Testes Estatísticos para Comparação de Médias: Tipos e Métodos, Notas de aula de Probabilidade

Baixe Testes Estatísticos para Comparação de Médias: Tipos e Métodos e outras Notas de aula em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!

Mais sobre testes de compara¸c˜ao m´ultipla

Prof. Caio Azevedo

Prof. Caio Azevedo

J´a vimos como realizar compara¸c˜oes de interesse (em termos de igualdade de m´edias, existˆencia de intera¸c˜ao etc), atrav´es dos testes para a compara¸c˜oes H 0 : C β = 0. O teste visto para testar a hip´otese acima, pode ser facilmente adaptado para testar as hip´oteses

H 0 : C (^) (r ×p)β(p×1) = M(r ×1) vs H 1 : C (^) (r ×p)β(p×1) 6 = M(r ×1) Basta utilizar a seguinte estat´ıstica

Q = (^) r σ^1 ̂ 2

C β̂ − M

C (X ′X )−^1 C ′

C β̂ − M

e proceder da mesma forma anterior (M = 0 ). Prof. Caio Azevedo

Vamos nos concentrar no PCA com um ´unico fator (embora os desenvolvimentos possam ser estendidos para outras planejamentos). Primeiramente, lembremos o conceito de contraste. Um vetor C (^) (1×p) = [c 1 c 2 ... cp ] ´e dito ser um contraste se ∑k ∑i=1^ ni^ ci^ = 0. No caso de experimento balanceados, basta que ki=1 ci = 0. Uma matriz C (^) (q×p) ´e dita ser uma matriz de contrastes se suas linhas forem contrastes.

Prof. Caio Azevedo

Lembrando: temos μ 1 , μ 2 , ..., μk m´edias e supomos que o teste F relativo `a ANOVA rejeitou a igualdade simultˆanea das m´edias (embora isto n˜ao seja imprescind´ıvel). Nosso interesse ent˜ao ´e testar hip´oteses do tipo

H 0 : C (^) (1×k)μ(k×1) = 0 vs H 1 : C (^) (1×k)μ(k×1) 6 = 0 em que μ = (μ 1 , μ 2 , ..., μk ) Defina, para um dado C , o parˆametro γ = C μ = ∑ki=1 ci μi. Um estimador natural para γ ´e ̂γ = ∑ki=1 ci Y (^) i ,em que Y (^) i = (^) n^1 i^ ∑n j=1i Yij (estimador de m´ınimos quadrados do modelo completo).

Prof. Caio Azevedo

Seja D = (d 1 , d 2 , ..., dk ) um outro contraste. Dizemos que C e D s˜ao contrastes ortogonais se ∑ki=1 ni ci di = 0. No caso de um experimento balanceado, basta que ∑ki=1 ci di = 0. Em geral, para um conjunto de k tratamentos, podemos definir diversos contrastes (ortogonais) entre si, que representem hip´oteses de interesse. Retomemos o exemplo 2 (dados de absorbˆancia).

Prof. Caio Azevedo

Descri¸c˜ao do Exemplo 2

Quanto maior a absorbˆancia, melhor o solvente. Unidade experimental: 10 gramas de polpa do fruto de bagua¸c´u. Casualiza¸c˜ao: a partir de 1 kg de polpa, foram sendo retiradas amostras de 10 gramas, onde foram aplicados os tratamentos, numa ordem aleat´oria. Experimento balanceado : mesmo n´umero de observa¸c˜oes (unidades experimentais) por n´ıvel do fator. Lembrando: tratamentos 1,2,3,4 e 5, representam respectivamente os tipos de solvente E50, EAW, MAW, E70, M1M.

Prof. Caio Azevedo

M´etodo de Scheff´e para compara¸c˜ao de contrastes

Considere um conjunto de m constrastes de interesse dados por γu = c 1 u μ 1 + c 2 u μ 2 + ... + cku μk , u = 1, ..., m Os respectivos estimadores s˜ao dados por: ̂ γu = δu = c 1 u Y 1 + c 2 u Y 2 + ... + cku Y (^) k , u = 1, ..., m O erro-padr˜ao associado ao u-´esimo estimador, ´e dado por Sδu =

QMR ∑ki=1^ c n^2 iui lembrando que QMR = Quadrado m´edio residual = ̂σ^2

Prof. Caio Azevedo

M´etodo de Scheff´e para compara¸c˜ao de contrastes (cont.)

Schef´e estabeleceu um valor cr´ıtico para o teste, da seguinte forma: Rejeita-se H 0 se |δu | > Sα,u = Sδu^ √(k − 1)Fα,k− 1 ,n−k em que α ´e o n´ıvel de significˆancia apropriado e P(F > Fα,k− 1 ,n−k ) = α, F ∼ F(k− 1 ,n−k) Scheff´e provou que a probabilidade do erro do tipo I para cada um dos testes n˜ao ultrapassa α.

Prof. Caio Azevedo

Utilizando o R

O teste de Scheff´e tamb´em permite comparar m´edias par a par, dado que todas essas compara¸c˜oes est˜ao relacionadas `a contrastes. O procedimento ´e similar ao anterior. Existe uma pacote no R chamado agricolae que permite fazer compara¸c˜oes desse tipo, usando o m´etodo de Scheff´e e outros que veremos. Vamos utiliz´a-lo em nosso exemplo.

Prof. Caio Azevedo

Resultado da aplica¸c˜ao do teste de Scheffe

tratamento M´edia Grupo n erro-padr˜ao 1 E70 0,61 a 5 0, 2 EAW 0,57 ab 5 0, 3 E50 0,54 b 5 0, 4 MAW 0,45 c 5 0, 5 M1M 0,20 d 5 0,

Prof. Caio Azevedo

Teste de Tukey

O teste de Tukey faz uso de percentis da distribui¸c˜ao da seguinte estat´ıstica Q = Y √^ max^ −^ Y^ min QMR/n

em que n ´e o tamanho amostral para cada tratamento. Se o experimento for desbalanceado, pode-ser usar uma m´edia aritm´etica dos tamanhos amostrais. Al´em disso Y (^) max ´e a maior m´edia amostral e Y (^) min ´e a menor m´edia amostral. O n´ıvel de significˆancia global (considerando todos os testes) ´e exatamente igual `a α. Prof. Caio Azevedo

Teste de Tukey (cont.)

Rejeita-se H 0 , para um dado α, se

|Y (^) i − Y (^) j | > Tα, em que Y (^) i m´edia amostral do i-´esimo tratamento e

Tα = qα^ √(k 2 ,^ f^ )

QMR

ni^ +

nj

f ´e o n´umero de graus de liberdade do res´ıduo e qα(k, f ) ´e o quantil de ordem α da distribui¸c˜ao da estat´ıstica (1)

Prof. Caio Azevedo

Teste LSD de Fisher

O teste LSD (“Least significance difference”) de Fisher, baseia-se na seguinte estat´ıstica

T = √ Y^ i^ −^ Y^ i QMR

ni +^ n^1 j

Rejeita-se H 0 se

|Y (^) i − Y (^) j | > t(α/ 2 ,n−k)

QMR

ni^ +

nj

em que P(T > t(α/ 2 ,n−k)) = α/ 2 , T ∼ t(n−k)

Prof. Caio Azevedo

Resultado da aplica¸c˜ao do teste LSD

Tratamento m´edia grupo n erro-padr˜ao LIIC LSIC 1 E70 0,61 a 5 0,01 0,59 0, 2 EAW 0,57 b 5 0,01 0,55 0, 3 E50 0,54 b 5 0,01 0,51 0, 4 MAW 0,45 c 5 0,02 0,41 0, 5 M1M 0,20 d 5 0,01 0,17 0,

Prof. Caio Azevedo