Baixe Introduç˜ao `a teoria de erros e medidas e outras Exercícios em PDF para Desvio, somente na Docsity!
Introdu¸c˜ao `a teoria de erros e medidas
Jorge Diego Marconi
Em F´ısica, a id´eia de medida est´a subjacente a tudo. E atrav´´ es de experiˆencias que se pode obter valores quantitativos consistentes para certas propriedades da mat´eria, sejam elas propriedades das chamadas part´ıculas elementares - os constituintes ´ultimos da mat´eria, sejam elas as grandezas que nos permitem entender um pouco as gal´axias e outros objetos estelares. No dia a dia, medimos grandezas normais, aquelas que est˜ao dentro de nossos conceitos antropom´orficos de descri¸c˜ao da natureza. Mas a natureza n˜ao ´e s´o o que vemos ao nosso redor. Quando estudamos o microcosmo, h´a outras propriedades da natureza que n˜ao tˆem correspondˆencia na nossa vida do dia a dia. Quando nos afastamos de nosso sistema planet´ario e estudamos a nossa gal´axia ou outras estrelas, tamb´em s˜ao encontrados estranhos mundos onde n˜ao valem as grandezas com as quais estamos acostumados. Para descrever essas novas propriedades, s˜ao atribu´ıdos nomes a elas e s˜ao feitas medidas sistem´aticas. Tanto nesses campos avan¸cados da f´ısica quanto em nossas experiˆencias no laborat´orio de IF129, os resultados das medidas s˜ao sempre expressos por n´umeros que indicam quantas vezes uma propriedade f´ısica de um certo corpo ´e maior ou menor que um determinado padr˜ao, definido de forma arbitr´aria, mas conhecido por todos. Esse padr˜ao ´e a unidade daquela propriedade f´ısica particular. Um assunto que aparece imediatamente em f´ısica experimental ´e que qualquer medida que fizermos ser´a sempre afetada por algum tipo de erro. Como explicaremos a seguir, esses erros podem ser causados pela qualidade (ou falta de) dos instrumentos, pela falta de cuidado do observador, ou podem ser erros estat´ısticos. Os principais tipos de erros s˜ao:
Erros sistem´aticos
Erros sistem´aticos s˜ao aqueles causados por defeitos dos instrumentos, por exemplo, falta de calibra¸c˜ao. Se um termˆometro marca sistematicamente 1 ◦C a mais, porque est´a descal- ibrado, nunca ser´a poss´ıvel eliminar esse erro, por mais cuidado que se tome. Deve-se recalibrar o termˆometro. Para identificar e calcular esses erros, deve-se mudar o instru- mento de medida. No caso de erros sistem´aticos, as medidas ser˜ao afetadas em conjunto, sempre para mais ou para menos.
Erros casuais
Erros acidentais, casuais ou aleat´orios, s˜ao aqueles causados em geral por varia¸c˜oes nas condi¸c˜oes em que as medidas foram feitas: temperatura, press˜ao, umidade e por erros de leitura por parte do observador. Em geral, nesse tipo de erro, h´a igual probabilidade de que as medidas sejam afetadas para mais ou para menos; efetuando-se uma s´erie de medidas e calculando-se a m´edia, consegue-se compensar de certa maneira o efeito desse tipo de erro, obtendo-se uma melhor estimativa da grandeza f´ısica que se quer medir. Assim, todas as medidas de uma propriedade f´ısica est˜ao afetadas por uma incerteza, que vamos chamar em geral de erro, desvio ou imprecis˜ao da medida. Deste modo, os resultados das medidas devem ser expressos de tal modo que se possa avaliar a precis˜ao com que elas foram feitas (ou calculadas).
Para poder apresentar melhor alguns conceitos, vamos considerar a seguinte situa¸c˜ao: suponha que vocˆe mediu uma determinada magnitude x, por exemplo 50 vezes (ou N vezes), sempre nas mesmas condi¸c˜oes e com o mesmo instrumento. Em geral, esses 50 valores v˜ao ser diferentes entre eles, similares mas diferentes. Neste caso, qual ´e o valor que eu devo dar como resultado final e com que erro? Para isso vamos come¸car definindo o valor m´edio das medi¸c˜oes como,
x =
∑^50
i=
xi
para o caso em que N = 50.
A teoria de erros mostra que, com um conjunto finito de medidas, n˜ao ´e poss´ıvel obter o valor exato da grandeza que se est´a medindo, e demonstra que essa m´edia, calculada com base nos valores experimentais, ´e o melhor estimador dessa grandeza. Ent˜ao, at´e agora temos o valor que vamos dar como resultado das 50 medi¸c˜oes, ou seja a m´edia, mas ainda n˜ao sabemos quantos d´ıgitos v˜ao ficar nem qual ´e o erro associado. Se o leitor for perspicaz, talvez pense, “se esses 50 valores deram esta m´edia, e essa m´edia representa o valor mais prov´avel da minha medi¸c˜ao, ent˜ao o erro deveria estar, de alguma maneira, associado ´a dispers˜ao de todos os valores ao redor da m´edia”. Vamos ent˜ao definir o desvio quadr´atico m´edio ou desvio padr˜ao como:
√√ √√ √
∑ 50
i=1(x^ −^ xi)
2
A teoria dos erros vai associar, a uma certa medida, n˜ao o erro que se comete, mas sim um intervalo de valores ao redor da m´edia, dentro do qual o valor verdadeiro tem uma alta probabilidade de ser encontrado. E o n´umero que melhor estima esse intervalo ´e dado por:
σx = ∆xestatistico =
A este erro, que mede de alguma forma a dispers˜ao dos dados ao redor da m´edia, vamos chamar de erro estat´ıstico. Agora finalmente, com o conjunto de 50 dados experimentais, podemos determinar um resultado final e um erro associado. E importante mencionar´ que o n´umero 50, que aqui representa o n´umero total de dados, pode ser obviamente generalizado para N dados, ficando ent˜ao as equa¸c˜oes para o caso geral como:
x =
∑N
i=
xi
N
√√ √√ √
∑N
i=1(x^ −^ xi)
2
(N − 1)
depois dos zeros ´a esquerda. Resulta ent˜ao que o n´umero 5 que vem depois do 2 n˜ao est´a, essencialmente, dando muita mais informa¸c˜ao, pois o 2 anterior ´e um ordem de magnitude maior. Assim, para que o resultado fique mais claro, vamos fazer o arredondamento. Como? A id´eia ´e que fique s´o a informa¸c˜ao essencial, assim vamos chamar de primeiro d´ıgito significativo ao primeiro d´ıgito do valor do erro que seja diferente de zero. Neste caso seria o 2. Mas vamos dar tamb´em certa importˆancia ao que vem depois, o segundo d´ıgito significativo, em nosso caso o 5. Como vale 5, ent˜ao o 2 vai virar 3, com o qual o erro vai ficar como 0,03 s. O crit´erio que usamos foi o seguinte: se o segundo d´ıgito significativo est´a entre 0 e 4, ent˜ao o primeiro fica como est´a; mas se o segundo d´ıgito est´a entre 5 e 9, o primeiro se incrementa em uma unidade. Como no exemplo considerado, o segundo d´ıgito ´e 5, ent˜ao o 2 vira 3. Agora quase terminamos; o que falta ´e acomodar o valor da m´edia, para que fique com o mesmo n´umero de decimais que o erro. Como este ficou valendo 0,03 s, que tem dois decimais, ent˜ao do valor de 1,235464 s, que tem 6 decimais, deve passar a ter somente dois n´umeros decimais. Como? Usamos o crit´erio de arredondar que usamos com o erro. O segundo decimal ´e 3, o terceiro ´e 5, ent˜ao o segundo vira 4. Assim, o resultado final da medi¸c˜ao pode ser expresso como:
(1, 24 ± 0 ,03) s
Os conceitos at´e aqui servem s´o para as chamadas medi¸c˜oes diretas, ou seja para magnitudes que vocˆe mede diretamente com algum instrumento, como por exemplo um tempo ou um comprimento. Tudo isto dever´a ficar claro ao longo dos diferentes experi- mentos. Trataremos posteriormente o caso das chamadas medi¸c˜oes indiretas, onde o valor da magnitude procurada ´e obtido depois de algum c´alculo. Por exemplo, se quisermos obter o volume de um cubo, o que vamos medir em forma direta v˜ao ser os lados do cubo, e para achar o volume temos que fazer uma conta, V = L 1 .L 2 .L3. Neste caso, qual vai ser o erro do volume? A resposta n˜ao ´e complicada mas requer conhecimentos de c´alculo, especificamente de derivadas. Trataremos deste assunto ao longo do curso.
