Introduc¸ ˜
ao `
a Mecˆ
anica dos Fluidos
PME 3230 - Mecˆ
anica dos Fluidos I
PME/EP/USP
Prof. Antonio Luiz Pac´
ıfico
2◦Semestre de 2016
PME 3230 - Mecˆ
anica dos Fluidos I (EP-PME) Introduc¸ ˜
ao 2◦Semestre de 2016 1 / 30
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(FOX; MCDONALD; PRITCHARD, 2006): Cada partıcula fluida pode sofrer a aç ˜ao de forças de superfıcie (devidas `a press˜ao e atrito), que s˜ao geradas.
Tipologia: Notas de estudo
2022
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Introduc¸ ˜ao `a Mec ˆanica dos Fluidos
PME 3230 - Mec ˆanica dos Fluidos I
PME/EP/USP
Prof. Antonio Luiz Pac´ıfico
2 ◦^ Semestre de 2016
Conte ´udo da Aula
(^1) Noc¸ ˜oes Preliminares
(^2) Propriedades F´ısicas dos Fluidos
(^3) Descric¸ ˜ao e Classificac¸ ˜ao dos Movimentos dos Fluidos
(^4) Exerc´ıcios
Fluido como Meio Cont´ınuo
As mol ´eculas est ˜ao em constante movimento!
A variac¸ ˜ao das propriedades em um fluido tomado como meio cont´ınuo e t ˜´ ao suave que os c ´alculos diferenciais podem ser usados para analisar a
subst ˆancia. (WHITE, 2002): δV ′^ ∼ 10 −^9 m^3.
Noc¸ ˜oes de Tens ˜ao e Press ˜ao
(FOX; MCDONALD; PRITCHARD, 2006): Cada part´ıcula fluida pode sofrer a ac¸ ˜ao de forc¸as de superf´ıcie (devidas `a press ˜ao e atrito), que s ˜ao geradas pelo contato com outras part´ıculas ou com superf´ıcies s ´olidas, e forc¸as de campo ou de corpo (devidas a campos tais como gravitacional e eletromagn ´etico) que agem a dist ˆancia nas part´ıculas.
Forc¸as de superf´ıcie agindo sobre as part´ıculas geram tens ˜oes. Num fluido essas tens ˜oes est ˜ao associdas majoritariamente ao seu movimento. Num s ´olido n ˜ao necessariamente (deflex ˜ao ´e um estado de tens ˜ao num s ´olido sem movimento).
Noc¸ ˜oes de Tens ˜ao e Press ˜ao
Press ˜ao, p [N/m^2 ≡ Pa no SI],
e o resultado da distribuic´ ¸ ˜ao de
tens ˜oes normais, σ, de
compress ˜ao atuando num elemento fluido.
Tens ˜oes de cisalhamento, τ
[N/m^2 ≡ Pa no SI], s ˜ao tens ˜oes
tangenciais. τi,j ≡ τplano,eixo.
τi,j > 0 quando tanto o plano
como o eixo no qual atua s ˜ao ambos positivos ou negativos.
Mais adiante no curso o estado de tens ˜oes num elemento fluido ser ´a tratado com maior rigor.
Massa, Volume e Peso Espec´ıficos; Densidade
A massa espec´ıfica , ρ [kg/m^3 no SI], ´e definida como a quantidade de massa
de uma determinada subst ˆancia contida numa unidade de volume. A chamada densidade , tamb ´em cohecida por SG (specific gravity) ´e a raz ˜ao entre a massa espec´ıfica do fluido e a massa espec´ıfica da ´agua a 4 ◦C:
SG =
ρH 2 O @ 4 ◦C
O volume espec´ıfico , v [m^3 /kg no SI], de um fluido ´e dado pelo inverso da
sua massa espec´ıfica: v = 1 /ρ.
Finalmente, o peso espec´ıfico , γ [N/m^3 no SI], de um fluido ´e definido como o
peso da subst ˆancia contida numa unidade de volume: γ = ρ.g, onde g e o´
m ´odulo da acelerac¸ ˜ao da gravidade local.
Compressibilidade dos Fluidos
O m ´odulo de elasticidade volum ´etrico , Ev [N/m^2 no SI], ´e a propriedade do fluido utilizada para caracterizar sua compressibilidade:
Ev = −V ·
dp dV
como dp/dV < 0 (agem sempre forma antag ˆonica: p.V = m.R.T ), o sinal
negativo ´e acrescentado `a definic¸ ˜ao para que Ev > 0. Uma vez que m = ρ.V ,
segue-se que:
Ev = ρ ·
dp
dρ
Fluidos incompress´ıveis possuem Ev da ordem de giga-pascal (GPa): ´e necess ´aria uma grande variac¸ ˜ao de press ˜ao para uma criar uma pequena variac¸ ˜ao de volume em l´ıquidos. Para gases o efeito ´e exatamente o contr ´ario...
Press ˜ao de Vapor
L´ıquidos tendem a evaporar quando expostos a uma atmosfera gasosa. Considere uma mistura de l´ıquido, g ´as e vapor da subst ˆancia do l´ıquido. Chamando ppg a press ˜ao parcial do g ´as; ppv a press ˜ao parcial do vapor do l´ıquido, a press ˜ao total, pt , da mistura gasosa ser ´a: pt = ppg + ppv. Numa condic¸ ˜ao de equil´ıbrio o n ´umero de mol ´eculas por unidade de tempo que vaporizam ´e igual ao n ´umero de mol ´eculas por unidade de tempo condensam. Neste estado ppv = pv , onde pv e chamada´ press ˜ao de vapor. Esta press ˜ao ´e func¸ ˜ao da temperatura e seu comportamento ´e do tipo dpv /dT > 0. Ebulic¸ ˜ao ocorre quando pv > press ˜ao na superf´ıcie do l´ıquido. Um l´ıquido que se caracteriza por ter pv elevada ´e chamado de vol ´atil. Para mant ˆe-lo l´ıquido ´e, ent ˜ao, necess ´ario armazen ´a-lo em recipientes `a alta press ˜ao. Ex: CO 2 , gasolina, etc.
Cavitac¸ ˜ao
Tens ˜ao Superficial
Superf´ıcies l´ıquidas livres mostram uma variedade de fen ˆomenos que podem ser reduzidos a mesma causa: a tend ˆencia da superf´ıcie tornar-se t ˜ao pequena quanto for poss´ıvel. O fato de que um l´ıquido, isento de forc¸as externas, adquira uma forma esf ´erica, pode ser atribu´ıdoa propriedade da superf´ıcie em buscar a m´ınima ´area para um dado volume. A causa deste efeito ´e devida `a forc¸a molecular assim ´etrica entre as mol ´eculas da supef´ıcie do l´ıquido. Enquanto dentro do l´ıquido as forc¸as moleculares compensam-se, as mol ´eculas da superf´ıcie experimentam uma forc¸a dirigida para dentro previnindo o seu escape. Como resultado a superf´ıcie tem a tend ˆencia a tornar-se t ˜ao pequena quanto poss´ıvel. Este fen ˆomeno tamb ´em ocorre na interface entre l´ıquidos imisc´ıveis.
Tens ˜ao Superficial
Para equil´ıbrio: a soma desas duas forc¸as deve ser balanceada pela diferenc¸a
de press ˜ao na ´area ds 1 .ds 2 : ∆Fp = ∆p.ds 1 .ds 2 Como,
σ · ds 2 ·
ds 1 r 1
+ σ · ds 1 ·
ds 2 r 2
= ∆Fp
segue-se que,
∆p = σ ·
r 1
r 2
A press ˜ao ´e maior sempre no lado c ˆoncavo da superf´ıcie. A equac¸ ˜ao acima ´e independente da direc¸ ˜ao na qual o elemento retangular ´e tomado.
Tens ˜ao Superficial
A tens ˜ao superficial entre dois corpos 1 e 2, rigorosamente falando, deve ser escrita como σ 1 , 2. Considere a figura abaixo: 1 ´e l´ıquido, 2 ´e ar e 3 s ´olido.
Figura: Aqui leia-se C ≡ σ.
σ 1 , 2. cos α + σ 1 , 3 = σ 2 , 3 (F) Se σ 2 , 3 − σ 1 , 3 < 0 ⇒ α > π/2: diz-se que o l´ıquido n ˜ao molha o s ´olido (Ex: Hg no vidro); se σ 2 , 3 − σ 1 , 3 < σ 1 , 2 ⇒ α < π/2: diz-se que o l´ıquido molha o s ´olido, pois (F) j ´a n ˜ao pode ser satisfeita: n ˜ao haver ´a equil´ıbrio e o ponto P mover-se- ´a para a direita continuamente. Ex: ´oleo em ´agua forma uma pel´ıcula fina e esparramada.
Capilaridade
Do resultado anterior, se for assumido que o menisco tem raio de curvatura a, e forc¸a superficial ao longo do per´ımetro do menisco, 2 .π.a, ´e balanceada pelo peso da coluna ∆h de l´ıquido: 2 .π.σ 1 , 2. cos θ = π.a^2 .(ρ 1 − ρ 2 ).g.∆h
∆h = (^) (^2 ρ.σ^1 ,^2.^ cos^ θ 1 −^ ρ 2 ).g.a Para θ > π/ 2 ⇒ ∆h < 0. Ex: Merc ´urio e tubo capilar. Para θ < π/ 2 ⇒ ∆h > 0. Ex: ´Agua em tubo capilar.
Viscosidade
τyx = lim δAy → 0
δFx δAy^ =^
dFx dAy Durante um intervalo δt o elemento fluido ´e deformado de MNOP para M’NOP’.
taxa de deformac¸ ˜ao = lim δt→ 0
δα δt =^
dα dt
Pode-se expressar a dist ˆancia δl por: δl = δu.δt ; alternativamente para pequenos ˆangulos: δl = δy.δα Igualando essas duas express ˜oes para δl e tomando o limite das raz ˜oes: δα δt = δu δy ∴ dα dt = du dy Importante : a taxa de deformac¸ ˜ao (taxa de cisalhamento), dα/dt, pode ser expressa em func¸ ˜ao de quantidades mais f ´aceis de serem medidas: du/dy.