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Universidade Federal do Vale do São Francisco
Curso de Engenharia da Computação
Prof. Jorge Cavalcanti
jorge.cavalcanti@univasf.edu.br - www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti
Matem
Matemá
ática Discreta
tica Discreta –
–Parte 11
Parte 11
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Matem?tica Discreta - matem?tica discreta 01, Notas de estudo de Informática
Sistemas de Informa??o
Tipologia: Notas de estudo
2010
1 / 40
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Universidade Federal do Vale do São FranciscoCurso de Engenharia da Computação
Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br - www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti
Matem
Matem
á
á
tica Discreta
tica Discreta
Parte 11
Parte 11
2
Relações e Funções
Revisão Conceitos Básicos
Produto Cartesiano -
Dados os conjuntos
A
e
B
, o produto
cartesiano de
A
por
B
, denotado
A X B
, é o conjunto
formado por todos os pares ordenados (
a, b
) onde
a
A
e
b
B
, isto é:
A X B = {(a,b) |
∀
a
∈
A,
∀
b
∈
B}
Ex.: Dados A={a} e B={a,b}
A X B = {(a,a), (a,b)} / B X A = {(a,a), (b,a)}
Relação
Dados os conjuntos
A
e
B
, uma relação R de A
em B, denotada R: A
B, é qualquer subconjunto do
produto cartesiano A X B.
Ex.: Dados A={1,3,5} e B={3,9,15,20}, a relação
R:
A
→
B, tal que:
R = {(a,b) | b=3a} é dada pelos pares ordenados R = {(1,3),(3,9), (5,15)}.
Relações e Funções
Relações Binárias
Em geral, uma relação binária é definida por umadescrição da relação, ao invés da lista dos paresordenados.
A descrição fornece uma caracterização dos elementospertencentes à relação.
Ex.02: Seja S={1,2}, como no Ex. 01. Seja R a relaçãoem S dada por R={(x,y)
S X S | x + y = ímpar}.
Então R = {(1,2), (2,1)}.
Relações e Funções
Tipos de Relações Binárias
Seja uma relação em S com os pares ordenados na forma(s1, s2).
Uma relação é do tipo
um para um
se cada primeira
componente (s1) e cada segunda componente (s2) do parordenado aparece uma única vez na relação.
Uma relação é do tipo
um para muitos
se alguma
primeira componente (s1) aparece em mais de um par.
A relação é dita
muitos para um
se alguma segunda
componente s2 aparecer em mais de um par.
Finalmente, a ela é
muitos para muitos
se pelo menos
um s1 aparece em mais de um par e pelo menos um s2também aparece em mais de um par.
7
Relações e Funções
Propriedades das Relações Binárias
Seja uma relação R em um conjunto S com a seguintedescrição: R={(x,y)
S X S | x = y}. Essa relação de
igualdade tem três propriedades:
Para qualquer x
∈
S, (x,x)
∈
R;
Para qualquer x e y
∈
S, se x=y, então y=x, ou seja (x,y)
∈
R
→
(y,x)
∈
R
Para qualquer x, y e z
∈
S, se x=y, y=z, então x=z, ou seja,
[(x,y)
∈
R e (y,z)
∈
R]
→
(x,z)
∈
R.
Essas três propriedades fazem com que a relação deigualdade seja reflexiva, simétrica e transitiva.
R ser
reflexiva
significa (
x)(x
S
(x,x)
R)
R ser
simétrica
significa (
x)(
y)(x
S
y
S
(x,y)
R
(y,x)
R)
R ser
transitiva
significa (
x)(
y)(
z)(x
S
y
S
z
S
(x,y)
R
(y,z)
R
(x,z)
R)
Relações e Funções
Propriedades das Relações Binárias
Ex.03: Considere a relação
≤≤≤≤
no conjunto
N
. Ela é reflexiva, pois
para qualquer inteiro não-negativo x, x
≤
x.
Ela é transitiva pois quaisquer inteiros não-negativos x, y, e z, se x ≤
y e y
≤
z, então x
≤
z.
Entretanto ela não é simétrica, pois 3
≤
4 não implica que 4
≤
Dizer que uma relação R é
anti-simétrica
significa (
∀
x)(
∀
y)(x
∈
S
∧
y
∈
S
∧
(x,y)
∈
R e (y,x)
∈
R
→
x = y).
Ex. 04: Seja S =
℘
(
N
) e A, B e C subconjuntos de S. Considere
uma relação binária em S definida por R: A
→
B (a,b) | A
⊆
B.
Então R é reflexiva, já que todo conjunto é subconjunto de simesmo.
R é transitiva pois se A é subconjunto de B e B é subconjuntode C, então A é subconjunto de C.
R é anti-simétrica pois se A é um subconjunto de B e B ésubconjunto de A, então A=B.
Relações e Funções
Ex. 05: Seja S={1,2,3} e R uma relação em S. Se R éreflexiva, quais os pares ordenados tem que pertencer a R?
Ex. 06: Se uma relação R em S é simétrica e se (a,b)
R,
que outro par ordenado tem que pertencer a R?
Ex. 07: Se uma relação R em S é anti-simétrica e se (a,b) e(b,a)
R, o que tem que ser verdade nessa condição?
Ex. 08: Identifique as propriedades de cada relação abaixo: a.
S =
N
; R={(x,y) | x + y é par}
b.
S =
Z
; R={(x,y) | x divide y}
Relações e Funções
Representação
- A relação pode ser representada através
de
Diagrama de Venn
Domínio e Imagem de uma Relação
- O
Domínio
de
uma relação
R
, denotado
D
R
), é o conjunto formado pelos
primeiros elementos de cada par ordenado da relação. Noexemplo anterior, o domínio é o conjunto
D
R
A
Imagem
de uma relação
R
, denotada
I
R
), é o conjunto
formado pelos segundos elementos de cada par ordenado darelação. exemplo anterior, o domínio é o conjunto
I
R
1 3 5
3 9
1520
Relações e Funções
Relação como Matrizes
A relação
R: A
B
pode ser representada na forma de matriz, o
que facilita sua implementação em sistemas computacionais.
Seja A={a
1
, a
2
, ...a
n
} e B={b
1
, b
2
, ...b
m
} dois conjuntos finitos.
A representação da relação R como matriz é como se segue:
O número de linhas é n (número de elementos do domínio).
O número de colunas é m (n° de elementos do Contra-Domínio)
A matriz tem
n * m posições e cada posição contém um valor
lógico – verdadeiro ou falso.
Se (ai, bj)
∈
R, então a posição contém o valor verdadeiro (1); caso
contrário, contém o valor falso (0).
Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. As seguintes relaçõessão representadas como matrizes:
1 - A X B:
A
→→→→
B
2 – S={(0,a), (1,b)}: C
→→→→
B
3 - =: A
→→→→
B
A X B
a
b
a
1
1
S
a
b
0
1
0
1
0
1
2
0
0
=
a
b
a
1
0
Relações e Funções
Relação Dual
Seja relação
R: A
→
B
.
A
Relação Dual, Oposta ou Inversa
é denotada
por:
R
: B
→
A e é obtida pela inversão dos componentes de
cada par ordenado.
R
= {(b,a) | (a,b)
∈
R}
A X B:
A
→→→→
B
, (A X B)
= B X A: B
→
A
A
matriz
da relação dual é a matriz transposta da matriz da
relação.
O
grafo
da relação dual é o grafo resultante da inversão dos
sentidos das arestas.
Composição de Relações
Sejam as relações
R: A
→
B e S:B
→
C. A composição de R e S,
resultando na relação
:
S
R: A
→
C, tal que:
S
R = {(a,c) | (
∃
b
∈
B)(aRb
∧
bSc)}
Relações e Funções
Tipos de Relações –
Uma relação pode ser classificada nos
seguintes tipos, os quais não são mutuamente exclusivos:
Funcional
Injetora
Total
Sobrejetora
Monomorfismo
Epimorfismo
Isomorfismo
Os tipos acima possuem noção de dualidade que pode simplificar oestudo e a respectiva compreensão de cada tipo.
Funcional é o dual de injetora e vice-versa
Total é o dual de sobrejetora e vice-versa.
Monomorfismo é o dual de epimorfismo e vice-versa.
Isomorfismo é dual de si mesmo.
17
Relações e Funções
Relação Funcional –
define o conceito de função.
Seja a relação
R: A
B. R é funcional se e somente se:
(
∀
a
∈
A)(
∀
b
∈
B)(
∀
b
∈
B)(aRb
∧
aRb
→
b1=b2)
Ou seja, em uma relação funcional, cada elemento de
A
está relacionado com, no máximo, um elemento de
B.
Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:
Matriz: existe,
no máximo
, um valor verdadeiro em cada
linha
da matriz.
Grafo: existe,
no máximo
, um arco
partindo
de cada
nó.
São relações funcionais:
∅
: A
→
B
{(0,a), (1,b)}: C
→
B
=: A
→
B
Não são relações funcionais:
A X B: A
→
B
<:
C
→
C
Relações e Funções
Relação Total
Seja a relação R: A
B. R é total se e somente se:
a
A)(
b
B)(aRb)
Ou seja, em uma relação
total
, para cada elemento de
A,
existe pelo menos, um elemento de
B.
Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:
Matriz: existe,
pelo menos
, um valor verdadeiro em cada
linha
da matriz.
Grafo: existe,
pelo menos
, um arco
partindo
de cada
nó.
São relações totais:
=: A
→
B
A X B: A
→
B
Não são relações totais:
∅
: A
→
B
{(0,a), (1,b)}: C
→
B
<:
C
→
C
Relações e Funções
Relação Sobrejetora
Seja a relação R: A
B. R é sobrejetora se e somente se:
b
B)(
a
A)(aRb)
Ou seja, em uma relação
sobrejetora
, para cada
elemento de
B,
existe pelo menos, um elemento de
A.
Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:
Matriz: existe,
pelo menos
, um valor verdadeiro em cada
coluna
da matriz.
Grafo: existe,
pelo menos
, um arco
chegando
em cada
nó.
São relações sobrejetoras:
=: A
→
A
{(0,a), (1,b)}: C
→
B
A X B: A
→
B
Não são relações sobrejetoras:
=: A
→
B
∅
: A
→
B
<:
C
→
C