Introdução aos Tensores do Professor R.P, Notas de estudo de Física

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R.P.Leal 2006

Introdução à análise tensorial

R.P.Leal

CEMUC

Sumário

Introdução

Notação indicial

Noção de tensor cartesiano

R.P.Leal 2006

No que se segue pretende-se:

• Introduzir conceitos básicos de análise tensorial em sistemas de eixos cartesianos;
• Demonstrar que a utilização da notação indicial e das regras de transformação de coordenadas é uma base importante para o estudo da teoria da elasticidade.

Introdução

Sumário

Introdução

Notação indicial

Noção de tensor cartesiano

R.P.Leal 2006

( ) i ( ) j ( ) k

i j k

c a b

x x y y z z

x y z

a b a b a b

c c c

Dados dois vectores

a =a x i +ay j +az k

b =b x i +by j +bz k

define-se a soma ou adição dos vectores por

Adição de vectores

x

y

z

k

j

i

x →x 1

y →x 2

z →x 3

i → e 1

k → e 3

j → e 2

Notação indicial

R.P.Leal 2006

a y

x 3

a z

a x

a (^) y →a 2

a (^) x →a 1

a (^) z → a 3

a

x 1

e 1

e 2

e 3

x 2

Notação indicial

Notação indicial

a = a 1 e 1 (^) + a 2 e 2 (^) + a 3 e 3

Sendo

e

b = b 1 e 1 (^) + b 2 e 2 (^) + b 3 e 3

dois vectores, define-se a soma ou adição dos vectores

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

c c c a b a b a b

c a b e e e e e e

R.P.Leal 2006

É possível associar uma representação matricial à notação indicial.

O 1º índice é associado com a linha da matriz;

O 2º índice é associado com a coluna da matriz;

Notação indicial: representação matricial

f i

fi ( i= 1 , 2 )

1 2 3

f

f

f

1 2

f

f

Notação indicial: representação matricial

R.P.Leal 2006

b ij

b ij (i = 1, 2; j =1, 2, 3)

11 12 13 21 22 23 31 32 33

b b b

b b b

b b b

11 12 13 21 22 23

b b b

b b b

Notação indicial: representação matricial

2ª Regra : convenção de soma ou de índice mudo  Índice repetido uma vez no interior de um termo, num elemento ou no produto ou divisão de elementos, implica o somatório nesse índice, excepto em casos devidamente excluídos.  O valor máximo de um índice mudo indica o número de parcelas. Quando existem vários índices mudos o produto dos valores máximos dos diversos índices indica o número de parcelas.  O somatório é, em geral de 1 a 3, podendo ser outro nos casos explicitamente indicados.

Notação indicial

R.P.Leal 2006

… define-se a soma ou adição dos vectores por

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

c c c a b a b a b

c a b e e e e e e

( )

i i i i i

c a b

c a b e e

Notação indicial: convenção de soma

a = a (^) i e i (^) =am e m

De notar que

isto é, a letra dos índices repetidos pode ser mudada sem alterar o significado da expressão.

Notação indicial: convenção de soma

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3ª Regra : convenção da derivada

 Uma vírgula entre índices implica uma derivada relativamente à variável de campo designada pelo(s) índice(s) depois da vírgula.

Notação indicial

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3

f f x , x , x f f x , x , x f f x , x ,x

Sejam as funções fi definidas como segue:

A derivada destas funções relativamente às diversas variáveis de campo pode ser representada por:

i i,j j

f f x

2 i,jm^ i j m

f f x x

Notação indicial: convenção da derivada

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Problema 2 - Interpretar e simplificar as expressões

a i = δij uj

a = δ δ ij ji

Notação indicial: exercícios

Problema 3 - Interpretar e simplificar as expressões

a ik = δ δij jk

a mp = δ ik δmp wik

a mp = ( δim δ kp + δip δkm )wik

p im = δ δij k l δnm d jk eln

Notação indicial: exercícios

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Problema 4 - Dada as matrizes A (3,3) e B (3,3) e o vector c (3),

( (^) ij)

0 1 0 a 1 0 1 0 1 0

  = = ^ −     − 

A (^) ( (^) ij)

1 2 1 b 1 2 1 1 2 1

  = =^ ^     

B ( )

2 i 3 1

x c x x

c

D = (^) ( dij (^) )= ^ δim δ (^) jn bnk a (^) mk + δin δjm c (^) n m , 

calcule

Notação indicial: exercícios

Sumário

Introdução

Notação indicial

Noção de tensor cartesiano

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• escalar
• vector
• tensor

Vamos estudar a lei de transformação dos seguintes objectos matemáticos:

Tensores Cartesianos

Um escalar ou tensor de ordem zero é um objecto matemático que não muda a sua descrição matemática quando o sistema de eixos em que está considerado sofre uma rotação.

Assim, sendo α um escalar e supondo uma rotação de um sistema de eixos Ox para Ox’, temos que a lei de transformação é:

α = α '

Lei de transformação dos escalares

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x 1

x 2

x 3

v

v = v i e i

v (^1) v 2

v 3

Lei de transformação dos vectores

j

v =v j e

' v 2

' v 3

x 1

x 2

x 3

' x 1

' x 2

' x 3

v

' v 1

No novo sistema de eixos cartesianos:

Lei de transformação dos vectores

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A lei de transformação inversa, isto é, a que transforma as componentes conhecidas no sistema rodado de eixos Ox’j para o sistema de eixos Oxi é dada por

Lei de transformação inversa dos vectores

ou de tensores de 1ª ordem

' v i =t (^) ji vj

 A lei de transformação de um tensor de 1ª ordem pode ser escrita em termos matriciais, como segue:

' 1 11 12 13 1 ' ' j ji i 2 21 22 23 2 ' 3 31 32 33 3

v t t t v v t v v t t t v v t t t v

= ⇔ ^ ^ = ^  ^ 

v ' = T v

Matriz de transformação T

Lei de transformação dos vectores ou de

tensores de 1ª ordem

R.P.Leal 2006

 A lei de transformação inversa de um tensor de 1ª ordem pode ser escrita em termos matriciais, como segue:

' 1 11 21 31 1 ' ' i ji j 2 12 22 32 2 ' 3 13 23 33 3

v t t t v v t v v t t t v v t t t v

   ^ ^ 

= ⇔ ^ ^ =^  ^ 

v = T^ T^ v '

Matriz de transformação T

Lei de transformação dos vectores ou de

tensores de 1ª ordem

Problema 5: Conhecidos as componentes de um vector no sistema inicial Oxi, obter as componentes do mesmo vector no sistema de eixos Ox’i representado.

x 1

2 1 x =x^ ´

3 3 x =x^ ´

´ x 2

v = v (^) i e i (^) = 1. e (^) 1 + 2. e (^) 2 +3. e 3

Lei de transformação de tensores de 1 ª ordem