Esboço de Gráficos: Determinando Características de Funções Reais, Notas de estudo de Cálculo

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MAT146 - C´alculo I - Esbo¸co de Gr´aficos

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson Jos´e Teixeira

Nas aulas anteriores, estudamos v´arias ferramentas (Teste da Derivada Primeira, Teste da Derivada Segunda, Existˆencia de Pontos Cr´ıticos, etc) que permitir˜ao esbo¸car com seguran¸ca, o gr´afico de uma fun¸c˜ao real, que satisfa¸ca algumas condi¸c˜oes.

(vii) Aplique o teste da derivada primeira ou teste da derivada segunda, para verificar a existˆencia de extremos entre os n´umeros cr´ıticos.

(viii) Calcule f ′′, caso exista.

(ix) Verifique a concavidade do gr´afico. (xi) Esbo¸ce o gr´afico.

Agora apresentaremos alguns exemplos, onde esbo¸camos o gr´afico de fun¸c˜oes com o aux´ılio do roteiro acima.

Exemplo

Seja f (x) =

x^3 3

− x. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f.

Solu¸c˜ao: Vamos fazer o esbo¸co seguindo as intru¸c˜oes acima. Primeiramente notamos que

Dom(f ) = R.

O ponto de intersec¸c˜ao com o eixo-y ´e a origem, pois

f (0) = 0.

Com o eixo-x temos que resolver

x^3 3

− x = 0.

Vamos agora calcular a derivada primeira de f e calcular os poss´ıveis n´umeros cr´ıticos de f.

f ′(x) = x^2 − 1 , assim f ′(x) = 0 ⇔ x = ± 1.

Note que

f ′(x) > 0 para x < − 1 e para x > 1.

f ′(x) < 0 para − 1 < x < 1.

Segue das considera¸c˜oes acima que f ´e crescente nos intervalos (−∞, −1] e [1, ∞) e ´e decrescente no intervalo [− 1 , 1].

Pelo teste da derivada primeira, segue que −1 ´e um n´umero de m´aximo relativo e 1 ´e um n´umero de m´ınimo relativo de f.

Vamos agora calcular a derivada segunda de f e calcular os poss´ıveis n´umeros cr´ıticos de f ′.

f ′′(x) = 2x, de onde f ′′(x) = 0 ⇔ x = 0.

Note que existe f ′(0), logo o gr´afico de f possui uma reta tangente na origem (0, 0). Al´em disso,

f ′′(x) < 0 para x < 0

e f ′′(x) > 0 para x > 0.

Portanto o ponto (0, 0) ´e um ponto de inflex˜ao do gr´afico de f.

Finalmente observamos que n˜ao existem ass´ıntotas verticais e nem ass´ıntotas horizontais. De fato, como f ´e cont´ınua em R, n˜ao h´a ass´ıntotas verticais. Por outro lado, uma vez que

lim x→∞ f (x) = ∞ e lim x→−∞ f (x) = −∞,

conclu´ımos que n˜ao h´a ass´ıntotas horizontais.

Resumindo:

I (^) Dom(f ) = R; I (^) intercepta os eixos nos pontos (0, 0), (−

3 , 0) e (

I (^) o gr´afico de f n˜ao possui ass´ıntotas; I (^) pontos cr´ıticos: x = ±1;

I (^) valores cr´ıticos f (−1) =

e f (1) = −

I (^) f ´e estritamente crescente em (−∞, −1] e em [1, +∞); I (^) f ´e estritamente decrescente em [− 1 , 1]; I (^) x = −1 ´e um ponto de m´aximo local e x = 1 ´e um ponto de m´ınimo local; I (^) o gr´afico de f ´e cˆoncavo para cima em (0, +∞); I (^) o gr´afico de f ´e cˆoncavo para baixo em (−∞, 0); I (^) o ponto (0, 0) ´e o ´unico ponto de inflex˜ao.

Exemplo

Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao f (x) =

x^2 x^2 − 1

Solu¸c˜ao: Vamos seguir o mesmo procedimento adotado no exemplo anterior.

Dom´ınio: Neste caso

Dom(f ) = R \ {− 1 , 1 }.

Pontos de intersec¸c˜ao: A origem (0, 0) ´e o ´unico ponto de intersec¸c˜ao com ambos os eixos uma vez que f (0) = 0 e f (x) = 0, se e somente se, x = 0.

Derivada Primeira: Utilizando a regra do quociente, encontramos

f ′(x) = − 2 x (x^2 − 1)^2

N´umeros cr´ıticos de f : Somente x = 0.

Intervalos onde f ´e crescente: A fun¸c˜ao f ´e estritamente crescente em (−∞, −1) e em (− 1 , 0], pois f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, −1) ∪ (− 1 , 0).

Intervalos onde f ´e decrescente: A fun¸c˜ao f ´e estritamente decrescente em [0, 1) e em (1, ∞), pois f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞).

Ass´ıntotas Verticais: Temos que −1 e 1 n˜ao pertencem ao dom´ınio de f e a fun¸c˜ao ´e cont´ınua nos demais pontos. Assim, calculando os limites

lim x→− 1 −

x^2 x^2 − 1

= ∞, lim x→− 1 +

x^2 x^2 − 1

lim x→ 1 −

x^2 x^2 − 1

= −∞, lim x→ 1 +

x^2 x^2 − 1

obtemos que x = −1 e x = 1 s˜ao ass´ıntotas verticais do gr´afico.

Ass´ıntotas horizontais: Calculamos os seguintes limites

lim x→−∞

x^2 x^2 − 1

= 1, lim x→∞

x^2 x^2 − 1

segue que y = 1 ´e a ass´ıntota horizontal do gr´afico de f.

Resumindo:

I (^) Dom(f ) = R \ {− 1 , 1 }; I (^) intercepta os eixos somente no ponto (0, 0); I (^) as retas x = −1 e x = 1 s˜ao ass´ıntotas verticais; I (^) a reta y = 1 ´e ass´ıntota horizontal; I (^) ponto cr´ıtico: x = 0; I (^) valor cr´ıtico f (0) = 0; I (^) f ´e estritamente crescente em (−∞, −1) e em (− 1 , 0]; I (^) f ´e estritamente decrescente em [0, 1) e em (1, +∞); I (^) o ponto x = 0 ´e um m´aximo local; I (^) o gr´afico de f ´e cˆoncavo para cima em (−∞, −1) ∪ (1, +∞); I (^) o gr´afico de f ´e cˆoncavo para baixo em (− 1 , 1); I (^) o gr´afico de f n˜ao possui pontos de inflex˜ao.

Exemplo

Seja f : R → R uma fun¸c˜ao deriv´avel. Os gr´aficos de f ′^ e f ′′^ s˜ao apresentados abaixo.

− 1 12 1 2 3

x

− 2

− 1

1

2

3

4

y

0

f ′