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Lista de exercícios de derivadas de máximo e mínimo., Exercícios de Práticas e Gestão de Laboratórios

Centro Universitário de Ensino Superior do Amazonas (CIESA)Práticas e Gestão de Laboratórios

Exercícios de derivadas máximo e mínimo

Tipologia: Exercícios

2021

Compartilhado em 22/06/2021

marcos-oliveira-7q1
marcos-oliveira-7q1 🇧🇷

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bg1
EXERCíCIOS11.1
Encontrando Extremos Locais
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela
nas funções dos exercícios 1-20.
1. J(x, y) =X2 +xy +/+3x -3y + 4
2. J(x, y) =2xy - 5r - 2/ + 4x +4y - 4
3. J(x, y) =X2+xy +3x +2y + 5
4. f(x, y) =5xy -7X2+3x -6y + 2
5. f(x, y) = 3.r2+ 6xy + 7/ - 2x +4y
6. f(x, y) =2X2+3xy+ 4/ - 5x +2y
7. f(x, y) =X2-/-2x +4y + 6
8. }(x, y) =X2-2xy + 2/ - 2x +2y + 1
9. f(x, y) = 3 + 2x + 2)' - 2X2-2xy -i
,~
pf3
pf4

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Baixe Lista de exercícios de derivadas de máximo e mínimo. e outras Exercícios em PDF para Práticas e Gestão de Laboratórios, somente na Docsity!

EXERCíCIOS11.

Encontrando Extremos Locais

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos exercícios 1-20.

  1. J(x, y) = X2 + xy + / + 3x - 3y + 4
  2. J(x, y) = 2xy - 5r - 2/ + 4x + 4y - 4
    1. J(x, y) = X2 + xy + 3x + 2y + 5
      1. f(x, y) = 5xy - 7X2 + 3x - 6y + 2

5. f(x, y) = 3.r2+ 6xy + 7/ - 2x + 4y

6. f(x, y) = 2X2 + 3xy + 4/ - 5x + 2y

  1. f(x, y) = X2 - / - 2x + 4y + 6

8. }(x, y) = X2 - 2xy + 2/ - 2x + 2y + 1

9. f(x, y) = 3 + 2x + 2)' - 2X2 - 2xy - i

  1. f(x, y) == x.1 - y' - 2xy + 6
  2. f(x, y) == x.1 + 3.ry + y.
  3. f(x, y) = 6X2 - 2x.1 + 3l + 6xy
  4. f(x, y) == 9x' + //3 - 4xy
  5. f(x, y) == x.1 + y-' + 3x2 - 3y2 - 8
  6. f(x, y) = 4xy - X4 - l
  7. f(x, y) = x4 + y-l + 4x)'

I

  1. f(x, y) ==_ 2? X +y--l
  2. f(x, y) = y sen x
I 1
  1. f(x, y) == X + xy + y
  2. f(x, y) = e2r cos y

Encontrando Extremos Absolutos

Nos exercícios 21-26, encontre os máximos e n1ínimos absolufbS das funções nos domínios dados.

  1. f(x, y) = 2X2 - 4x + / - 4)' + I na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = O, Y = 2, )' = 2x no primeiro qua- drante.
  2. f(x, y) == X2 + / na placa triangular fechada e limitada pelas retas x ==O,Y= O, Y + 2x ==2 no primeiro quadrante.
  3. T(x, y) == X2 + xy + / - 6x + 2 na placa retangular O :$ X :$ 5, - 3 ::; y ::; O.
  4. f(x, y) = 48x)' - 32x.1 - 241 na placa retangular O ::; x ::; 1, O::; y ::; 1.
  5. f(x, y) == (4x - X2) cos y na placa retangular 1 ::; x ::; 3,
  • rr/4 ::; y ::; 1i/4.

z. = (4x - x2) cosy z

íU.!'! roE .cli> ro~ a;o c.

A função e seu domínio do Exercício 25.

26. f(x, y) == 4x - 8xy + 2y + 1 na placatriangularlimitadapelas

retas x == O, Y == O, x + y == 1 no primeiro quadrante.

  1. Maximizandouma integral Encontre dois números a e b com a ::; b tais que

f

/ (6 - x - X2)dx a tenha seu valor máximo

  1. Maximizandouma integral Encontre dois números a e b com a ::; b tais que

f

a (24 - 2x - X2)1/J dx tenha seu valor máximo.

11.7 ValoresExtremose Pontos de Sela 325

29. Temperaturasextremas A placa circularplana da Figura 11.

tem o formato da região X2 + l ::; 1. A placa, incluindo a fronteira onde x2 + i = 1, é aquecida de tal modo que a tem- peratura no ponto (x, y) é

T(x, y) = X2 + 2)'2- x.

Encontre as temperaturas nos pontos mais quentes e mais frios elaplaca.

)'

íU.!'! ro x (^) .cEQ) ro ~o a;c. "Oo mli> ~

FIGURA 1 1.54 Curvas de temperatura constante são chamadas de isotermas. A figura mostra isotermas da função temperatura T (x,y) = x2 + 2i - x no disco X2 + l ~ 1 no plano xy. O Exercício 29 pede a você que localize as tem- peraturas extremas..

30. Identificandopontoscríticos Encontreo pontocríticode

f(x, y) == x)' + 2x - ln X2)'

no primeiro quadrante abe110 (x > O,y > O)e mostre que f as- sume um valor mínimo lá (Figura 11.55).

y

/ rn!,! roE .cQ) ro~ a;o c. "Oo <;S Qj

o^ x^ Q.

FIGURA11.55 A funçãofix, y) = .::'y + 2x - lnx2y (curvas

de nível selecionadas são mostradas aqui) assume um valor

mínimo em algum lugar no primeiro quadran'teaberto x >

O, Y > O(Exercício 30).

Teoria e Exemplos

  1. Escrevendopara aprender Encontre os máximos, mínimos e pontos de sela def(x, y), se existirem, dados (a) J.. == 2x - 4y e /;. == 2y - 4x (b) f. = 2x - 2 e /;. == 2y - 4 (c) ir = 9X2 - 9 e /;. = 2)' + 4. Descreva seu raciocínio em cada caso.
  2. Escrevendo para aprender: quando a derivada segunda é inconclu- dente O discriminante fxx/;'y - i-/ é zero na origem para cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada se-

(2: Xk)( 2: )'k) - 1/ 2: Xk)'k

111 = , (2: X,)' - 11 2: X,'

b = ir (2: )'k - 111 2: Xk).

  1. Craterasde Mo/le Uma teoria para a formação de crateras su- gere que a freqÜência de crateras grandes diminui com o qua- drado do diâmetro (MarclIs, Sciellce, 21 jun. 1968, p. 1334). Fotos tiradas a partir da Mariner IV mostram as freqÜências {c- lacionadas na Tabela 11.1. Use os resultados do Exercíci6 f para ajustar uma reta da forma F = m( 11D2) + b aos dados. Represente graficamente os dados e trace a reta. . ,'i," é< ,. 'f"" ':;V~1'>~, '~':"" J' "" '" 1.1 Tam~nho~.cla~cr~tfra$"em:'f.Marte; _,Jr.."'" ~".';~,:,~~~l;~L,,"~,L/~';H ~~:jJ}

1/ D2 (para o lado esquerdo do intervalo de classe) Frequência, F

Diâmetro em

km,D

11.8 Multiplicadores de Lagrange 327

,;\1~' "",,'[.~ ~

, USANDOO COMPUTADOR

Explorando Extremos Locais em Pontos Críticos

Nos exercícios 47-52, você explorará funções para identificar ex- tremos locais em pontos críticos. Use um sistema de álgebra por computador (SAC) para executar os passos a seguir. (a) Trace a função no retângulo dado. (b) Trace algumas curvas de nível no retângulo. (c) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função e use a resolução de equações de um SAC para encontrar os pontos críticos. Como os pontos críticos se relacionam às curvas de nível representadas no item (b)? Quais pontos críticos, se algum, parecem fomecer um ponto de sela? Justifique sua resposta. (d) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função e encontre o discriminante J,riy.'" - J,/. (c) Usando os testes de máximo e mínimo, classifique os pon- tos críticos encontrados no item (c). Seus resultados são coerentes com sua discussão no item (c)?

  1. f(x, y) = X2 +)'3 - 3x)', -5:::; x:::; 5, -5:::; y:::; 5
  2. f(x, y) = x' - 3xl + )'2, - 2 :::; x :5 2, - 2 s; y :::; 49.f(x, y) = x4 +)'2 - 8x2 - 6y + 16, -3:::; x:::; 3. -6:::; y S; 6

50. f(x, y) = 2X4 + l- 2X2 - 2/ + 3, -3/2:::; x:::; 3/2,

  1. f(x, )') = 5X6 + 18x5 - 30x4 + 30X)'2 - 120X3, -4 :::; x :::;3.
    • 2 :::;)' :::; . , -

X5 ln (x2 + )'2), - (x, y) =1= (O, O)

  1. f(}:., )) - O, (x, y) = (O,O)
    • 2 :::; x :::; 2, (^) - 2 :::; )' :::; 2