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Universidade Federal do Paraná 2 ◦^ semestre 2016. Algebra Linear Olivier Brahic
Lista de exercícios 4
Inversão de Matrizes
Exercício 1: quais das matrizes seguintes são elementares? Classifique cada matriz por tipo.
a)
b)
c)
(^) d)
Exercício 2: Encontre inversa de cada matriz no exercício 1. Para cada matriz elementar, verifique que sua inversa é elementar do mesmo tipo. Exercício 3: Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que EA = B.
a) A =
B =
) b)^ A^ =
B =
c) A =
B =
Exercício 4: Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que AE = B.
a) A =
B =
b) A =
B =
) c)^ A^ =
B =
Exercício 5: Seja A :=
a) Ache matrizes elementares E 1 , E 2 , E 3 de tipo III tais que E 3 E 2 E 1 A = U , onde U é uma matriz triangular superior.
b) Determine as matrizes inversas de E 1 , E 2 , E 3 e faça L = E 1 − 1 E 2 − 1 E 3 − 1. Que tipo de matriz é L? Verifique que A = LU.
Exercício 6: Calcule a fatoração LU de cada uma das seguintes matrizes: a)
b)
c)
(^) d)
Exercício 7: Seja A :=
. Verifique que A−^1 =
(^) e use A−^1 para resolver Ax = b para os seguintes escolhas de b: i) b = (1, 1 , 1)ᵀ, ii) b = (− 2 , 1 , 0)ᵀ, iii) b = (1, 2 , 3)ᵀ.
Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercício 9: Para cada um dos seguintes sistemas de equações, encontre as matrizes associ- adas A, x e b, ache a inversa de A, e use-a para resolver o sistema.
a)
x 1 = √π − 5 x 1 + x 2 = 2 20 x 1 − 4 x 2 + x 3 = 4.
b)
2 x 1 − x 2 = 4 −x 1 + 2x 2 − x 3 = 2 − x 2 + 2x 3 = 4.
c)
x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 x 2 + 4x 3 = − 1 5 x 1 + 6x 2 = 1.
Exercício 10: Dados A :=
e B :=
. Calcule A−^1 e use-a para: a) achar uma matriz 2 × 2 , X, tal que AX = B.
b) achar uma matriz 2 × 2 , Y , tal que: Y A = B.
Exercício 11: Sejam A :=
, B :=
C :=
. Encontre uma matriz X ∈ M 2 , 2 (R) tal que: a) AX + B = C b) AX + B = X c) XA + B = C d) AX + C = X
Exercício 12: Seja A uma matriz 3 × 3 cujas colunas a 1 , a 2 , a 3 verificam 2 a 1 + a 2 − 4 a 3 = 0. Quantas soluções tem o sitema Ax = 0? Explique. A é não singular? Explique. Exercício 13: Seja A uma matriz 3 × 3 cujas colunas a 1 , a 2 , a 3 verificam a 1 = 3a 2 − 2 a 3. O sistema Ax = 0 tem uma única soluça o? A é não singular? Explique suas respostas.
Resolução do Exercício 3: a) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, multiplicando a primeira linha L 1 por − 2 L 1. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar: E =
Podemos verificar que, de fato, temos: EA =
= B.
b) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, trocando as linhas L 2 e L 3. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar:
E =
Podemos verificar que, de fato, temos:
EA =
= B.
c) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, adicionando a linhas L 3 por um multiplo 2 L 2 de L 2. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à esquerda pela matriz elementar: E =
Podemos verificar que, de fato, temos:
EA =
= B.
Resolução do Exercício 4: a) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, trocando a colunas C 1 com C 1. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar:
E =
Podemos verificar que, de fato, temos:
AE =
= B.
b) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, adicionando − 3 C 1 à coluna C 3. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar: E =
Podemos verificar que, de fato, temos: AE =
= B.
c) Observemos que a matriz B é obtida da matriz A, multiplicando a coluna C 1 por 1 / 2. Tal operação em linha coresponde a multiplicar A à direita pela matriz elementar:
E =
Podemos verificar que, de fato, temos:
AE =
= B.
Resolução do Exercício 5: a) Basta efetuar tres operações em linhas de tipo III para passar de A a uma matriz triangular superior. A cada passo, obtemos uma matriz elementar Ei (de tipo III). Neste caso:
A :=
(L 1 )
(L 2 )
(L 3 )
passo ; 1 A′ (^) :=
(L′ 1 = L 1 )
(L′ 2 = L 2 − 2 L 1 )
(L′ 3 = L 3 )
passo ; 2 A′′ (^) :=
(L′′ 1 = L′ 1 )
(L′′ 2 = L′ 2 )
(L′′ 3 = L′ 3 − 3 L′ 1 )
passo ; 3 A′′′ (^) :=
(L′′′ 1 = L′′ 1 )
(L′′′ 2 = L′′ 2 )
(L′′′ 3 = L′′ 3 + L′′ 2 )
A cada passo, a nova matriz é obtida por operação em linhas, ou seja, por multiplicação à esquerda por uma matriz elementar, temos mais especificamente:
A′^ = E 1 A, onde : E 1 :=
A′′^ = E 2 A′, onde : E 2 :=
A′′′^ = E 3 A′′, onde : E 3 :=
b) A fatoração LU da matriz A =
é dada por:
A = LU, onde L :=
, e U :=
c) A fatoração LU da matriz A =
(^) é dada por:
A = LU, onde L :=
(^) , e U :=
d) A fatoração LU da matriz A =
(^) é dada por:
A = LU, onde L :=
(^) , e U :=
Resolução do Exercício 7: Calculemos que:
logo a inversa de A :=
(^) é a matriz A−^1 =
Usemos A−^1 para resolver Ax = b para os seguintes escolhas de b: a matriz A sendo invertível, com inversa A−^1 , o sistema tem uma única solução x, dada por:
i) Temos: x = A−^1 · b =
ii) Temos: x = A−^1 · b =
iii) Temos: x = A−^1 · b =
Resolução do Exercício 8: Encontramos as inversas seguintes: a)
b)
c)
d)
e)
− 1
f)
− 1
g)
− 1
h)
− 1
Resolução do Exercício 9: a) O sistema: (^)
x 1 = √π − 5 x 1 + x 2 = 2 20 x 1 − 4 x 2 + x 3 = 4
é equivalente a A · x = b, onde as matrizes associadas são dadas por:
A =
(^) , b =
√π 2 4
(^) , e x =
x 1 x 2 x 3
A matriz A é invertivel, com inversa:
A−^1 =
− 1
Logo o sistema tem uma única solução x, dada por x = A−^1 · b, isso é:
x 1 x 2 x 3
√π 2 4
√π 5 √π + 2 12
Resolução do Exercício 10: Calculemos que A−^1 :=
Usemos A−^1 para encontrar as matrizes X, Y ∈ M 2 , 2 (R): a) Temos: AX = B ⇐⇒ A−^1 AX = A−^1 B, ⇐⇒ X = A−^1 B, Logo: X =
b) Temos: Y A = B ⇐⇒ Y AA−^1 = BA−^1 , ⇐⇒ Y = BA−^1 , Logo: Y =
Resolução do Exercício 11: a) A matriz A sendo invertível, com inversa:
A−^1 =
podemos calcular que: AX + B = C ⇐⇒ AX = C − B, ⇐⇒ A−^1 AX = A−^1 (C − B), ⇐⇒ X = A−^1 (C − B). Logo existe uma única matriz X satisfazendo a equação AX + B = C, dada por: X =
b) A matriz A − I 2 sendo invertível, com inversa:
(A − I 2 )−^1 :=
podemos calcular que: AX + B = X ⇐⇒ AX − X = −B, ⇐⇒ (A − I 2 )X = −B ⇐⇒ (A − I 2 )−^1 (A − I 2 )X = (A − I 2 )−^1 · (−B), ⇐⇒ X = −(A − I 2 )−^1 · B. Logo existe uma unica matriz X tal que AX + B = X, dada por: X = −
c) A matriz A sendo invertível, com inversa:
A−^1 :=
podemos calcular que: XA + B = C ⇐⇒ XA = C − B, ⇐⇒ XAA−^1 = (C − B)A−^1 , ⇐⇒ X = (C − B)A−^1. Logo existe uma única matriz X tal que XA + B = C, dada por: X =
d) A matriz A − I 2 sendo invertível, com inversa:
(A − I 2 )−^1 =
podemos calcular que: AX + C = X ⇐⇒ AX − X = −C, ⇐⇒ (A − I 2 )X = −C, ⇐⇒ (A − I 2 )−^1 (A − I 2 )X = −(A − I 2 )−^1 C, ⇐⇒ X = −(A − I 2 )−^1 C. Logo existe uma unica matriz X tal que QX + C = X, dada por: X = −
Resolução do Exercício 12: Se A é uma matriz 3 × 3 cujas colunas a 1 , a 2 , a 3 verificam 2 a 1 + a 2 − 4 a 3 = 0 , é fàcil verificar que o sistema Ax = 0 tem solução x = (2, 1 , −4), pois:
A ·
(^) a 1 a 2 a 3
(^) = 2a 1 + a 2 − 4 a 3 = 0.
É fácil verificar tambem que (2α, α, − 4 α) é solução para qualquer α ∈ R, pois:
A ·
(^) a 1 a 2 a 3
2 α 1 α − 4 α
(^) = 2αa 1 + αa 2 − 4 αa 3 = α(2a 1 + a 2 α − 4 a 3 ) = 0.
Logo o sistema tem uma infinidade de soluções. A matriz A não pode ser invertível, pois se for, o sistema teria uma única solução (que serià x = (0, 0 , 0)). Resolução do Exercício 13: Neste caso, as colunas de A satisfazem a equação: −a 1 + 3a 2 − 2 a 3 = 0.
