Aula: Derivadas de Ordem Superior, Provas de Cálculo

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MAT146 - C´alculo I - Derivadas de ordem

superior

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson Jos´e Teixeira

Derivadas de Ordem Superior

Seja I um intervalo em R e f : I → R uma fun¸c˜ao deriv´avel. A derivada de f , a fun¸c˜ao f ′, ser´a chamada de derivada primeira de f ou de fun¸c˜ao derivada primeira de f.

Caso a fun¸c˜ao f ′^ seja deriv´avel, a derivada de f ′^ ser´a denotada por f ′′^ e chamada de derivada segunda de f. Analogamente, se f ′′^ for deriv´avel, a derivada de f ′′^ ser´a denotada por f ′′′^ e chamada de derivada terceira de f.

Para n > 3 ,, a derivada n-´esima da fun¸c˜ao f , denotada por f (n), ´e a derivada primeira da fun¸c˜ao f (n−1)^ (derivada (n − 1)-´esima de f ).

Exemplo

Considere a fun¸c˜ao polinomial

f (x) = 2x^5 − x^3 + 8x − 7.

Temos que f ´e deriv´avel e segue que

f ′(x) = 10x^4 − 3 x^2 + 8.

Note que f ′^ tamb´em ´e deriv´avel, de onde obtemos

f ′′(x) = 40x^3 − 6 x.

Novamente, f ′′^ tamb´em ´e deriv´avel, logo

f ′′′(x) = 120x^2 − 6.

Assim, f ′′′^ tamb´em ´e deriv´avel e

f (4)(x) = 240x.

O mesmo para f (4),, de onde

f (5)(x) = 240.

Finalmente, f (5)^ tamb´em ´e deriv´avel e

f (6)(x) = 0.

Como f (6)^ = 0, segue que

f (7)^ = f (8)^ =... f (n)^ = 0,

para todo n > 7.

Exemplo

Calcule

d^2 y dx^2

, sendo y = x^2 sen(x) + ex^.

Aplicando as regras de deriva¸c˜ao, encontramos

d dx

(x^2 sen(x) + ex^ ) = 2x sen(x) + x^2 cos(x) + ex^.

Derivando a primeira derivada, obtemos a segunda derivada, ou seja,

d^2 dx^2

x^2 sen(x) + ex^

d dx

(2x sen(x) + x^2 cos(x) + ex^ )

= 2 sen(x) + 2xcos(x) + 2xcos(x) − x^2 sen(x) + ex = (2 − x^2 ) sen(x) + 4xcos(x) + ex^.