Introdução a Analise Funcional, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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césar r. de oliveira

introdução

à análise funcional

césar r. de oliveira

introdução

à análise funcional

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Copyright  2014 by César R. de Oliveira

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Sérgio R. Vaz

Projeto Euclides Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Collier Coutinho Paulo Sad

Títulos Publicados:

• Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima
• Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez
• Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hönig
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves
• Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski
• Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho
• Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo
• Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor
• Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James
• Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima
• Teoria Ergódica - Ricardo Mañé
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler
• Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer
• Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael Iório Jr. e Valéria Iório
• Álgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain
• Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima
• Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto
• Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain
• Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani
• Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior
• Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard
• Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e Antonio Leitão
• Homologia Básica - Elon Lages Lima
• Teoria dos Números: um Passeio com Primos e outros Números Familiares pelo Mundo Inteiro - Fabio Brochero Martinez, Carlos Gustavo Moreira, Nicolau Saldanha e Eduardo Tengan
• Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira

Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: ddic@impa.br http://www.impa.br

Pref´acio

An´alise Funcional ´e uma disciplina semestral obrigat´oria para o Dou- torado e optativa para o Mestrado em Matem´atica da Universidade Fe- deral de S˜ao Carlos. Este texto foi escrito para contemplar esta disci- plina, e com uma proposta muito objetiva. A id´eia ´e que cada unidade corresponda a uma aula, tentando facilitar o preparo da mesma pelo professor e tornar mais pr´atica a primeira leitura de cada tema pelos alunos. Este ´e um ponto importante no qual este texto diferencia-se dos demais sobre o mesmo tema. Para atender tal intuito foi necess´ario manter muito r´ıgida a quantidade de material a ser coberto em cada Cap´ıtulo, evitando ultrapassar os limites esperados de uma aula. Isto tornou necess´aria a sele¸c˜ao de temas com omiss˜oes de t´opicos e aplica- ¸c˜oes interessantes. Talvez a principal omiss˜ao seja a dos espa¸cos vetoriais topol´ogicos.

Este texto nasceu de notas de aulas ministradas pelo autor no se- gundo semestre de 1999; j´a com o intuito de preparar o texto, o material de cada Cap´ıtulo foi sendo montado e testado, com adapta¸c˜oes para se encaixar em cada aula, num total de trinta aulas. Parte dos assun- tos tratados segue, naturalmente, a orienta¸c˜ao do pr´oprio programa de P´os-Gradua¸c˜ao e o gosto pessoal do autor; a ˆenfase ´e na An´alise Fun- cional Linear e o ´ındice resume os t´opicos apresentados. O texto foi originalmente publicado pelo IMPA e passou por corre¸c˜oes e pequenas adapta¸c˜oes com o tempo; assim, espera-se que o mesmo esteja mais maduro e melhor concatenado. O resultado final ´e esta vers˜ao do livro.

Pretende-se que este texto transmita uma vis˜ao geral de linhas b´asi- cas da An´alise Funcional e, ap´os segui-lo, que os estudantes estejam preparados para consultar textos mais abrangentes, particularmente de t´opicos que aqui n˜ao foram cobertos. A maioria dos exerc´ıcios original- mente propostos na sala de aula est´a presente no texto, embora a lista

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PREF´ACIO 5

uma nova indica¸c˜ao. Tamb´em como ´e usual, um espa¸co vetorial ´e dito trivial se cont´em apenas o elemento nulo. O s´ımbolo indica o final de uma demonstra¸c˜ao, enquanto • indica o final de um exemplo. A p´agina da internet http://www.dm.ufscar.br/~oliveira/AFEuclides.html

estar´a associada a este texto, em particular com uma eventual “Errata”; toda contribui¸c˜ao dos leitores ser´a muito bem-vinda. Gostaria de agradecer ao Prof. Pedro L. A. Malagutti por ter (co- rajosamente!) seguido de perto a primeira vers˜ao do texto em uma turma de An´alise Funcional; isto possibilitou a corre¸c˜ao de v´arios erros tipogr´aficos e imprecis˜oes. Os agradecimentos se estendem aos alunos e colegas que colaboraram com diversas sugest˜oes desde a primeira vers˜ao do texto. Finalmente, gostaria de registrar a acolhedora sugest˜ao, do Prof. Elon Lima, para que este livro fosse considerado para publica¸c˜ao no Projeto Euclides.

S˜ao Carlos, setembro de 2010.

C´esar R. de Oliveira

• 1 Espa¸cos Normados
• 2 Compacidade e Completamento
  • 2.1 Compacidade e Dimens˜ao
  • 2.2 Completamento de Espa¸cos Normados
• 3 Espa¸cos Separ´aveis
  • 3.1 Espa¸cos Separ´aveis
  • 3.2 Operadores Lineares
• 4 Operadores Limitados e Espa¸co Dual
• 5 Ponto Fixo de Banach
• 6 Teorema de Baire
• 7 Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme
• 8 Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta
• 9 Teorema do Gr´afico Fechado
• 10 Teorema de Hahn-Banach
  • 10.1 Lema de Max Zorn
  • 10.2 Hahn-Banach
• 11 Demonstra¸c˜ao de Hahn-Banach
• 12 Aplica¸c˜oes de Hahn-Banach
• 13 Operadores Adjuntos em N 8 CONTEUDO´
• 14 Convergˆencia Fraca
• 15 Topologias Fracas
  • 15.1 Topologias Fracas
  • 15.2 Teorema de Alaoglu
• 16 Espa¸cos Reflexivos e Compacidade
• 17 Espa¸cos de Hilbert
  • 17.1 Produto Interno
  • 17.2 Ortogonalidade
• 18 Proje¸c˜ao Ortogonal
  • 18.1 Lei do Paralelogramo
  • 18.2 Proje¸c˜ao Ortogonal
• 19 Representa¸c˜ao de Riesz em H
  • 19.1 Representa¸c˜ao de Riesz
  • 19.2 Adjunto de Hilbert e Lax-Milgram
• 20 Operadores Auto-Adjuntos
• 21 Bases Ortonormais
• 22 S´eries de Fourier
  • 22.1 S´eries de Fourier
  • 22.2 Integra¸c˜ao em Espa¸cos de Hilbert
• 23 Opera¸c˜oes em Espa¸cos de Banach
  • 23.1 Soma Direta
  • 23.2 Espa¸co Quociente
• 24 Operadores Compactos
• 25 Operadores Compactos em H
• 26 Operadores de Hilbert-Schmidt
• 27 Espectro
  • CONTEUDO´
  • 28 Classifica¸c˜ao Espectral
  • 29 Espectro de Auto-Adjuntos
  • 30 Espectro de Operadores Compactos
    • 30.1 Operadores Compactos
    • 30.2 Operadores Normais
  • Solu¸c˜oes de Exerc´ıcios Selecionados
  • Bibliografia
• ´Indice Remissivo

Cap´ıtulo 1

Espa¸cos Normados

Grosso modo, a An´alise Funcional ´e uma rica fus˜ao de conceitos de Algebra´ Linear, An´alise e Topologia, com destaque para espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita. Partindo de um espa¸co vetorial, introduz-se uma no¸c˜ao abstrata de comprimento de vetor, mais conhecida como norma. Associada a cada norma introduz-se uma distˆancia entre vetores, ou seja, uma m´etrica, o que torna o espa¸co vetorial num espa¸co topol´ogico naturalmente compat´ıvel com a estru- tura linear. Neste primeiro Cap´ıtulo s˜ao introduzidos a defini¸c˜ao de norma, alguns exemplos b´asicos e v´arias nota¸c˜oes usadas em todo o texto.

Ser˜ao considerados espa¸cos vetoriais tanto sobre o corpo dos n´umeros reais R como sobre o corpo dos n´umeros complexos C. A parte real de um n´umero complexo z ser´a denotada por Re z e a imagin´aria por Im z. Em muitas situa¸c˜oes n˜ao h´a necessidade de especificar o corpo, assim ´e conveniente indicar por F ou C ou R. Em geral os espa¸cos vetoriais ser˜ao denotados por X, Y, Z, · · · , enquanto seus elementos por ξ, η, ζ, · · · ; os escalares, ou seja, elementos de F, por α, β, λ, · · · , ou a, b, c, · · ·. Recorde que um subconjunto A de um espa¸co vetorial X ´e linearmente indepen- dente se qualquer combina¸c˜ao linear finita de elementos ξj ∈ A resul- tando no vetor nulo, ou seja,

∑n j=1 αj^ ξj^ = 0, s´o ocorre se^ αj^ = 0, para todo j (∅ ´e linearmente independente; verifique!). Se α ∈ F, a nota¸c˜ao α > 0 indica que α ∈ R e ´e estritamente positivo; ainda, α ≥ 0 ser´a tamb´em referenciado por “α ´e positivo” (analogamente para negativo e estritamente negativo). Ser´a usado, muitas vezes, o fato do conjunto dos n´umeros racionais Q ser denso em F (com a topologia usual), sendo que no caso de F = C entende-se por racionais n´umeros da forma r + is, com r, s ∈ Q.

2 [CAP. 1: ESPAC¸ OS NORMADOS

Defini¸c˜ao 1.1. Uma norma num espa¸co vetorial X (real ou complexo) ´e uma aplica¸c˜ao ‖ · ‖ : X → R que satisfaz

i. ‖ξ‖ ≥ 0 para todo ξ ∈ X, e ‖ξ‖ = 0 se, e somente se, ξ = 0 (comprimento positivo).

ii. ‖αξ‖ = |α| ‖ξ‖, para todo ξ ∈ X e qualquer α ∈ F (dilata¸c˜ao).

iii. ‖ξ + η‖ ≤ ‖ξ‖ + ‖η‖, para todos ξ, η ∈ X (desigualdade triangular).

Se na defini¸c˜ao de norma a condi¸c˜ao ‖ξ‖ = 0 ⇒ ξ = 0 for retirada, diz-se que ‖ · ‖ ´e uma seminorma. E um exerc´´ ıcio simples verificar que cada norma define, ou induz, uma m´etrica d em X por d(ξ, η) = ‖ξ − η‖. O par (X, ‖ · ‖) ´e chamado de espa¸co normado; aqui, N , N 1 , N 2 , · · · , sempre denotar˜ao espa¸cos normados (com (N , ‖ · ‖) quando se quer es- pecificar a norma). Se n˜ao for fornecida outra topologia, fica impl´ıcito que em N a topologia ´e a induzida pela norma. E conveniente introduzir mais alguma nota¸´ c˜ao. Se (X, d) ´e um espa¸co m´etrico e r > 0, ent˜ao B(ξ 0 ; r) = BX (ξ 0 ; r) = {ξ ∈ X : d(ξ 0 , ξ) < r}, B(ξ 0 ; r) = BX (ξ 0 ; r) = {ξ ∈ X : d(ξ 0 , ξ) ≤ r} e S(ξ 0 ; r) = SX (ξ 0 ; r) = {ξ ∈ X : d(ξ 0 , ξ) = r} indicam a bola aberta, a bola fechada, e a es- fera de raio r centradas em ξ 0 , respectivamente, com formas an´alogas para espa¸cos normados. A nota¸c˜ao que n˜ao explicita o espa¸co (nesses casos X) ser´a usada quando n˜ao houver possibilidade de confus˜ao. Fi- nalmente, um conjunto ´e enumer´avel se possui a cardinalidade ℵ 0 de N = { 1 , 2 , 3 , · · · }, e ´e cont´avel se for finito (incluindo zero) ou enu- mer´avel.

Exerc´ıcio 1.1. a) Verifique que se uma m´etrica d em X prov´em de uma norma, ent˜ao d(ξ + ζ, η + ζ) = d(ξ, η), para todos ξ, η, ζ ∈ X. Interprete geometricamente.

b) Mostre que | ‖ξ‖ − ‖η‖ | ≤ ‖ξ − η‖, para todo ξ, η ∈ X; conclua ent˜ao que a norma ‖ · ‖ : X → R ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua (R com a m´etrica usual).

c) Mostre que num espa¸co normado a soma de vetores e a multiplica¸c˜ao por escalar s˜ao opera¸c˜oes cont´ınuas, ou seja, as aplica¸c˜oes N × N → N , (η, ξ) 7 → η + ξ, e F × N → N , (α, ξ) 7 → αξ, s˜ao cont´ınuas.

Exerc´ıcio 1.2. Sejam Ω um subconjunto compacto de um espa¸co topo- l´ogico de Hausdorff e C(Ω) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas ψ :

4 [CAP. 1: ESPAC¸ OS NORMADOS

s˜ao de verifica¸c˜ao bem mais simples). De forma an´aloga definem-se os espa¸cos de Banach lp(Z). Se J ´e um conjunto, l∞(J) denota todas as fun¸c˜oes ψ : J → F com ‖ψ‖∞ := supt∈J |ψ(t)| < ∞, e para 1 ≤ p < ∞, lp(J) ´e o conjunto das fun¸c˜oes ψ : J → F que se anulam, exceto num subconjunto cont´avel de J, e de forma que ‖ψ‖p :=

t∈J |ψ(t)| p)^1 /p^ < ∞. Estes espa¸cos

tamb´em s˜ao Banach (note que ‘Banach’ j´a est´a sendo usado como ad- jetivo). Observe que l∞(J) ⊂ C(J), com J tomado com a topologia discreta. •

Exemplo 1.4. Se (Ω, A, μ) ´e um espa¸co de medida (positiva), em que A ´e uma σ-´algebra em Ω, ent˜ao ´e um resultado bem-conhecido em teoria de integra¸c˜ao que, para 1 ≤ p ≤ ∞, o conjunto Lpμ(Ω) das (classes de equivalˆencias, que identificam duas fun¸c˜oes que coincidem μ-q.t.p., de) fun¸c˜oes mensur´aveis ψ : Ω → F com

‖ψ‖p :=

Ω

|ψ(t)|pdμ(t)

) 1 /p < ∞, 1 ≤ p < ∞,

e ‖ψ‖∞ := sup esst∈Ω|ψ(t)| < ∞, s˜ao espa¸cos de Banach. Novamente, os casos p = 1, 2 , ∞ s˜ao de verifica¸c˜ao bem mais simples que os outros. Nos Exerc´ıcios Adicionais deste Cap´ıtulo ´e apresentado um pequeno roteiro para demonstrar alguns desses resultados. Se a medida ´e a de Lebesgue em subconjuntos de Rn^ a nota¸c˜ao ser´a simplesmente Lp(Ω); no caso de Ω ser um intervalo [a, b] da reta real e a medida a de Lebesgue, ent˜ao tamb´em ser´a usada a nota¸c˜ao Lp[a, b]. •

Exerc´ıcio 1.5. Verifique que lp(J), para p = 1, 2 , ∞ e L∞ μ (Ω) s˜ao espa¸cos de Banach, e que Lpμ(Ω) s˜ao espa¸cos normados para p = 1, 2.

O espa¸co vetorial gerado por um subconjunto A de um espa¸co veto- rial X ´e o conjunto das combina¸c˜oes lineares finitas de seus elementos, e ser´a denotado por Lin(A); note que Lin(A) ´e o menor subespa¸co que cont´em A. Lembre, tamb´em, que uma base de Hamel, ou simplesmente base, num espa¸co vetorial X ´e um conjunto A linearmente independente maximal, ou seja, Lin(A) = X. Se existe uma base finita de X com n elementos, diz-se que a dimens˜ao alg´ebrica de X, denotada por dim X, ´e finita e igual a n (e todas as bases possuem n elementos); de outra forma, diz-se que a dimens˜ao de X ´e infinita. Um subconjunto A num espa¸co normado N ´e total em N se Lin(A) ´e denso em N.

Defini¸c˜ao 1.5. Duas normas ‖ · ‖ 1 e ‖ · ‖ 2 num espa¸co vetorial X s˜ao equivalentes se existem A, B > 0 de forma que

A ‖ξ‖ 1 ≤ ‖ξ‖ 2 ≤ B ‖ξ‖ 1 , ∀ξ ∈ X.

Exerc´ıcio 1.6. a) Verifique que normas equivalentes num espa¸co veto- rial geram a mesma topologia (m´etrica) e possuem as mesmas sequˆencias de Cauchy; portanto, se um desses espa¸cos m´etricos for completo, ent˜ao o outro tamb´em ser´a.

b) Mostre que se duas normas geram a mesma topologia, ent˜ao elas s˜ao equivalentes.

Exemplo 1.6. As normas ‖ · ‖∞ e ‖ · ‖ 1 no espa¸co vetorial dos po- linˆomios em [0, 1] n˜ao s˜ao equivalentes, pois se pn(t) = tn−^1 , tem-se ‖pn‖∞ = 1, para todo n ≥ 1, enquanto ‖pn‖ 1 = 1/n, que converge a zero quando n → ∞. •

Exerc´ıcio 1.7. a) Mostre que num espa¸co normado de dimens˜ao fi- nita um conjunto ´e compacto se, e somente se, ele ´e fechado e limitado (lembre-se que num espa¸co m´etrico todo compacto ´e limitado e fechado).

b) Seja ξn = (δn,j )∞ j=1, sendo δk,i = 0 se i 6 = k e δk,k = 1 o “δ de Kronecker”. Use essa sequˆencia para mostrar que em lp(N), 1 ≤ p ≤ ∞, h´a conjuntos fechados e limitados que n˜ao s˜ao compactos.

Como motiva¸c˜ao ´e interessante adiantar algumas propriedades par- ticulares de espa¸cos normados de dimens˜ao infinita, e compar´a-las com o caso de dimens˜ao finita. Tais propriedades ser˜ao tratadas futuramente neste texto.

1. Todas as normas num espa¸co vetorial de dimens˜ao finita s˜ao equi- valentes e todos esses espa¸cos s˜ao Banach, o que n˜ao ocorre em dimens˜ao infinita.
2. A bola B(0; 1) ´e compacta se, e somente se, a dimens˜ao do espa¸co normado ´e finita.
3. Toda aplica¸c˜ao linear de um espa¸co normado de dimens˜ao finita nele mesmo ´e cont´ınua, o que n˜ao vale necessariamente em di- mens˜ao infinita.