao de
equival ˆencia
se satisfaz as seguintes poropriedades: RE1 - Reflexiva
(a, a)^ ∈^ R^ para todo
a^ ∈^ X
RE2 - Sim ´
etrica^ Se^ (
a, b)^ ∈^ R^ então
(b, a)^ ∈^ R^ para todo
a, b^ ∈^ X
RE3 - Transitiva
Se^ (a, b)^ ∈^
R^ e^ (b, c)^ ∈^
R^ então^ (a, c
)^ ∈^ R^ para todo
a, b, c^ ∈^ X
Matem ´atica DiscretaRelac
Relações de Equivalência
Seja^ X^ =
{a, b, c, d
}^ e R^ =^ {(a, a
),^ (b, b),^ (
c, c),^ (a, b
),^ (b, a),^ (
a, c),^ (c, a
(RE1) (RE2) (RE3)
Matem ´atica DiscretaRelac
Relações de Equivalência
Seja^ X^ um conjunto qualquer de retas em um plano e R^ : (r, r^1
)^ ∈^ R^ ↔ 2
o ângulo entre
re^ ré igual a zero.^1
(RE1) (RE2) (RE3)
Matem ´atica DiscretaRelac
Relações de Equivalência
R: (a, bm^
)^ ∈^ R^ ↔
m|(a^ −^
b) (RE1) (RE2) (RE3)
Matem ´atica DiscretaRelac
Matemática Modular
Como vimos a relação:
R: (a, bm^
)^ ∈^ R^ ↔
m|(a^ −^ b
é uma relação de equivalência. m|(a^ −^ b
)^ também pode ser escrito como
a^ ≡^ b^ (mod
m)
Matem ´atica DiscretaRelac