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Lançamento de projéteis
1 Objetivo
Estudar o comportamento de projéteis quando lançados obliquamente na superfície da Terra. De- terminar experimentalmente a trajétoria do projétil e comparar com o modelo teórico.
2 Introdução Teórica
Ao se estudar o movimento de corpos sob ação da gravidade, observa-se algumas características, que intrigaram muitos cientistas ao longo da história. Assim, por exemplo, poderia se perguntar porque corpos lançados para cima, caem novamente ao solo. Ao lançar um projétil, observa-se que a sua trajetória é uma curva. Em particular, se o arremesso for feito horizontalmente a partir de uma determinada altura em relação à superfície, a trajetória é inclinada para baixo logo após o lançamento. Galileu Galilei foi o primeiro cientista a responder qual seria a curva descrita por este projétil e sugeriu que o movimento poderia ser descrito através da composição de dois movimentos: Um Movimento Retilínio Uniforme (MRU) na horizontal e um Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) na vertical, sujeito à aceleração da gravidade, análogo ao movimento de queda livre. É importante observar que estas aproximações valem quando a in uência da resistência do ar pode ser desprezada e quando o movimento ocorre próximo à superfície da Terra, ou seja, em alturas muito pequenas comparadas com o raio da Terra, que é de aproximadamente 6370 km. Além disso, considera-se a superfície da Terra como sendo plana.
Considere o lançamento de um projétil de massa m por um canhão inclinado de um ângulo θ, con- forme mostra a gura Fig.1. O projétil é lançado do repouso, sobre a superfície da Terra, a partir da origem de um sistema de coordenadas xy. O projétil abondona o canhão com uma velocidade inicial v ~ 0. A partir daí, o projétil descreve uma trajetória curvilínea até atingir o solo a uma distância x = A, denominada de alcance.
Fig. 1: Lançamento de um projétil no plano x, y.
De acordo com a proposta de Galileu, o movimento do projétil é decomposto em duas partes discu- tidas abaixo.
Movimento Vertical
Nesta etapa, o projétil descreve um Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), cuja equação da posição vertical y(t) em função do tempo t, é:
y = y 0 + vy 0 t +
ayt^2 (1)
onde y 0 é a altura inicial do projétil, vy 0 é a velocidade inicial vertical e ay é a celeração vertical que, em módulo, é igual a aceleração da gravidade g. Assumindo y 0 = 0, vy 0 = v 0 senθ e ay = −g, a Eq.1, torna-se
y = v 0 senθt −
gt^2 (2)
Movimento Horizontal
Nesta etapa, o projétil descreve um Movimento Retilíneo Uniforme(MRU), cuja equação da posição horizontal x(t) em função do tempo t, é:
x = x 0 + vx 0 t (3)
onde x 0 é a distância horizontal inicial do projétil e vx 0 é a velocidade inicial horizontal. Assumindo x 0 = 0 e vx 0 = v 0 cosθ, a Eq.3, torna-se
t =
x v 0 cosθ
Substituindo a Eq.4 na Eq.2, obtém-se
y = v 0 senθ
x v 0 cosθ
g
x v 0 cosθ
ou
y = tgθx −
g 2 v 02 cos^2 θ
x^2 (5)
Quando x = A, tem-se y = 0. Substituindo esses valores na Eq.5, obtém-se
0 = tgθA −
g 2 v^20 cos^2 θ
A^2 ⇒
g 2 v^20 cos^2 θ
A =
senθ cosθ
⇒ gA = 2v 02 senθcosθ
⇒ gA = v 02 sen 2 θ ⇒ v 02 =
gA sen 2 θ ou
A =
v 02 g
sen 2 θ (6)
Neste experimento, o valor de v 0 será sempre o mesmo para todos os valores do ângulo θ. Em Particular, pode-se calcular o valor de v 0 escolhendo θ = 45^0. Nesse caso, a Eq.6, torna-se
v^20 =
gA 450 sen 900
= gA 450 (7)
onde A 450 é o alcance, que deve ser medido para θ = 45^0. Substituindo a Eq.7 na Eq.5, obtém-se
y = tgθx −
2 A 450 cos^2 θ
x^2 (8)
Fig. 3: (a) Procedimento geral dos alinhamentos das posições de referência x = 0 e y = 0 para o lançamento de projéteis.
- Prepare o experimento posicionando o anteparo em frente ao canhão,inicialmente a uma dis- tância x = 0, 2000 m, comforme mostra a fotogra a das Figs.4(a) e (b). Engatilhe o canhão, conforme mostrado em detalhes na fotogra a das Fig.4(c). Para se ter uma idéia do local que será atingido pelo projétil, dispare o canhão em direção ao anteparo, conforme mostrado em detalhes na fotogra a da Fig.4(d).
Fig. 4: (a)e(b) Posicionamento do anteparo em x = 0, 2000 m , (b)e(c)Uso do gatilho do canhão.
- Com um pedaço de ta crepe, prenda o papel carbonado na região que, provavelmente, será atingida pelo projétil, como mostrado na Fig.5(a), e faça 5 disparos. Levante o papel carbonado do anteparo e observe os 5 pontos marcados no anteparo, conforme mostrado na fotogra a da Fig.5(b) e (c). Refaça um lançamento caso o projétil atinja um local muito afastado dos demais pontos do anteparo.
- Conforme detalhado na sequência das fotogra as das Figs.6(a),(b) e (c), meça as 5 alturas y marcadas no anteparo e anote-as na Tab.1. Com o lenço de papel embebido em alcool, apague as marcas deixadas no anteparo, como mostra a fotogra a da Figs.6(d).
Fig. 5: (a)Papel carbonado preso por ta crepe,(b) e (c) marcas deixadas no anteparo em locais atingidos pelo projétil.
x (m) y 1 (m) y 2 (m) y 3 (m) y 4 (m) y 5 (s) (〈y〉 ± δy) (m) 0 , 2000 0 , 3000 0 , 4000 0 , 5000 0 , 6000 0 , 7000 0 , 8000 0 , 9000
Tab. 1: Tabela de dados para as posições x e y do projétil.
- Repita os passos de 2 a 4 para todas as distâncias x do anteparo indicadas na Tab.1.
- Calcule os valores médios 〈y〉 das 5 medidas de y, bem como, as incertezas totais δy corre- spondentes, para cada uma das distâncias x do anteparo, indicadas na Tab.1. Como aqui as incertezas aleatórias (posições dos pontos marcados no anteparo) são muito maiores do que a incerteza do aparelho (escala milimetrada), pode-se assumir somente a incerteza aleatória, dada pelo desvio padrão da média σm, como a incerteza total.
- Para construir o grá co da altura média 〈y〉 do projétil em função da distância x, marque os pontos da Tab.1 no papel milimetrado 1 anexo. No grá co, coloque barras de erro na vertical, referentes as medidas das alturas do projétil, trace a curva que melhor se ajusta aos pontos do grá co e observe se essa curva tem um comportamento parabólico conforme descrito pela Eq.9.
4.2 Comportamento do alcance A do projétil em função do ângulo θ de
inclinação do canhão
- Para esta experiência o anteparo deve ser montado na direção horizontal, conforme detalhado na sequência das fotogra as da Fig.7. O nivelamento da superfície do anteparo pode ser feito com o nível de bolha.
- Escolha o ângulo θ = 20^0 de inclinação do canhão. Atuando nos parafusos de xação que apoiam o anteparo, faça um alinhamento da altura da superfície do anteparo com a posição vertical y = 0 do canhão, conforme detalhado na fotogra a da Fig.8.
Fig. 7: (a)(b)e(c)Sequências para a montagem do anteparo na horizontal.
Fig. 8: Alinhamento da altura da superfície do anteparo com a posição vertical y = 0 do canhão.
Fig. 9: Fixação do papel carbonado no anteparo.
Fig. 10: Folha de papel milimetrado 1.
