MA111 - Cálculo I
Aula 4 - Definição Precisa de Limite
Marcos Eduardo Valle
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Definição Precisa de Limite em Cálculo I, Esquemas de Cálculo
Neste documento, o professor marcos eduardo valle apresenta as definições precisas de limite de uma função, incluindo limites a esquerda, direita e infinitos. Ele também fornece exemplos para ilustrar as ideias. Extraído da disciplina de cálculo i (ma111).
O que você vai aprender
- Como se define o limite de uma função a esquerda?
- Como se define o limite de uma função a direita?
- Qual é a definição precisa de limite de uma função?
Tipologia: Esquemas
2022
1 / 8
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MA111 - Cálculo I
Aula 4 - Definição Precisa de Limite
Marcos Eduardo Valle
Introdução
Na aula 3, vimos como o problema da tangente e da velocidade estão relacionados ao conceito de limite de uma função.
Inicialmente, escrevemos
xlim→a f^ (x) =^ L
se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente próximo, mas diferente, de a.
Essa afirmação é vaga. O que significa arbitrariamente próximo?
Definição precisa de Limite:
Definição 1 (Limite)
Seja f uma função definida sobre um intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente o próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a é L, e escrevemos
lim x→a f (x) = L,
se, para todo > 0, existe um δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < .
Definição 2 (Limite a Esquerda e a Direita)
Seja f uma função definida sobre um intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente o próprio a.
- (^) Escrevemos lim x→a−^
f (x) = L,
se para todo > 0, existe um δ > 0 tal que
a − δ < x < a =⇒ |f (x) − L| < .
- (^) Escrevemos lim x→a+^ f (x) = L,
se para todo > 0, existe um δ > 0 tal que
a < x < a + δ =⇒ |f (x) − L| < .
Exemplos
Exemplo 4
Mostre, usando a definição de limite, que
a) lim x→ 3 ( 4 x − 5 ) = 7.
b) lim x→ 0 +
x = 0.
c) lim x→ 3
x^2 = 9.
d) lim x→ 0
x^2
e) Se lim x→a f (x) = L e lim x→a g(x) = M, então
lim x→a
[
f (x) + g(x)
]
= L + M.
Considerações Finais
O limite de uma função é usado para estudar o comportamento da função próximo de um ponto que, muitas vezes, não pertence ao domínio da função.
Na aula de hoje formalizamos o conceito de limite de uma função.
Vimos também alguns exemplos de como mostramos que o limite de uma função f (x) quando x tende a a é L.
Na próxima aula, veremos que não precisamos recorrer sempre à definição de um limite; podemos usar suas propriedades!
Muito grato pela atenção!