Introdução a Teoria dos Números.pdf, Notas de aula de Teoria dos Números

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Universidade Federal de Uberlândia

Universidade Aberta do Brasil

Centro de Educação a Distância

Introdução à

Teoria dos Números

Ana Maria Amarillo Bertone

Introdução à Teoria dos Números

Bertone, Ana Maria Amarillo Introdução à Teoria dos Números/ Ana Maria Amarillo Bertone.

Uberlândia, MG : UFU, 2014, 202 p.

Licenciatura em Matemática

1. Introdução à Teoria dos Números

Reitor Elmiro Santos Resende

Coordenador UAB/CEAD/UFU Maria Teresa Menezes Freitas

Conselho Editorial Carlos Rinaldi-UFMT Carmen Lucia Brancaglion Passos-UFScar Célia Zorzo Barcelos-UFU Ivete Martins Pinto-FURG João Frederico Costa Azevedo Meyer-UNICAMP Marisa Pinheiro Mourão-UFU

Edição Centro de Educação a Distância Comissão Editorial-CEAD/UFU

Diagramação Ana Maria Amarillo Bertone

Sumário

Informações úteis

Prezado(a) aluno, Lembramos novamente como no módulo I que no texto básico você encontrará alguns “ íco-

nes” que lhe ajudará a identificar as atividades. Fique atento ao significado de cada um deles,

isso facilitará a sua leitura e seus estudos.

Lembramos também alguns termos ou conceitos são destacados ao longo do texto básico em

um quadro de borda vermelho, em negrito e em letras de cor azul seguido pelo ícone do AVA, da

forma que aparece esta palavra número natural. Fique atento, pois esta é parte de umas

das atividades do seu curso: você irá construir, como no módulo I, junto com seus colegas, um

glossário que irá conter esses termos ou conceitos. Procure também associar ao termo uma

imagem que esclareça seu sentido ou permita uma melhor fixação e visualização da ideia. É a

atividade de Glossário.

Desejamos ao caro aluno(a) um ótimo segundo módulo, torçendo para que atinja com sucesso

os seus objetivos.

Estou à disposição em https://sites.google.com/site/anamariaufumat/Home Grande abraço, Ana Maria

Sobre o curso

A teoria dos números é uma área específica da matemática que estuda as propriedades dos

números inteiros, tais como a divisibilidade, números primos, tendo entre os resultados mais

destacados o Teorema Fundamental da Aritmética. Com esses objetivos específicos, esta área

é das mais antigas da matemática, junto com a Geometria Euclidiana. Os quatro volumes de

Os Elementos de Euclides foram inteiramente dedicados à teoria dos números entendida como

a clássica aritmética.

O grande matemático Carl Friedrich Gauss, de cujo trabalho iremos encontrar, ao longo do

texto básico, alguns resultados, escreveu uma frase que salienta a importância desta área da

matemática:

A matemática é a rainha das ciências e a aritmética, a rainha da matemática.a aTraduzido do inglês: “Mathematics is the queen of sciences and arithmetic the queen of mathematics.”

Entre alguns exemplos importantes de problemas em aberto, apresentamos aqueles que po-

dem fazer famoso a algum pequisador, estudante o simplesmente a um(a) amante da matemática

(quem sabe um de vocês!)

Muitos deles são relacionados com números primos, que são aqueles números que têm como

únicos divisores eles mesmos e a unidade.

1. (Conjectura de Goldbach) Todo número natural n > 2 é soma de dois números primos.
2. Será que existem infinitos números primos da forma n^2 + 1?
3. Será que existem infinitos números primos da forma 2 n^ − 1? Estes números primos são chamados de Mersenne.
4. Será que existem infinitos números primos da forma 22 n + 1? Estes números primos são chamados de Fermat.

Em nosso curso iremos conhecer algumas das técnicas que os matemáticos usam para des-

vendar estes mistérios.

Além do estudo da matéria básica da teoria dos números, faremos considerações teóricas

sobre as estruturas dos conjuntos numéricos dos números racionais e dos números reais. Vamos

comparar a estrutura de todos estes conjuntos, o que eles têm em comum ou o que os distingue

dos demais.

A presente disciplina está dividida em quatro módulos:

. O conjunto dos números Inteiros; . Congruência; . O conjunto dos números racionais; . O conjunto dos números reais.

A duração de cada módulo é de quinze dias. O texto básico da disciplina é contemplado com

exercícios estrategicamente posicionados, de tal forma que o conteúdo previamente estudado

fique bem assimilado em seus conceitos mais básicos.

O texto básico da disciplina é contemplado com exemplos e exercícios propostos sob a forma

de desafio que você encontrará estrategicamente posicionados. Estes desafios incluem a res-

posta que está no final de cada módulo. Para acessar a resposta você vai clicar um hiperlink que

o levará de ida e volta para o final de módulo ou para a página do desafio. Para maior eficiência

desta metodologia, recomendamos ao prezado aluno tentar o desafio antes de clicar o hiperlink

que o conduz à resposta.

Quanto à metodologia, o curso seguirá com a seguinte base: estudo da teoria do livro texto,

com o treino através dos exercícios nele contidos, resolução do Caderno de Exercícios, onde se

encontram os exercícios a serem entregues e outros para que o aluno se pratique. Atividades

que serão passadas para os alunos dentro do período de vigência de cada módulo, e que farão

parte do processo de avaliação, assim como as provas presenciais.

Quanto ao sistema de avaliação, serão distribuídos 100 pontos, sendo 60 pontos de provas

escritas em modo presencial e 40 pontos das atividades passadas pelo Ambiente Virtual de

Aprendizagem (AVA).

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Agenda

Módulo Tópico Período

Atividade Desenvolvimento do Conteúdo

Módulo III

O S N Ú M E R O S I N T E I R O S

Primeira Quinzena

Atividade 1: Assistir à vídeo aula introdutó- ria. Atividade 2:

Leitura do Texto Básico

Atividade 3: Webconferências Atividade 4: Testando seus conhecimentos: etapas I e II.

Atividade 5: Glossário do Módulo I

Atividade 6: Fórum

Atividade 7: Leitura Complementar

Para auxiliar ao aluno no entendimento dos assuntos tra- tados neste Módulo, é disponibilizada uma vídeo aula gra- vada pela autora.

Neste módulo o aluno aprenderá a fazer demonstrações pelo método de indução. Aplicará seus conhecimentos so- bre divisores e múltiplos de números naturais, com uma nova base teórica, que explica os mecanismos utilizados na prática. Aprenderá novos mecanismos desses cálculos, como os de achar máximo divisor comum de dois números inteiros. Para ampliar as informações sobre os assuntos estudado neste Módulo, serão realizadas duas webconferências. O Caderno de Exercícios tem como objetivo que o aluno se pratique bastante antes de resolver os exercícios obri- gatórios. Estes são os exercícios do mesmo caderno que estão enquadrados em cor verde ou amarela, constituindo as duas etapas da atividade 4. É uma atividade de avalia- ção. Após a leitura do Texto Básico, o aluno irá definir os conceitos que foram salientados da forma seguinte: número natural. Atividade de avaliação.

Atividade desenvolvida no Moodle para discussão do Ca- derno de Exercícios (atividade avaliativa) e de dúvidas (não avaliativa) Esta atividade é para o aluno enriquecer seus conhecimen- tos, descobrir aplicações dos tópicos propostos ou simples- mente um bom material de leitura.

Introdução à Teoria dos Números 11

Módulo Tópico Período

Atividade Desenvolvimento do Conteúdo

Módulo III

O S N Ú M E R O S R A C I O N A I S

Primeira Quinzena

Atividade 1: Assistir à vídeo aula introdutó- ria. Atividade 2:

Leitura do Texto Básico

Atividade 3: Webconferências Atividade 4: Testando seus conhecimentos: etapas I e II.

Atividade 5: Glossário do Módulo I

Atividade 6: Fórum

Atividade 7: Leitura Complementar

Para auxiliar ao aluno no entendimento dos assuntos tra- tados neste Módulo, é disponibilizada uma vídeo aula gra- vada pela autora.

Neste módulo você verá a construção dos números racio- nais, a sua representação decimal, dando uma estrutura teórica a mecanismos que você muito bem conhece e en- sina ou ensinará no futuro. Além de estudar o conceito de enumerabilidade, demosntrando que o conjunto dos nú- meros racionais tem o mesmo cardinal que o conjunto dos números naturais. Para ampliar as informações sobre os assuntos estudado neste Módulo, serão realizadas duas webconferências. O Caderno de Exercícios tem como objetivo que o aluno se pratique bastante antes de resolver os exercícios obri- gatórios. Estes são os exercícios do mesmo caderno que estão enquadrados em cor verde ou amarela, constituindo as duas etapas da atividade 4. É uma atividade de avalia- ção. Após a leitura do Texto Básico, o aluno irá definir os conceitos que foram salientados da forma seguinte: número natural. Atividade de avaliação.

Atividade desenvolvida no Moodle para discussão do Ca- derno de Exercícios (atividade avaliativa) e de dúvidas (não avaliativa) Esta atividade é para o aluno enriquecer seus conhecimen- tos, descobrir aplicações dos tópicos propostos ou simples- mente um bom material de leitura.

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Módulo Tópico Período

Atividade Desenvolvimento do Conteúdo

Módulo III

O S N Ú M E R O S R E A I S

Terceira Quinzena

Atividade 1: Assistir à vídeo aula introdutó- ria. Atividade 2:

Leitura do Texto Básico

Atividade 3: Webconferências Atividade 4: Testando seus conhecimentos: etapas I e II.

Atividade 5: Glossário do Módulo I

Atividade 6: Fórum

Atividade 7: Leitura Complementar

Para auxiliar ao aluno no entendimento dos assuntos tra- tados neste Módulo, é disponibilizada uma vídeo aula gra- vada pela autora.

Neste módulo o aluno verá a construção dos números reais pela sua representação decimal, a partir da estrutura dos números racionais na mesma representação. Estudaremos os números irracionais, sua aritmética, e as duas classes importantes de números irracionais: os números algébricos e transcendentes.

Para ampliar as informações sobre os assuntos estudado neste Módulo, serão realizadas duas webconferências. O Caderno de Exercícios tem como objetivo que o aluno se pratique bastante antes de resolver os exercícios obri- gatórios. Estes são os exercícios do mesmo caderno que estão enquadrados em cor verde ou amarela, constituindo as duas etapas da atividade 4. É uma atividade de avalia- ção. Após a leitura do Texto Básico, o aluno irá definir os conceitos que foram salientados da forma seguinte: número natural. Atividade de avaliação.

Atividade desenvolvida no Moodle para discussão do Ca- derno de Exercícios (atividade avaliativa) e de dúvidas (não avaliativa) Esta atividade é para o aluno enriquecer seus conhecimen- tos, descobrir aplicações dos tópicos propostos ou simples- mente um bom material de leitura.

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Módulo 1

O conjunto dos Inteiros

No término do módulo I, o aluno estará familiarizado como os seguintes conceitos:

. O conjunto dos números naturais; . O conjunto dos números inteiros; . Múltiplos e divisores; . O algoritmo da divisão; . Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum; . O algoritmo de Euclides; . Números primos.

1.1 Os Números Naturais

O que há em comum entre um saco com 20 maças e uma lista de supermercado com

20 ítens?

A resposta “trivial” para isso é o número de elementos desses objetos (saco de maçãs e lista de supermercado). Mas então,o quais dos conceitos de número é que define uma qualidade em comum desses dois conjuntos tão diferentes?

É o conceito de número natural.

Do ponto de vista teórico, o modelo matemático que tem as características de um modelo de contagem é o do conjunto dos números naturais. Uma lista ordenada desses números foi o princípio da teoria de todos os números. De acordo com Elon Lages Lima: 17