Integração Trigonométrica, Substituição e Frações Parciais: Monitoria CDI1002, Notas de estudo de Cálculo Diferencial e Integral

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Monitoria CDI

Integração Trigonométrica, Substituição

Trigonométrica e Frações Parciais

Monitora: Samantha Carla Souza Silva Semestre : 2022.

Relembrando as Relações Trigonométricas...

tan 𝑥 =

sen 𝑥

cos 𝑥

cot 𝑥 =

cos 𝑥

sen 𝑥

sec 𝑥 =

1

cos 𝑥

csc 𝑥 =

1

sen 𝑥

sen

2

𝑥 + cos

2

𝑥 = 1 tan

2

𝑥 + 1 = sec

2

𝑥 cot

2

𝑥 + 1 = csc

2

sen

2

1 −cos 2𝑥

2

cos

2

1 +cos 2𝑥

2

sen 2𝑥 = 2 sen 𝑥 cos 𝑥 cos 2𝑥 = cos

2

𝑥 − sen

2

sen(𝑥 ± 𝑦) = sen 𝑥 cos 𝑦 ± sen 𝑦 cos 𝑥 cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 ± sen 𝑥 sen 𝑦

Integração Trigonométrica: 1º e 2º Casos

› Substitui-se por u a função que for ímpar: assim a sua derivada será igual ao

termo da função de expoente par.

› Ao abrir/manipular expoentes ímpares, pode-se considerar :

1

𝑛− 1

) ou k − 1 (𝑎

1

𝑘− 1

› Ao abrir/manipular expoentes ímpares, pode-se considerar :

[𝑎

2

]

Τ

𝑛

2

ou [𝑎

2

]

ൗ

𝑘

2

Integração Trigonométrica: 1º e 2º Casos

Para os casos tan

𝑥 sec

𝑥e cotg

𝑥 cossec

𝑥 :

› Sempre que k é par , 𝑢 = tan 𝑥 ou 𝑢 = cotg 𝑥 independente de n

ser par ou ímpar.

Portanto, é aconselhável analisar primeiramente o expoente k e

depois o expoente n

Substituição Trigonométrica

2

2

tan 𝜃 =

cos 𝜃 =

2

2

cos 𝜃 =

𝑎

2

− 𝑥

2

2

2

Substituição Trigonométrica

› A raiz não precisa estar explicita ou no denominador: basta haver

soma ou diferença de quadrados.

› Na soma, a raiz é a hipotenusa e os catetos são os valores de x e a

› Na diferença , a hipotenusa é o valor positivo e a raiz e o valor

negativo são catetos.

Frações Parciais: Imprópria.

Se a fração for imprópria (grau do numerador igual ou maior que do denominador ) deve-se dividir o

polinômio:

• Divide-se a função f(x) do numerador pela função g(x) do

denominador, a fim de diminuir o grau do numerador.

• Considera-se uma função p(x) que deverá ser multiplicada

pela função do denominador g(x).

• O produto p(x)g(x) deve ser subtraído da função f(x): o

resultado é o “resto” da divisão.

• A expressão se torna então a soma da função p(x) com a

razão entre o resto R(x) da divisão pela função do

denominador.

Frações Parciais: Descobrindo Numerador

› Dividi-se a expressão em frações parciais e faz-se MMC:

2

1

2

2

1

2

2

2

O resultado do MMC é o fator de Maior Potência.

› Iguala-se o numerador do MMC ao numerador da expressão original, e estabelece-se um sistema através

de comparação:

1

2

1

2

1

2

Resolve-se o sistema para obter o valor das constantes 𝐴

1

e 𝐴

2

Resumindo...

› Quando houver produtos de funções trigonométricas elevadas a um expoente, usar Integração

Trigonométrica.

› Quando houver soma ou diferença de quadrados que não se encaixem nos formatos das integrais

imediatas inversas, usar Substituição Trigonométrica.

› Quando houver fatores lineares ou quadráticos no denominador, usar Frações Parciais.

Exemplo da Lista

e)

𝑥+ 5 𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4 𝑥+ 3

o termo 2 𝑥

2

• 4 𝑥 + 3 tem ∆= − 8 < 0 , não é reduzível a fator linear. Além disso, a expressão se encontra dentro de uma raiz, logo não

pode ser tratada diretamente como fração parcial. Por haver uma soma no numerador, pode-se separar em duas integrais :

න

𝑥 + 5𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4𝑥 + 3

= න

𝑥𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4𝑥 + 3

• න

5𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4𝑥 + 3

Pensando na 1 ª integral, podemos utilizar a substituição simples para manipular a integral ou substituição

trigonométrica

i) Utilizando Substituição Simples:

se 𝑢 = 2 𝑥

2

• 4𝑥 + 3

Então :

𝑑𝑢 = 4𝑥 + 4

𝑑𝑢 = 4 (𝑥 + 1 )

𝑑𝑢

4

= (𝑥 + 1 )

Exemplo da Lista

ii) Utilizando Substituição Trigonométrica.

› Como a expressão no denominador não é um quadrado perfeito ,pode-se completar quadrados nela para obter uma soma/diferença de quadrados:

2 𝑥

2

• 4𝑥 + 3 = 2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

Daí:

න

𝑥 + 5 𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4 𝑥 + 3

= න

𝑥𝑑𝑥

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

• න

5 𝑑𝑥

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

Observe que aqui a expressão (𝑥 + 1 )

2

tem o papel do 𝑥

2

que usamos normalmente.

› Considerando o triangulo retângulo para a 1 ª integral, teremos:

Logo:

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1 = 2

𝑡𝑎𝑛𝜃

2

2

• 1 = tan

2

𝜃 + 1 = sec

2

𝜃 = sec 𝜃

tan 𝜃 =

2 (𝑥 + 1 )

1

⟹ 𝑥 + 1 =

𝑡𝑎𝑛𝜃

2

𝑒 𝑑𝑥 =

sec

2

𝜃

2

𝑑𝜃

Além disso ,temos:

𝑥 =

𝑡𝑎𝑛𝜃

2

− 1

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

1

2 (𝑥 + 1 )

Exemplo da Lista

› Reescrevendo a integral em termos de 𝜃,temos:

2 𝑥

2

• 4𝑥 + 3 = 2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

Daí:

න

𝑥𝑑𝑥

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

= න

𝑡𝑎𝑛𝜃

2

− 1

sec

2

𝜃

2

sec 𝜃

𝑑𝜃

න

𝑡𝑎𝑛𝜃 sec

2

𝜃

2

−

sec

2

𝜃

2

sec 𝜃

𝑑𝜃

න

𝑡𝑎𝑛𝜃 sec

2

𝜃

2 sec 𝜃

𝑑𝜃 − න

sec

2

𝜃

2 sec 𝜃

𝑑𝜃

› Resolvendo :

1

2

න 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃 =

1

2

න

𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃

cos

2

𝜃

=

1

2 𝑐𝑜𝑠θ

1

2

න 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃 =

2

2

ln | sec 𝜃 + tan 𝜃|

Exemplo da Lista

› Por fim, teremos :

න

𝑥 + 5 𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4 𝑥 + 3

= න

𝑥𝑑𝑥

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

• න

5 𝑑𝑥

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

න

𝑥 + 5 𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4 𝑥 + 3

=

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

2

−

2

2

ln 2 𝑥 + 1

2

• 1 + 2 𝑥 + 1 +

5 2

2

ln | 2 𝑥 + 1

2

• 1 + 2 𝑥 + 1 |

න

𝑥 + 5 𝑑𝑥

2 𝑥

2

• 4 𝑥 + 3

=

2 (𝑥 + 1 )

2

• 1

2

4 2

2

ln 2 𝑥 + 1

2

• 1 + 2 𝑥 + 1 + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ

Exemplo da Lista

j) ׬

𝑥

3

• 1 𝑑𝑥

4 𝑥

3

−𝑥

𝑥

3

• 1 𝑑𝑥

𝑥( 4 𝑥

2

− 1 )

As seguintes observações podem ser feitas:

› se x for posto em evidência no numerador, estaremos lidando com fatores lineares, uma vez que o termo 4 𝑥

2

− 1

tem ∆= 16 > 0 ,sendo reduzível a fator linear.

› O grau do numerador e do denominador são iguais, logo é uma fração imprópria.

i) Inicialmente, devemos transformar numa fração própria (grau do numerador menor que o grau do

denominador. Para que isso aconteça, devemos pensar o seguinte: como diminuir o 𝑥

3

ou fazer com que ele

suma?

Se multiplicarmos o polinômio do denominador por

Τ

1

4

,conseguiremos que 𝑥

3

suma e obteremos um polinômio

menor como o resultante.