Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Este documento aborda a representação e cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, bem como o cálculo do fluxo de campos vetoriais através dessas superfícies. São apresentados conceitos fundamentais, como a representação de superfícies por funções e parâmetros, cálculo de áreas por integrais duplas e fluxo de campos vetoriais por meio de integrais de superfície.
Tipologia: Notas de aula
1 / 21
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Apresentar integrais de funções definidas sobre superfícies em R
3 .
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
Definir integrais de funções definidas sobre superfícies em R
3 e
calcular algumas integrais de funções vetoriais definidas sobre su-
perfícies em R
3 .
Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do-
mínio em R, da disciplina Cálculo I, vetores da disciplina Vetores
e Geometria analítica e superfícies em R
3 .
Integrais de Superfícies
Caros alunos nossa aula de hoje “Integrais de Superfícies” tem,
como a nossa aula anterior “Integrais de Funções Vetoriais sobre
Curvas em R
3 ”, um sabor de física, desde a determinação da massa,
momento de massa e centro de massa de uma superfície até a deter-
minação do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Da mesma forma que na aula anterior, vocês devem ater-se apenas
aos aspectos matemáticos da matéria abordada.
3
3
3
Bom, vamos começar, bem do começo, com algumas formas de
representação de superfícies. A primeira forma de representação
de uma superfície é considerar uma função f : D ⊂ R
3 → R e
tomar um ponto c ∈ Img(f ) da imagem de f. Desta forma, de
modo geral, f (x, y, z) = c representa uma superfície S ⊂ R
3 .
Exemplo 8.1. Sejam a, b, c > 0 e f : R
3 → R dada por: f (x, y, z) =
x
2
a
2
y
2
b
2
z
2
c
2
. Desta forma f (x, y, z) = d representa elipsóides para
valores positivos de d.
Outra forma de representação de uma superfície é através de
uma parametrização. Representar S ⊂ R
3 por: x = ˆx(u, v), y =
yˆ(u, v) e z = ˆz(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d].
Exemplo 8.2. Tomando o exemplo anterior podemos parametri-
zar os elipsóides por: x = a
d cos(u) cos(v), y = b
d sin(u) cos(v)
e z = c
d sin(v), ∀(u, v) ∈ [−π, +π] × [−π, +π].
Integrais de Superfícies
Figura 8.2: Detalhe do elemento de área Δσij
ij
(a área da sombra é sempre maior ou igual à área do objeto).
Da geometria vetorial |uuui × vvvj • ppp| é a área da projeção do parale-
logamo ΔP ij
onde ppp é a normal a Δ ij
(no caso para projeções no
plano xy ppp =
k
k
k mas, deixaremos ppp nas fórmulas caso seja escolhido
outro plano de projeção).
|uuu i
× vvv j
Também da geometria vetorial temos:
|uuu i
× vvv j
× vvv j
|.|ppp|.| cos(ϕ ij
ij
onde ϕ ij
é o ângulo formado pelo vetor normal ppp(x i
, y j
) e o vetor
uuui × vvvj.
Como, da geometria vetorial, (ver em livros de Cálculo Avançado)
|uuu i
× vvv j
ij
e |ppp| = 1, temos:
ΔPij =
ij
| cos(ϕ)|
Como cada pedaço ΔP ij
aproxima o pedaço da superfície Δσ ij
então a soma:
n− 1 ∑
i=
m− 1 ∑
j=
ij
n− 1 ∑
i=
m− 1 ∑
j=
ij
| cos(ϕ ij
AULA
8 aproxima a área de S. Um refinamento da partição de D ⊂ xy me-
lhora a aproximação e podemos então (argumentação heurística)
escrever:
Are(S) =
D
| cos(ϕ)|
dxdy
Para uma superfície dada por f (x, y, z) = c, temos |∇f • ppp| =
|∇f |.|ppp|.| cos(ϕ)| e como |ppp| = 1 portanto:
Are(S) =
S
dσ =
D
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Por outro lado podemos extender a argumentação e determinar a
integral de uma função g : D ⊂ R
3 → R) definida sobre a superfície
3 na forma:
S
g(x, y, z)dσ =
D
g(x, y, z))
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Vamos a um exemplo para ilustrar os conceitos acima expostos.
Exemplo 8.3. Considere a superfície S ⊂ R
3 dada por
z = a + x
2
2 , cuja z = a projeção no plano xy é a região D ⊂ xy
dada por x
2
2 ≤ b
2 e determine sua área (ver Fig. 8.3).
SOLUÇÃO: Deixamos como a primeira atividade mostrar que:
Figura 8.3: Parabolóide z = a + x
2
2
Cálculo III
AULA
8 reescrever a integral dupla como:
Are(D) =
2 π
0
4 b
2
1
zdzdϑ
Integrando primeiro em z depois em ϑ temos:
Are(D) =
2 π
0
4 b
2
1
zdzdϑ
2 π
0
z
3
4 b
2
1
dϑ
2 π
0
(4b
2
3 − 1)dϑ
(4b
2
3 − 1)ϑ
2 π
0
4 π
(4b
2
3 − 1)
3
3
3
Seja uma superfície S ⊂ R
3 de casca fina dada por f (x, y, z) = c
e com densidade superficial : S ⊂ R
3 → R, a massa, o momento
de massa em relação aos planos yz, xz e xy são dados, respectiva-
mente, por:
S
(x, y, z)dσ =
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
yz
S
(x, y, z)xdσ =
D
(x, y, z)x
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Mxz (S) =
S
(x, y, z)ydσ =
D
(x, y, z)y
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
xy
S
(x, y, z)zdσ =
D
(x, y, z)z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Cálculo III
Integrais de Superfícies
O centro de massa, denotado (¯x, ¯y, z¯), é dado por:
x ¯ =
Myz (S)
D
(x, y, z)x
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
¯y =
xz
D
(x, y, z)y
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
z ¯ =
xy
D
(x, y, z)z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Os momentos de inércia com relação aos eixos x, y e z são dados,
respectivamente, por:
Ix(S) =
D
(x, y, z)(y
2
2
)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Iy(S) =
D
(x, y, z)(x
2
2
)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
z
D
(x, y, z)(x
2
2 )
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Vamos ilustrar com um exemplo. Considere a casca fina des-
crita pela superfície S ⊂ R
3 dada pela parte do cone x
2 +y
2 −z
2 = 0
que situa-se acima do plano z = 0 e e abaixo do plano z = a, cuja
densidade é constante e igual a e determine seu centro de massa
(ver Fig. 8.4).
SOLUÇÃO: Em primeiro lugar determinaremos a massa da casca
fina, levando em conta que a projeção de S ⊂ R
3 no plano xy é a
região circular D ⊂ xy dada por: x
2
2 ≤ a
2 .
Para o caso f (x, y, z) = x
2 +y
2 −z
2 = 0 e ppp =
k
k
k. daí, seu gradiente
será:
Integrais de Superfícies
a integral dupla como:
2 π
0
a
0
rdrdϑ
2 π
r
2
a
0
dϑ
a
2
2 π dϑ
ϑ
2 π
0
= π
a
2
Para determinar o centro de massa temos que determinar apenas
Mxy pois, pela simetria da superfície e como é constante temos
que x¯ = ¯y = 0.
O momento de massa M xy
da casca fina será:
Mxy(S) =
D
z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
x
2 +y
2 ≤a
2
z
2 x
2
2
2 z
dxdy
x
2 +y
2 ≤a
2
zdxdy
x
2 +y
2 ≤a
2
x
2
2 dxdy
Usando so sistema de coordenadas polares, x = r cos(ϑ) e r sin(ϑ),
para o cálculo da integral dupla temos para a projeção x
2 +y
2 ≤ a
2
os seguintes limites r =
a
e ϑ =
2 π
e podemos reescrever
AULA
8 a integral dupla como:
Mxy(S) =
2 π
0
a
0
(r cos(ϑ))
2
2 rdrdϑ
2 π
0
a
0
r
2 cos
2 (ϑ) + r
2 sin
2 (ϑ)rdrdϑ
2 π
0
a
0
r
2 rdrdϑ
2 π
0
a
0
r
2
drdϑ
2 π
r
3
a
0
dϑ
a
2
2 π
dϑ
ϑ
2 π
0
= π
a
3
O valor de ¯z será dado por:
¯z =
xy
π
a
3
π
a
2
Nesta seção veremos como calcular integrais de superfícies para
superfícies parametrizadas.
Seja uma superfície lisa S ⊂ R
3 parametrizada por: x = ˆx(u, v),
y = ˆy(u, v) e z = ˆz(u, v), ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] onde xˆ, yˆ e ˆz
possuem derivadas contínuas com relação a u e a v. Podemos
representar a superfície pelo vetor posição rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i +
yˆ(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k. Representaremos as derivadas do vetor r com
relação a u e a v respectivamente por rrru , rrrv. Consideraremos em
R = [a, b] × [c, d] as quatro retas u = u 0
, u = u 0
e
Cálculo III
AULA
8 paralelogramo também não é nula. Podemos então fazer um par-
tição da região R do plano uv e mapeando-a pela parametrização
sobre a superfície S. Aproximando cada Δσuv pela área do para-
lelogramo associado podemos aproximar a área de S pela soma de
Riemann:
u
v
|rrru × rrrv|ΔuΔv.
Fazendo Δu e Δv tenderem a zero independentemente, a conti-
nuidade das derivadas rrr v
do vetor posição garante que a soma de
Riemann aproxime-se da integral dupla que dá a área Are(S) da
superfície S i.e.
Are(S) =
b
a
d
c
|rrr u
× rrr v
|dudv.
Esta argumentação heurística nos permite extender os con-
ceitos acima desenvolvidos para definir a integral de uma função
f : S ⊂ R
3 → R definida sobre a superfície S da seguinte forma:
Definição 8.1. Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa definida para-
metricamente por rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈
[a, b] × [c, d] e f : S ⊂ R
3 → R uma função de valores reais definida
sobre S então, a integral de f sobre S será:
S
f (x, y, z)dσ
def
b
a
d
c
f (ˆx(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v))|rrru×rrrv|dudv.
Um conceito, vindo da Física, muito importante é o do fluxo de
um campo vetorial através de uma superfície no espaço. Como
exemplo temos o fluxo de massa (massa por unidade de tempo por
unidade de área) de um fluido que é calculado através do seu campo
de velocidade e da sua densidade de massa. Vamos à definição:
Definição 8.2. Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa no espaço e
3 → R
3 uma função de valores vetoriais. Definimos o
Cálculo III
Integrais de Superfícies
fluxo de
F através de S, denotado φ(
F ), por:
φ(
def
=
S
F (x, y, z) • nnndσ.
Onde n é a normal unitária em S.
OBS 8.1. Alternativamente, se S ⊂ R
3 é lisa e definida parame-
tricamente por rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈
[a, b] × [c, d] e
3 → R
3 uma função de valores vetoriais.
O fluxo de
F através de S, é dado por:
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), ˆy(u, v), zˆ(u, v)) • nnn|rrr u
× rrr v
|dudv.
Como podemos calcular o vetor normal por nnn =
|rrr u
× rrr v
·(rrr u
×rrr v
a integral para o fluxo do campo vetorial
F através da superfície
S pode ser reescrita como:
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), ˆy(u, v), zˆ(u, v)) • (rrr u
× rrr v
)dudv.
Vejamos um exemplo envolvendo a determinação do fluxo de um
campo vetorial através de uma superfície no espaço.
Exemplo 8.4. Determine o fluxo do campo vetorial
3 → R
3
dado por
F (x, y, z) = zi
i
i + zj
j
j + xy
k
k
k através da superfície do para-
bolóide z = a
2 − x
2 − y
2 , que fica acima do plano z = 0 (ver Fig.
8.7). SOLUÇÃO: Começaremos por parametrizar a superfície
do parabolóide fazendo ˆx = v cos(u), yˆ = v sin(u) e z = a
2 − v
2 .
Desta forma o vetor posição para a superfície fica expresso por:
rrr(u, v) = v cos(u)
i
i
i + v sin(u)
j
j
j + (a
2 − v
2 )
k
k
k.
Integrais de Superfícies
Simplificando e calculando o fluxo do campo vetorial
F sobre a
superfície S temos:
φ(
a
0
+π
−π
−v
3 sin(u) cos(u)dudv
a
0
−v
3
sin
2 (u)
+π
−π
dv
a
0
−v
3
(sin
2
(+π) − sin
2
(−π))dv
Na aula de hoje, vimos como integrar funções definidas so-
bre uma superfície no espaço. Funções escalares de valores reais
ao longo de superfícies no espaço com as quais podemos determi-
nar área, massa, momento de massa, centro de massa momento
de inércia de uma superfície representando uma casca fina. Vi-
mos também como calcular integrais de campos vetoriais (funções
vetoriais) definidos sobre uma superfície no espaço, que essenci-
almente, os conceitos por trás da integração de campos vetoriais
como o fluxo através de superfícies estão intimamente ligados à
Física.
Caros alunos, em nossa aula de hoje, sobre integrais de fun-
ções definidas sobre superfícies no espaço, tanto funções escalares
quanto campos vetoriais o conteúdo visto pode ser resumido como:
AULA
8 Área de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção
em um dos planos coordenados seja D e ppp a normal a D. A área
da superfície S é dada por:
Are(S) =
S
dσ =
D
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Integral de Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
S ⊂ R
3
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície dada por f (x, y, z) = c cuja projeção
em um dos planos coordenados seja D e ppp a normal a D e g : D ⊂
3 → R uma função de valores reais cujo domínio é a superfície S.
A a integral de g sobre a superfície S é dada por:
S
g(x, y, z)dσ =
D
g(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Massa e Momento de Massa de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
Se a superfície S ⊂ R
3 representa uma casca fina de densidade
superficial : S ⊂ R
3 → R
então, a massa, momento de massa
relativo aos planos coordenados yz, xz e xy, são dados respectiva-
mente por:
S
(x, y, z)dσ =
D
(x, y, z)
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Myz (S) =
S
(x, y, z)xdσ =
D
(x, y, z)x
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
xz
S
(x, y, z)ydσ =
D
(x, y, z)y
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
xy
S
(x, y, z)zdσ =
D
(x, y, z)z
|∇f |
|∇f • ppp|
dA
Centro de Massa de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3
Se a superfície S ⊂ R
3 representa uma casca fina de densidade
Cálculo III
AULA
8 Onde n é a normal unitária em S.
Área de uma Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa definida parametricamente por
rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] então,
a área de S será:
Are(S) =
b
a
d
c
|rrr u
× rrr v
|dudv.
Integral de Superfície S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 S ⊂ R
3 Parametrizada
Sejam S ⊂ R
3 uma superfície lisa definida parametricamente por
rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i + ˆy(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e
f : S ⊂ R
3 → R uma função de valores reais definida sobre S
então, a integral de f sobre S será:
S
f (x, y, z)dσ
def
=
b
a
d
c
f (ˆx(u, v), yˆ(u, v), zˆ(u, v))|rrr u
×rrr v
|dudv.
Fluxo de um Campo Vetorial Através de uma Superfície
3 S ⊂ R
3
S ⊂ R
3 Parametrizada
Se S ⊂ R
3 é lisa e definida parametricamente por rrr(u, v) = ˆx(u, v)
i
i
i+
yˆ(u, v)
j
j
j + ˆz(u, v)
k
k
k, ∀(u, v) ∈ [a, b] × [c, d] e
3 → R
3 uma
função de valores vetoriais. O fluxo de
F através de S, é dado por:
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), yˆ(u, v), ˆz(u, v)) • nnn|rrr u
× rrr v
|dudv.
Como podemos calcular o vetor normal por nnn =
|rrr u
× rrr v
·(rrru ×rrrv)
a integral para o fluxo do campo vetorial
F através da superfície
S pode ser reescrita como:
Cálculo III
Integrais de Superfícies
φ(
b
a
d
c
F (ˆx(u, v), ˆy(u, v), zˆ(u, v)) • (rrr u
× rrr v
)dudv.
Em nossa próxima aula veremos dois importantíssimos teore-
mas do Cálculo. São eles o “Teorema de Green” e “Teorema de
Stokes”. Dizem respeito a integração de campos vetoriais ao longo
de curvas fechadas no plano (caso do teorema de Green) e de curvas
fechadas no espaço (caso do teorema de Stokes).
Deixamos como atividades as seguintes questões:
ATIV. 8.1. Seja S ⊂ R
3 uma superfície dada por z = f (x, y)
cuja projeção no plano xy é D ⊂ xy. Mostre que sua área pode
ser dada por:
D
∂f
∂x
2
∂f
∂y
2
Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as
demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.
ATIV. 8.2. Seja uma casca fina dada pela superfície S ⊂ R
3 des-
crita por f (x, y, z) = a
2 − x
2 − y
2 − z
2 = 0, y < 0 e z > 0 (ver
Fig. 8.8) e determine seu centro de gravidade.
Comentário: Observe que a superfície tem simetria e como a
densidade é constante temos: ¯x = 0 e y¯ = −¯z.
