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Uma série de tabelas para o dimensionamento de lajes retangulares maciças com armadura simples. As tabelas fornecem os valores mínimos de armadura (as,mín) necessários para diferentes combinações de espessura da laje (h), cobrimento da armadura (c), resistência característica do concreto (fck) e resistência de escoamento do aço (fyk). Além disso, são apresentados os momentos fletores positivos de serviço para cada configuração. O documento abrange lajes com espessuras de 7 cm a 20 cm, cobrimentos de 2 cm e 2,5 cm, concretos com fck de 20 mpa a 55 mpa e aços com fyk de 500 mpa e 600 mpa. As tabelas são divididas em grupos i e ii, de acordo com a posição da linha neutra em relação à altura útil da seção. O documento fornece informações detalhadas para o dimensionamento de lajes de concreto armado, sendo útil para estudantes, engenheiros e profissionais da área de construção civil.
Tipologia: Exercícios
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Estrutura_TCC(1).do cx
Artigo apresentado ao curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade Católica de Brasília, como requisito parcial para a obtenção de Título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: DSc. Li Chong Lee Bacelar de Castro
Brasília 2015
Este trabalho propõe o dimensionamento e/ou verificação de lajes maciças por meio de tabelas práticas no Estado Limite Último, baseada na NBR 6118:2014. Essas tabelas indicam o domínio que a armadura se encontra com uma rápida visualização. Foram considerados os adimensionais (Kx, Kmd, Kz) fixados de uma forma a atender a ductilidade do aço como hipóteses de criação das tabelas. Foi feito o dimensionamento de um edifício, uma comparação com o dimensionamento pelo método convencional e também com tabelas semelhantes elaboradas por Júnior (2013) que foram, porém, baseadas na NBR 6118:2007.
Palavras-chave: Laje Maciça. Ductilidade. Domínio.
O concreto é uma mistura simples de cimento, areia, pedra e água. Sua principal característica é sua grande resistência a compressão, e, por ser feito de materiais abundantes no planeta, também é um material barato. Sabe-se que, apesar de resistir a esforços grandes de compressão, a resistência a tração do concreto é de, aproximadamente, 10% da resistência a compressão, de acordo com Adão (2010). Portanto, só o concreto não serve para construções de edifícios, tendo em vista que as peças estruturais trabalham em flexão pura, ou flexo-compressão. Então, juntaram um material bem resistente à tração no concreto simples, o aço.
O concreto mais adição de barras de aço é chamado de concreto armado. É com esse material que a maioria das construções são feitas hoje. Ele é um material que resiste bem a compressão por causa do concreto, e bem a tração por causa do aço. Por isso, ele é considerado um bom material para compor a estrutura. A estrutura de um edifício, usualmente é composto por lajes, que recebem, resistem as cargas atuantes diretamente; vigas, que recebem os esforços das lajes e de paredes; pilares, que recebem os esforços das vigas, e os transmite para a fundação, que tem a função de transmitir os esforços para o solo. Segundo Carvalho et al. (2009), o dimensionamento de um elemento estrutural consiste em impedir a ruína da estrutura ou de determinadas partes dela. Por ruína não se entende apenas o perigo de ruptura, que ameaça a vida os ocupantes, mas também as situações em que a edificação não apresenta um perfeito estado para utilização, por causa de deformações excessivas, fissuras inaceitáveis etc. Para o cálculo de uma estrutura, o método de cálculo na ruptura (ou dos estados-limite) é o mais usado atualmente. “Nesses métodos, a segurança é garantida fazendo que com que as solicitações correspondentes às cargas majoradas (solicitações de cálculo) sejam menores que as solicitações últimas, sendo estas as que levariam a estrutura à ruptura (ou a atingir um estado- limite último) se os materiais tivessem suas resistências reais (resistências características) minoradas por coeficientes de ponderação das resistências (resistências de cálculo). ” (CARVALHO, 2009, p. 42). As lajes são elementos estruturais planas, com uma de suas dimensões bem menor que as outras. Trabalham como placas, pois o carregamento é feito perpendicularmente a superfície da laje. Elas podem ser divididas em duas partes principais:
Maciças Nervuradas As lajes maciças são moldadas no local. Segundo Adão (2010), elas formam, juntamente com as vigas e os pilares de uma estruturam um conjunto monolítico (sua principal característica) com transmissão, entre todos seus elementos de esforços, deslocamentos e deformações. Verifica-se que sua execução encarece a estrutura, com grande quantidade de forma e escoramento. As lajes nervuradas contam com vigotas de concreto armado e bloco de enchimento, fornecida por empresas de lajes, e uma capa de concreto e aço colocada na obra pelo construtor. Segundo Botelho (2011), esse tipo de solução é usado principalmente para lajes de piso e cobertura, mas também para telhados e até escadas. O que desperta grande interesse pelo uso
Tabela 1: Hipóteses e parâmetros para lajes maciças retangulares em concreto armado
Fonte: Júnior (2013) adaptado
O objetivo da tabela para o dimensionamento de lajes é que de posse de todos os parâmetros da Tabela 1 e da relação de aço de acordo com o espaçamento (Tabela 2), é possível determinar os momentos fletores de serviços no intervalo limitado pelo domínio 2 e 3, com exclusão de parte do domínio 3, visando a ductilidade do aço.
Tabela 2 – Área da seção de barras da armadura passiva por unidade de comprimento (cm²/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480:1996. As (cm/m²) Esp. (cm) 3,4(1)^ 4,2(1)^ 5,0(1)^ 6,3^ 8,0^ 10,0^ 12,5^ 16, 10,0 0,91 1,39 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20, 10,5 0,86 1,32 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69 19, 11,0 0,83 1,26 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 18, 11,5 0,79 1,20 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 17, 12,0 0,76^ 1,15^ 1,64^ 2,60^ 4,19^ 6,54^ 10,23^ 16, 12,5 0,73 1,11 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16, 13,0 0,70 1,07 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15, 13,5 0,67 1,03 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 14, (continua)
h = d + c + Ф/
(continuação) As (cm/m²) Esp. (cm) 3,4(1)^ 4,2(1)^ 5,0(1)^ 6,3 8,0 10,0 12,5 16, 14,0 0,65 0,99 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 14, 14,5 0,63 0,96 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 13, 15,0 0,61 0,92 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 13, 15,5 0,59^ 0,89^ 1,27^ 2,01^ 3,24^ 5,07^ 7,92^ 12, 16,0 0,57 0,87 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 12, 16,5 0,55 0,87 1,23 1,95 3,14 4,91 7,67 12, 17,0 0,53 0,81 1,15 1,83 2,96 4,62 7,22 11, 17,5 0,52 0,79 1,12 1,78 2,87 4,49 7,01 11, 18,0 0,50^ 0,77^ 1,09^ 1,73^ 2,79^ 4,36^ 6,82^ 11, 18,5 0,49 0,75 1,06 1,68 2,72 4,25 6,63 10, 19,0 0,48 0,73 1,03 1,64 2,65 4,13 6,46 10, 19,5 0,47 0,71 1,01 1,60 2,58 4,03 6,29 10, 20,0 0,45 0,69 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10, (1) (^) Apenas para Aço CA-
Fonte: Júnior (2013)
As tabelas práticas foram desenvolvidas apenas com as bitolas de aço mais utilizadas nas construções de edifícios e com os espaçamentos usuais para armação principal, variando de 10 a 20cm. Caso o momento fletor de serviço seja igual ou menor que o momento fletor mínimo, basta adotar a armadura mínima (As,min). No Apêndice B, estão localizadas as tabelas práticas para armação de lajes retangulares em cruz, à flexão normal simples, e com altura (h) da seção variando de 7 a 20cm e cobrimento de 2 cm e 2,5 cm. Note que para lajes armadas em uma direção, pode-se adotar as mesmas tabelas de lajes armadas em cruz para armadura negativa, visto que as hipóteses e considerações, como armadura mínima, são as mesmas.
2.2 Dimensionamento de um edifício com tabelas práticas Para efeito de comparação, foram dimensionadas as mesmas lajes do mesmo edifício que dimensionado por Júnior (2013). O edifício citado é composto por subsolo, pavimento térreo, mezanino, um pavimento e cobertura. Trata-se de um edifício comercial com depósito no subsolo, uma loja no pavimento
2.4 Pré-Dimensionamento
2.4.1 Vão efetivos: Com o lançamento definido, e as larguras das vigas, pode-se calcular o vão efetivo de laje pela seguinte expressão:
𝑙𝑒𝑓 = 𝑙 0 + 𝑎 1 + 𝑎 2 (1)
Com 𝑎 1 = 𝑚í𝑛 [ 0,5 𝑥 𝑡0,3 𝑥 ℎ 1 ] (2)
e 𝑎 2 = 𝑚í𝑛 [ 0,5 𝑥 𝑡0,3 𝑥 ℎ 2 ] (3)
Onde: 𝑙𝑒𝑓 = Vão efetivo da laje 𝑙 0 = distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos 𝑡 = comprimento do apoio paralelo ao vão da laje analisada ℎ = espessura da laje
Figura 1: Elementos para cálculo de vão efetivo Fonte: NBR 6118:
Tabela 3: Vãos efetivos. Laje l0,x (m) l0,y (m) a 1 (m) a 2 (m) lef,x (m) lef,y (m) 1 3,17 4,76 0,03 0,03 3,23 4, (continua)
(continuação) Laje l0,x (m) l0,y (m) a 1 (m) a 2 (m) lef,x (m) lef,y (m) 2 2,30 2,95 0,03 0,03 2,36 3, 3 2,35 2,95 0,03 0,03 2,41 3, 3 3,40 4,76 0,03 0,03 3,46 4, Fonte: Elaborada pelo autor
2.4.2 Estimativa da altura útil: De acordo com Machado (2003) apud Pinheiro et al. (2010), a altura útil da laje pode ser estimada, em centímetros, por: 𝑑 = (2,5 − 0,1 𝑥 𝑛) 𝑥 𝑙∗^ (4)
Onde: 𝑛 = número de bordas engastada 𝑙∗^ = 𝑚í𝑛 [ (^) 0,7 𝑥 𝑙𝑙𝑥 𝑦] (5)
Foram definidas vinculações entre todas as lajes e apoio simples com vigas não engastadas nas bordas das lajes, conforme Figura 2.
2.5 Cargas nas lajes Este trabalho apresentará apenas o dimensionamento das lajes da cobertura do projeto em anexo, de onde foram dimensionadas o mesmo conjunto de lajes por Júnior (2013), a fim de comparar os efeitos da nova revisão da NBR 6118 e do aprimoramento das tabelas, ainda procurando mostrar a viabilidade e prática do uso das tabelas propostas. Os momentos e reações das lajes serão calculados com o auxílio das tabelas de Quinhões e Czerny, respectivamente, em anexo. As cargas a serem consideradas para o cálculo das lajes da cobertura são o peso próprio, revestimento, carga da caixa d’água de 750 litros, carga acidental e carga do telhado. Considerando a espessura h = 10 cm, de acordo com a Tabela 4, para todas as lajes, resulta o peso próprio 25 kN/m² x 0,10 m = 2,5 kN/m². Para o revestimento, adota-se a carga de 0,8 kN/m² em todas as lajes. Já a carga da caixa d’água de 750 litros será considerada apenas na laje 3, onde ela se encontra. Como 750 litros equivale a 0,75 m³ e o peso específico da água é de 10 kN/m², assim, obtém-se que a carga da caixa d’água equivale a 7,5 kN. A laje 3 tem dimensões de 2,45 m por 3,07 m, resultando uma relação entre as dimensões inferiores a 2, o que indica ser uma laje armada nas duas direções, o que permite transformar a carga da caixa d’água concentrada em carga uniforme equivalente (Tabela 5), para isso basta dividir o peso da caixa d’água pela área da laje. Tabela 5: Carga da caixa d'água.
Laje lx (m) ly (m) Área(m²) d'Água (kN)^ Peso Caixa^ Carga equivalente(kN/m²) 3 2,41 3,01 7,23905 7,5 1, Fonte: Elaborada pelo autor Com todas as cargas calculadas e considerações adotadas conforme NBR 6118 e NBR 6120, obtém-se na Tabela 6, o resumo das cargas atuantes nas lajes da cobertura. Tabela 6: Cargas atuantes.
Laje h (m)laje (kN/m²)^ glaje^ g (kN/m²)revestimento (kN/m²)^ gtelhado
gcaixa d'água (kN/m²)
gtotal (kN/m²)
q (kN/m²)
Total (kN/m²) 1 0,1 2,5 0,8 1,5 - 4,8 0,5 5, 2 0,1 2,5 0,8 1,5 - 4,8 0,5 5, 3 0,1 2,5 0,8 1,5 1,04 5,8 0,5 6, 4 0,1 2,5 0,8 1,5 - 4,8 0,5 5, Fonte: Elaborada pelo autor
Com as cargas atuantes nas lajes, foi usado a tabela de quinhões (Anexo I) para calcular as reações de apoio nas vigas. Tabela 7: Tabela de reações.
Laje Tipo (^) (m)lx^ (m)ly^ λ (^) (kN/m²)pk^ (kN/m²)pd^ (kN/m)Q1^ (kN/m)Q2^ (kN/m)Q3^ (kN/m)Q 1 2B 3,23 4,82 1,49 5,3 (^) 7,4 4,4 4,4 11,5 6, 2 5 A 2,36 3,01 1,28 5,3 7,4 5,5 5,5 5,6 3, 3 5A 2,41 3,01 1,25 6,3 (^) 8,9 7,3 7,3 5,3 3, 4 2B 3,46 4,82 1,40 5,3 7,4 4,7 4,7 12,0 6, Fonte: Elaborada pelo autor
Figura 3: Reações de apoio. Fonte: Elaborada pelo autor
Q4 = 6,6 kN/m
Q3 = 11,5 kN/m
Q3 = 12,0kN/m
Q4 = 6,9 kN/m
Q1 = 5,5 kN/m Q1 = 7,3 kN/m
Q2 = 5,5 kN/m Q2 = 7,3 kN/m
Q4 = 3,2 kN/m Q4 = 3,
kN/m
Q1 = 4,4 kN/m Q2 = 4,4 kN/m
Q1 = 4,7 kN/m Q2 = 4,7 kN/m
Q3 = 5,
kN/m
Q3 = 5,3 kN/m
Figura 5: Compatibilização de Momentos. Fonte: Slides n°38, Aula 4 - flexão simples do Professor Carlos Henrique de Moura Cunha Originando os momentos compatibilizados.
Tabela 9: Momentos Compatibilizados.
Laje (^) Md,xPositivos Md,y^ EngasteNegativos Md,e 1 4,96 1,82 1-2 6, 2 1,47 1,14 2-3 3, 3 1,96 1,42 2-4 7, 4 5,45 2,22 3-4 7, 1-3 6, Fonte: Elaborada pelo autor
2.6 Dimensionamento de Armaduras Daqui, vamos dividir o dimensionamento das armaduras em duas partes: a primeira feita de maneira convencional, por meio de adimensionais; e a segunda usando as tabelas.
2.6.1 Método Convencional Com o momento de serviço, pode-se calcular Kmd por:
Onde:
Por meio de Kmd, calcula-se Kz, de onde se calcula a área de aço. 𝐾𝑧 = 1 − 0,4 𝑥 (−0,68+√0,68^2 2 𝑥 (−0,272)−4 𝑥 (−0,272) 𝑥 (−𝐾 𝑚𝑑^ )) (8)
Tem-se que verificar a área de aço mínima de acordo com a NBR 6118:2014. Essa área de aço varia com o fck do concreto e se está sendo calculado As,mín para armadura positiva: 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 0,67 𝑥 𝜌 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 ℎ (10) Ou para armadura negativa: 𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 ℎ (11) Onde ρ varia com o fck do concreto, conforme a tabela 17.3 da NBR 6118:2014. A tabela seguinte mostra a área de aço mínima para cada laje. Tabela10: Área de aço positiva e negativa.
Laje ρ (%) bw (cm) h (cm) (^) (cm²/m)As,mím^ + (cm²/m)^ As,mím^ - 1 0,15 100 10 1,01 1, 2 0,15 100 10 1,01 1, 3 0,15 100 10 1,01 1, 4 0,15 100 10 1,01 1, Fonte: Elaborada pelo autor
Agora, é necessário procurar combinações de bitolas e espaçamentos e verificar qual atende melhor a situação. Primeiramente, calcula-se a área unitária da bitola de aço a ser usada. Isso pode ser feito consultando a NBR 07480: 1996, ou mesmo calculado através da equação 12:
𝐴𝑠,𝑢𝑛𝑖𝑡 = 𝜙^2 4 𝑥 𝜋 (12) Em seguida, obtém-se o número de barras 𝑁 = (^) 𝐴𝑠,𝑢𝑛𝑖𝑡𝐴𝑠 (13) E finalmente, o espaçamento: 𝑆 = (^) 𝐴𝑁−1𝑠,𝑢𝑛𝑖𝑡 (14) Em que o espaçamento não pode ser maior que 2 x h ou 20 cm.
(continuação) Armadura Negativa Lajes Direção (^) (cm²/m)As,mín φ (mm) As,unit(cm²) N Espaçamento(cm)^ Espaçamentoadotado (cm) 3-4 y,x 1,50 6,3 0,312 9,0 12,50 12, 1-3 y,x 1,50 6,3 0,312 8,0 14,29 14, Fonte: Elaborada pelo autor
2.6.2 Dimensionamento pelas tabelas práticas Com a altura, cobrimento e grupo do concreto, define-se qual tabela, localizada no Apêndice B, a ser utilizada. Em seguida, identifica-se o momento maior mais próximo, e a bitola e o espaçamento já são encontrados.
Figura 6: Dimensionamento da laje 404 na direção x pela tabela. Fonte: Elaborada pelo autor
h = 10 cm c = 2 cm
Esp. (cm) 10,0 4,37 (1)^ 6,09 7, 10,5 4,16 (1)^ 5,80 7, 11,0 3,97 (1)^ 5,54 7, 11,5 3,80 (1)^ 5,30 6, 12,0 3,64 (1)^ 5,08 6, 12,5 3,49 (1)^ 4,87 6, 13,0 3,36 (1)^ 4,68 6, 13,5 3,24 (1)^ 4,51 5, 14,0 4,35 5, 14,5 4,20 (1)^ 5, 15,0 4,06 (1)^ 5, 15,5 3,93 (1)^ 5, 16,0 3,81 (1)^ 4, 16,5 3,69 (1)^ 4, 17,0 3,58 (1)^ 4, 17,5 3,48 (1)^ 4, 18,0 3,38 (1)^ 4, 18,5 3,29 (1)^ 4, 19,0 3,21 (1)^ 4, 19,5 3,12 (1)^ 4, 20,0 3, d (cm) fck (Mpa) As,mín (cm²/m)
Tabela - Lajes em Cruz (Armadura Positiva) Tabela para dimensionamento de lajes retangulares maciças - armadura simples Momentos Fletores Positivos de Serviço - kN.m/m 4,2* 5,0* 8 10 12,5 (^16) 11,61 17,33 25,52 -- 11,08 16,55 24,36 --
12,19 18,20 26,80 --
9,75 14,56 21,44 -- 9,37 14,00 20,61 --
10,60 15,83 23,30 -- 10,16 15,17 22,33 --
-- -- 8,40 12,55 18,48 --
9,03 13,48 19,85 -- -- 8,70 13,00 19, -- 8,12 12,13 17,87 -- -- 7,86 11,74 17,29 -- -- 7,62 11,38 16,75 -- -- 7,39 11,03 16,24 -- -- 7,17 10,71 15,76 -- -- 6,96 10,40 15,31 -- -- 6,77 10,11 14,89 -- -- 6,59 9,84 14,49 -- -- 6,41 9,58 14,10 -- -- 6,25 9,33 13,74 -- 7,4 7,3 6,8 6,5 6,1 5,
-- -- 6,09 9,10 13,40 --
1,20 1,30 1,39 -
25 30 40 45 50 -
6,
7, 35 1,
--
1,01 1,
20 1,
-- 7,
Feito isso para todos os momentos, tem-se as seguintes tabelas. Tabela 13: Armadura Positiva Pela Tabela. Armadura Positiva Lajes Drireção (^) (kN.m/m)Msd (cm)^ d (cm)^ c φ c/s (^) (cm²/m)As,ef 1 x y^ 4,961,82^ 7,37,3^22 φφ^ 5,0 c/12,05,0c/19,5 1,641, 2 x y^ 1,471,14^ 7,37,3^22 φφ^ 5,0c/19,55,0c/19,5^ 1,011, 3 x y^ 1,961,42^ 7,37,3^22 φφ^ 5,0c/19,55,0c/19,5^ 1,011, 4 x y^ 5,452,22^ 7,37,3^22 φφ^ 5,0 c/11,05,0c/19,5 1,781, Fonte: Elaborada pelo autor
Tabela 14: Armadura Negativa pela tabela Armadura Negativa Lajes Direção (^) (kN.m/m)Msd^ (cm)d^ (cm)c^ φ c/s (^) (cm²/m)As,ef 1 2 x,y^ 6,86^ 7,1^2 φ^ 6,3 c/11,0^ 2, 2 3 x,y^ 3,57^ 7,1^2 φ^ 6,3 c/20,0^ 1, 2 4 x,x^ 7,62^ 7,1^2 φ^ 6,3 c/10,0^ 3, 3 4 y,x^ 7,62^ 7,1^2 φ^ 6,3 c/10,0^ 3, 1 3 y,x^ 6,86^ 7,1^2 φ^ 6,3 c/11,0^ 2, Fonte: Elaborada pelo autor
2.6.3 Armadura calculada por Júnior (2013) Esta seção mostra o dimensionamento final feito por Júnior (2013) baseada na NBR 6118 2007.
Tabela 15: Armadura Positiva Junior (2013). Armadura Positiva Lajes Direção (^) (kN.m/m)Msd (cm)^ d (cm)^ c φ c/s (^) (cm²/m)As,ef 1 x y^ 5,071,69^ 8,08,0^ 2,02,0^ φφ^ 6,3 c/17,55,0c/19,5 1,781, 2 x 1,47 8,0 2,0 φ 5,0c/19,5 1, (continua)
