Introdução à Física Acústica: Deslocamento de Ondas na Corda, Notas de aula de Acústica

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Introdu¸c˜ao `a F´ısica Ac´ustica

Antonio Newton Borges e Cl´oves Gon¸calves Rodrigues

11 de fevereiro de 2016

Sum´ario

• Pref´acio
• 1 Medidas F´ısicas e Nota¸c˜ao Cient´ıfica
  • 1.1 Introdu¸c˜ao
  • 1.2 O Sistema Internacional de Unidades
  • 1.3 Grandezas F´ısicas Derivadas
    • 1.3.1 Velocidade escalar m´edia
    • 1.3.2 Acelera¸c˜ao
    • 1.3.3 For¸ca
    • 1.3.4 Trabalho
    • 1.3.5 Energia
    • 1.3.6 Potˆencia
    • 1.3.7 Press˜ao
  • 1.4 Nota¸c˜ao Cient´ıfica
• 2 Movimentos Peri´odicos
  • 2.1 Introdu¸c˜ao
  • 2.2 Per´ıodo e Frequˆencia
  • 2.3 Exemplos de Osciladores
    • 2.3.1 Pˆendulo Simples
    • 2.3.2 Oscilador Harmˆonico Linear Simples
  • 2.4 Oscila¸c˜oes Amortecidas
  • 2.5 Oscila¸c˜oes For¸cadas
• 3 Movimento Ondulat´orio
  • 3.1 Onda
  • 3.2 Ondas em uma Corda
  • 3.3 Classifica¸c˜ao das Ondas
  • 3.4 Equa¸c˜ao de uma Onda Progressiva
  • 3.5 Sentido de Propaga¸c˜ao de uma Onda
  • 3.6 N´umero de Onda e Frequˆencia Angular
  • 3.7 Velocidade das Ondas Progressivas
  • 3.8 Fenˆomenos Ondulat´orios
    • 3.8.1 Princ´ıpio de Superposi¸c˜ao
    • 3.8.2 Interferˆencia de Ondas
    • 3.8.3 Passagem de uma Onda de um Meio para Outro
    • 3.8.4 Reflex˜ao de uma Onda
    • 3.8.5 Ondas Estacion´arias e Ressonˆancia
• 4 Som
  • 4.1 Ondas Sonoras
  • 4.2 O Que ´e Som
  • 4.3 Ondas Sonoras Progressivas
  • 4.4 Infra-Som e Ultra-Som
  • 4.5 A Velocidade do Som no Ar em Fun¸c˜ao da Temperatura
  • 4.6 Intensidade de Energia Sonora
  • 4.7 Intensidade de Energia de uma Fonte Pontual
  • 4.8 Sensibilidade do Ouvido Humano
  • 4.9 N´ıvel de Intensidade Sonora
  • 4.10 N´ıvel de Press˜ao Sonora
• 5 Fenˆomenos Sonoros
  • 5.1 Reflex˜ao do Som
  • 5.2 Refra¸c˜ao do Som
  • 5.3 Materiais Absorvedores de Som
  • 5.4 Difra¸c˜ao do Som
  • 5.5 Batimentos
  • 5.6 O Efeito Doppler
  • 5.7 Ressonˆancia em Tubo de Ar
    • 5.7.1 Tubo Aberto
    • 5.7.2 Tubo Fechado
  • 5.8 Ressonˆancia em Membranas Vibrantes
• 6 Produ¸c˜ao e Sensa¸c˜ao do Som
  • 6.1 Introdu¸c˜ao
  • 6.2 O Som e Suas Caracter´ısticas
    • 6.2.1 Intensidade
    • 6.2.2 Altura
    • 6.2.3 Timbre
  • 6.3 Tom, Ru´ıdo e Barulho
    • 6.3.1 Tom
    • 6.3.2 Ru´ıdo
    • 6.3.3 Barulho
  • 6.4 Sons Musicais
    • 6.4.1 Cordas Vibrantes
    • 6.4.2 Membranas
    • 6.4.3 Tubos Sonoros
    • 6.4.4 Barras
    • 6.4.5 Nota Musical e Intervalo
  • 6.5 Produ¸c˜ao da Fala
  • 6.6 Audi¸c˜ao
    • 6.6.1 Orelha Externa
    • 6.6.2 Orelha M´edia
    • 6.6.3 Orelha Interna
  • 6.7 Sensibilidade do Ouvido Humano
  • 6.8 Binauralidade
  • 6.9 Polui¸c˜ao Sonora
  • 6.10 Redu¸c˜ao e Preven¸c˜ao da Polui¸c˜ao Sonora
  • 6.11 Perda Auditiva
    • 6.11.1 Perda Condutiva
    • 6.11.2 Perda Neurossensorial
  • 6.12 Aparelhos Auditivos
• Bibliografia
• Respostas
• Apˆendice

segundo. Toda a mecˆanica ´e fundamentada nestas trˆes unidades b´asicas de medida. Portanto, no sistema MKS, a unidade de comprimento ´e o metro (m), a unidade de massa ´e o quilograma (kg) e a unidade de tempo ´e o segundo (s). As quatro unidades fundamentais apresentadas na Tabela 1.1 associadas a outras que veremos em cap´ıtulos posteriores ser˜ao as de maior importˆancia no estudo da F´ısica Ac´ustica.

Tabela 1.1: Algumas unidades fundamentais do SI Grandeza Nome da Unidade S´ımbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s temperatura kelvin K

As outras trˆes unidades fundamentais do SI s˜ao apresentadas na Tabela 1.2. Estas unidades ser˜ao de pouco interesse para os nossos objetivos neste livro texto.

Tabela 1.2: Demais unidades fundamentais do SI Grandeza Nome da Unidade S´ımbolo corrente el´etrica amp`ere A quantidade de substˆancia mol mol intensidade luminosa candela cd

1.3 Grandezas F´ısicas Derivadas

Muitas unidades derivadas do SI s˜ao definidas em termos das unidades fundamentais apresen- tadas nas Tabelas 1.1 e 1.2. Descrevemos em seguida as principais unidades derivadas do SI.

1.3.1 Velocidade escalar m´edia

A velocidade escalar m´edia (v) ´e a raz˜ao entre a distˆancia total percorrida (d) e o tempo total gasto (∆t) para percorrer esta distˆancia,

v =

d ∆t

A unidade de velocidade no SI ´e o metro por segundo (m/s).

1.3.2 Acelera¸c˜ao

A acelera¸c˜ao (~a) no movimento uniformemente variado ´e a taxa de varia¸c˜ao da velocidade em rela¸c˜ao ao tempo,

~a = ∆~v ∆t

onde ∆t ´e a varia¸c˜ao do tempo e ∆~v ´e a varia¸c˜ao da velocidade, ou seja ∆t = t 2 −t 1 e ∆~v = ~v 2 −~v 1 , sendo ~v 2 e ~v 1 as velocidades correspondentes aos tempos t 2 e t 1 , respectivamente. De acordo com a Eq. 1.2, a unidade de acelera¸c˜ao no SI ´e metro por segundo ao quadrado (m/s^2 ).

1.3.3 For¸ca

A for¸ca ( F~ ) ´e todo agente capaz de deformar ou produzir uma acelera¸c˜ao em um corpo. Por exemplo, quando exercemos um esfor¸co muscular para puxar ou empurrar um objeto, estamos lhe comunicando uma for¸ca ( F~ ). A for¸ca resultante F~ aplicada sobre uma part´ıcula ´e:

F^ ~ = m~a (1.3)

sendo m a massa da part´ıcula e ~a a sua acelera¸c˜ao. Conforme a Eq. (1.3), a unidade de for¸ca no SI ´e kg.m/s^2 que recebe o nome de newton (N = kg.m/s^2 ).

1.3.4 Trabalho

Suponha que uma part´ıcula ´e arrastada sobre uma mesa horizontal, submetida `a a¸c˜ao de uma for¸ca ( F~ ) constante, e que a part´ıcula se desloque de uma distˆancia d. Sendo α o ˆangulo entre F^ ~ e a dire¸c˜ao do deslocamento do corpo (veja Fig. 1.1).

Figura 1.1: Bloco, considerado como part´ıcula, sendo arrastado sobre uma mesa horizontal por uma for¸ca constante F~.

Define-se o trabalho realizado por uma for¸ca constante, T , do seguinte modo,

T = F d cos α (1.4)

onde F ´e o m´odulo da for¸ca F~. Se a for¸ca F~ atua no mesmo sentido do deslocamento, temos α = 0◦^ e, como cos 0◦^ = 1, teremos, T = F d (1.5) A unidade de trabalho no SI ´e o joule cujo s´ımbolo ´e J (J = N.m).

1.3.5 Energia

A energia (E) ´e um dos conceitos mais importantes da F´ısica e talvez o termo “energia” seja um dos mais empregados em nossa linguagem cotidiana. Na F´ısica, costuma-se introduzir este conceito dizendo que “a energia representa a capacidade de realizar trabalho”. A energia ´e medida com a mesma unidade usada para se medir o trabalho, ou seja, o joule (J). Como exemplos de energia podemos citar a energia cin´etica, energia potencial, energia mecˆanica, energia t´ermica, etc.

coluna de ´agua que est´a sobre ele e que tamb´em exerce press˜ao. J´a um alpinista que sobe uma montanha experimentar´a uma press˜ao cada vez menor `a medida que sobe; isto porque com o aumento da altitude a massa da coluna de ar sobre seu corpo ´e cada vez menor, e como a massa de ar ´e menor o peso que o ar exerce no alpinista tamb´em ser´a menor. A Tabela 1.3 fornece as unidades das principais grandezas derivadas do SI vistas at´e aqui.

Tabela 1.3: Algumas unidades derivadas do SI Grandeza Nome da Unidade S´ımbolo velocidade metro por segundo m/s acelera¸c˜ao metro por segundo ao quadrado m/s^2 for¸ca newton N (= kg.m/s^2 ) trabalho e energia joule J (= kg.m^2 /s^2 ) potˆencia watt W (= J/s) press˜ao pascal Pa (= N/m^2 )

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Exemplo 1- Uma part´ıcula num movimento unidimensional sai do ponto A vai at´e o ponto B e retorna ao ponto A num intervalo de tempo de 10 s, como mostra a Figura 1.3 logo a seguir. A distˆancia entre A e B ´e de 1 m. Qual a velocidade escalar m´edia da part´ıcula?

Figura 1.3:

solu¸c˜ao Como a part´ıcula vai do ponto A at´e o ponto B e depois retorna ao ponto A, a distˆancia total que ela percorre ser´a o dobro da distˆancia entre os pontos A e B. Logo

v =

d ∆t

2 × 1m 10 s = 0, 2 m/s

Exemplo 1- Um candelabro de massa 2 kg est´a suspenso por uma corda que est´a fixada em um teto. Qual ´e a tra¸c˜ao τ que a corda suporta? Considere g = 9,78 m/s^2.

solu¸c˜ao A tra¸c˜ao na corda ser´a justamente o peso do corpo suspenso, ou seja:

τ = mg = 2 kg × 9 , 78 m/s^2 = 19, 56 N

Exemplo 1- Um bloco de concreto est´a sobre um piso horizontal. Se o bloco possui uma massa de 2 kg e uma

´area de contato com o piso de 0,2 m^2 , qual a press˜ao exercida pelo bloco no piso? Considere g = 9,78 m/s^2.

solu¸c˜ao A for¸ca que o tijolo exerce sobre o piso ´e o seu pr´oprio peso mg. Portanto teremos:

p =

F

A

mg A

2 kg × 9 , 78 m/s^2 0 , 2 m^2 = 97, 8 N/m^2 = 97, 8 Pa

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1.4 Nota¸c˜ao Cient´ıfica

Na f´ısica frequentemente encontramos n´umeros muito grandes ou muito pequenos, os quais s˜ao muito incˆomodos para serem escritos e dif´ıceis de trabalhar sem cometer erros em computa¸c˜ao aritm´etica. Para evitarmos escrever uma grande quantidade de zeros e facilitar os c´alculos com grandes ou pequenos n´umeros fazemos uso da nota¸c˜ao cient´ıfica (tamb´em conhecida como nota¸c˜ao exponencial). A nota¸c˜ao cient´ıfica consiste em escrever certa quantidade como o produto de um n´umero, entre 1 e 10, multiplicado por 10 elevado a alguma potˆencia. Por exemplo:

3. 560. 1. 000 = 3 , 56 × 109 e 0, 000000492 = 4, 92 × 10 −^7

Para determinarmos o expoente de 10 na nota¸c˜ao cient´ıfica devemos contar o n´umero de ordens decimais que devem ser movidas para produzir o n´umero que precede ao 10. Vejamos como fazer isto:

7 02000←−−− ︸ ︷︷ ︸ 5 ordens

= 7, 02 × 105 e 3 5010000←−−−−− ︸ ︷︷ ︸ 7 ordens

= 3, 501 × 107

6 ordens

= 2, 1 × 10 −^6 e 0 , (^00000009) −−−−−−→ 7 ︸ ︷︷ ︸ 8 ordens

= 9, 7 × 10 −^8

Observe que o expoente de 10 ´e positivo quando o decimal ´e movido para a esquerda e ´e negativo quando o decimal ´e movido para a direita. Outra conveniˆencia, quando utilizamos pequenos ou grandes n´umeros, ´e o uso dos prefixos relacionados na Tabela 1.4. Alguns empregos destes prefixos, como em mil´ımetros, cent´ımetros, quilogramas e megabytes, j´a s˜ao de seu conhecimento. Assim, podemos expressar um determi- nado intervalo de tempo 2, 35 × 10 −^9 segundos como 2, 35 nanossegundos ou de forma abreviada 2 , 35 ns.

PROBLEMAS

1. Escreva em nota¸c˜ao cient´ıfica os seguintes n´umeros: a) 12300000000 b) 0, c) 12 d) 0,

2. Expresse, em nota¸c˜ao cient´ıfica: a) 30 kg em gramas b) 130 mg em quilogramas c) 77,8 g em quilogramas d) 5 km em metros e em cent´ımetros e) 2 m em quilˆometro f) 270 cm em metros

3. A velocidade de uma part´ıcula ´e de 340 m/s. Expresse esta velocidade em: a) cm/s b) km/s

Cap´ıtulo 2

Movimentos Peri´odicos

2.1 Introdu¸c˜ao

A introdu¸c˜ao de movimentos peri´odicos ´e de grande importˆancia para o estudo do movimento ondulat´orio que ser´a realizado no pr´oximo cap´ıtulo. As no¸c˜oes de per´ıodo, frequˆencia e amplitude que ser˜ao introduzidos aqui ser˜ao de grande utilidade nos cap´ıtulos seguintes.

2.2 Per´ıodo e Frequˆencia

Diz-se que um movimento ´e peri´odico quando, para um mesmo referencial, se repete identica- mente em intervalos de tempos sucessivos e iguais. O termo peri´odico quer dizer que, depois de um certo lapso de tempo, o sistema recupera sua configura¸c˜ao original e em seguida o movimento come¸ca a se repetir. O movimento, portanto, ocorre em ciclos repetitivos, cada um dos quais exatamente igual a qualquer outro. Movimentos peri´odicos ocorrem frequentemente na natureza e ocupam uma posi¸c˜ao de grande importˆancia na F´ısica. Como exemplos, podemos citar o movimento de rota¸c˜ao da Lua em torno da Terra e o movimento de transla¸c˜ao da Terra em torno do Sol. Movimentos peri´odicos que podem ser descritos em termos de uma ´unica coordenada de distˆancia, como o movimento para cima e para baixo de uma massa suspensa por uma mola vertical, s˜ao chamados de movimentos oscilat´orios ou vibrat´orios. O movimento de uma corda de violino, o movimento de um pˆendulo oscilando, o movimento dos ´atomos num s´olido s˜ao todos exemplos de movimento oscilat´orio. O movimento peri´odico pode ser chamado tamb´em de movimento harmˆonico. Quando um corpo executa um movimento, indo e voltando sobre uma mesma trajet´oria, dizemos que ele est´a vibrando ou oscilando entre dois pontos. Se o corpo vai de uma posi¸c˜ao extrema `a outra e retorna a posi¸c˜ao inicial, dizemos que ele efetuou uma vibra¸c˜ao completa ou um ciclo. O tempo que um corpo, em movimento peri´odico, gasta para realizar um ciclo completo ´e denominado per´ıodo (T ) do movimento. Por exemplo, o per´ıodo de rota¸c˜ao da Lua em torno da Terra ´e de aproximadamente 28 dias e o de transla¸c˜ao da Terra em torno do Sol de 365 dias. Nos movimentos oscilat´orios o n´umero de vibra¸c˜oes completas (ou n´umero de ciclos) N que o corpo realiza por intervalo de tempo decorrido ∆t ´e denominado frequˆencia (f ) do movimento:

f =

N

∆t

2.3 Exemplos de Osciladores

2.3.1 Pˆendulo Simples

Um pˆendulo simples (veja Figura 2.1) ´e um fio inextens´ıvel de massa desprez´ıvel fixado em uma de suas extremidades e com um corpo de massa m preso `a sua outra extremidade. Quando retirado de sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio e solto o pˆendulo come¸ca a oscilar.

Figura 2.1: Pˆendulo simples.

A amplitude do movimento ser´a a distˆancia entre a posi¸c˜ao de equil´ıbrio e a posi¸c˜ao extrema ocupada pelo corpo que oscila. E poss´´ ıvel demonstrar que o per´ıodo de oscila¸c˜ao de um pˆendulo simples oscilando com pequena amplitude (α ≤ 15 ◦) ´e dado pela express˜ao

T = 2π

L

g

onde L ´e o comprimento do pˆendulo simples e g ´e a acelera¸c˜ao da gravidade local. A express˜ao (2.5) nos mostra que: quanto maior for o comprimento L do pˆendulo, maior ser´a o seu per´ıodo; quanto maior for a acelera¸c˜ao da gravidade no local onde o pˆendulo oscila, menor ser´a o seu per´ıodo; o per´ıodo n˜ao depende da massa m do pˆendulo.

2.3.2 Oscilador Harmˆonico Linear Simples

Um bloco de massa m conectado a uma mola est´a inicialmente em repouso na posi¸c˜ao x 0 , sobre um piso horizontal sem atrito (veja Figura 2.2).

Figura 2.2: Oscilador harmˆonico linear.

O bloco ´e ent˜ao deslocado de sua posi¸c˜ao inicial at´e o ponto x 1 esticando-se ´e claro a mola. O bloco ´e ent˜ao solto. Este ir´a, ent˜ao, se movimentar entre os pontos x 1 e x 2 , sendo |x 1 | = |x 2 |. A amplitude A do movimento ser´a o m´odulo do deslocamento m´aximo realizado pelo movimento,

ou seja A = |x 1 | = |x 2 |. Este constitui um exemplo de um oscilador harmˆonico linear. Neste caso ´e poss´ıvel demonstrar que o per´ıodo de seu movimento ´e

T = 2π

m κ

onde T ´e o per´ıodo (ou seja, o tempo necess´ario para que o objeto realize um ciclo completo), m ´e a massa do objeto que est´a oscilando e κ ´e a constante el´astica da mola. Observe que neste caso, ao contr´ario do pˆendulo, o per´ıodo depende da massa do corpo que oscila: quanto maior a massa maior ser´a o per´ıodo do pˆendulo. Nos sistemas que se comportam como osciladores sempre existe uma for¸ca que tende a retornar o objeto oscilante para a sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio. Esta for¸ca ´e chamada de for¸ca restauradora. No caso do pˆendulo a for¸ca restauradora est´a associada a gravidade e no caso do oscilador harmˆonico simples a for¸ca restauradora est´a associadaas propriedades el´asticas da mola.

---

Exemplo 2- Um pˆendulo simples possui um comprimento de 2 m. Qual o seu per´ıodo de oscila¸c˜ao? Adote g = 9,78 m/s^2. solu¸c˜ao:

T = 2π

L

g

= 2 × 3 , 14

2 m 9 , 78 m/s^2 ' 2 , 84 s

Exemplo 2- Um bloco de 1 kg est´a preso `a extremidade de uma mola que possui uma constante el´astica de 3 N/m. Qual o per´ıodo de oscila¸c˜ao do movimento? solu¸c˜ao:

T = 2π

m κ

= 2 × 3 , 14

1 kg 3 N/m ' 3 , 62 s

Exemplo 2- Seja um pˆendulo simples cujo per´ıodo ´e igual a 0,5 s. Qual a frequˆencia f do pˆendulo? solu¸c˜ao:

f =

T

0 , 5s

s

= 2 Hz

---

2.4 Oscila¸c˜oes Amortecidas

Quando o movimento de um oscilador ´e reduzido por uma for¸ca externa dizemos que o movimento ´e amortecido. Na pr´atica todos os movimentos oscilat´orios s˜ao amortecidos por algum tipo de for¸ca. O movimento de um pˆendulo oscilando no ar, por exemplo, vai lentamente diminuindo porque o ar exerce uma for¸ca viscosa sobre o pˆendulo. J´a o movimento de um bloco conectado a uma mola ser´a amortecido pelo ar e tamb´em pela for¸ca de atrito existente entre o bloco e o piso. Para um oscilador amortecido a energia mecˆanica n˜ao ´e constante e decresce com o decorrer do tempo.