Baixe Calculo de juros: solução de problemas e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity!
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MOMENTO DA VERDADE - Matemática Financeira
UA 1 – Pré-requisitos
Aprender álgebra é como aprender a nadar. A simples observação da
técnica e perfeição de César Cielo não habilita ninguém a se aventurar em
uma piscina olímpica. É necessário treinar, exercitar, o velho e bom par
papel e lápis para se obter um real aprendizado. Por mais simples que
possam parecer as questões apresentadas a seguir, elas sem dúvida
colaborarão para relembrar conteúdos já aprendidos.
As respostas se encontram abaixo, assim você pode conferir seu
conhecimento imediatamente. Se houver dúvidas, seus professores
ficarão felizes em ajudar. Você pode utilizar sua calculadora científica ou
financeira.
- Simplifique ao máximo as expressões:
a)^3 .a^1 .b^2 .c^2 6
75 .a .b.c. 5
(^3)
b) (^)
4 3 2 .a^1 .b^4 .c^2 3
4 12 .a .b .c
c) 1 13 (^235) 25
1
-
d)
4 11 2
1
e)
5
1 . 5
1 1
1 5
1 1
4
4
- Determine o décimo primeiro termo da P.G. de razão - 1/2 cujo terceiro termo é 6.
- Calcule o logaritmo de 1000 na base 4.
- Um terço elevado a certo número resulta dois quintos. Qual é este
número?
Agora vamos pensar percentualmente:
- Um número, diminuído de 4 0%, é 12. Qual é o número?
- Devido à escassez de cacau, um bolo de chocolate sofreu um
aumento de 8%, passando a custar R$ 23,76. Qual era o preço do bolo antes do aumento?
- Que porcentagem deve ser adicionada a R$ 50,00 para que se
obtenha R$ 1 60,00?
- Uma loja vende um casaco por R$ 330,00 na compra por atacado
de mais de 10 peças, e calcula 35% de lucro líquido em cada peça. O casaco comprado no varejo custa R$ 41 0,00. Qual a porcentagem de lucro líquido na peça vendida a varejo?
- Minha coleção de tampinhas de garrafa vale R$ 820,00. Vendo-lhe
tão lindas raridades com desconto de 10% mais 5%, ou então lhe concedo desconto de 15%. Fazendo a escolha mais vantajosa, quanto você economiza?
- Isidoro necessita 1/6 de seu salário para o plano de saúde, 2/
para alimentação, 1/18 para vestuário, 1/ 2 0 para transporte e 3/ para lazer e viagens. Como não tem outras despesas fixas pois habita na casa dos pais, consegue economizar certo valor mensal. Que porcentagem de seu salário consegue poupar?
- Joaquim tem uma quitanda. Como suas bananas apresentavam
realmente uma qualidade excepcional, resolveu aumentar o preço normal em 10%. Quando passei na quitanda dois dias depois, as bananas já não apresentavam tão bom aspecto e Joaquim tinha abaixado o preço em 15%. Joaquim é meu amigo e por isso me concede normalmente um desconto de 6 % sobre o preço de toda
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Gabarito do MOMENTO DA VERDADE - Matemática Financeira
UA 1 – Pré-requisitos
Profª. Silvia Wapke Graf
Resoluções:
- a)^3 .a^1 .b^2 .c^2 6
75 .a.b.c. 5
(^3) = 2 c
15 .ab a.c
a.b.c.b . 6
75 . 5
3 2 3 2
3 2
b)
b
9 .a .a .b .c 3
4 12 .a .b .c
5 (^4 32142)
c)^3
3
1 (^23144) 25
1 5
5
1 25
1 5 5. 25
1
-
d) 16
1 2
1 1 2
1 1 2
1
(^444) (^1)
e)
2 , 589 0 , 41472
1 , 0736 2 , 0736. 0 , 2
2 , 0736 1 1 , 2. 0 , 2
1 , 2 1 1 0 , 2. 0 , 2
1 0 , 2 1
5
1 . 5
1 1
1 5
1 1
4
4 4
4 4
4
- Do 3° ao 1 1 ° (inclusive) temos 9 termos, portanto:
a 11 = a 3. q^9 -^1
a 6
8
(^11)
0 , 602059991
3 log 4
log 1000 log 4 1000 , mas você também pode
efetuar a mudança de base para o logaritmo neperiano, obtendo o mesmo resultado.
- Se o número procurado é x, temos: 5
2 3
1
x ^
Aplicando logaritmos (decimal ou neperiano) aos dois membros da igualdade, vem:
2
0 , 834044 1 , 098612289
0 , 916290731 ln 3
ln 0 , 4 x
xln 1 ln 3 ln 0 , 4
5
2 ln 3
1 ln
x
- x é o número procurado, portanto x (1 – 0,4) = 12 de onde x = 20.
- p (1 + 0,08) = 23,76, logo o preço p do bolo era de R$ 22,00.
2 , 2 5
11 x
5
16 1 x
501 x 160
assim, devemos adicionar 220% a 50 para obter 160.
- Cálculo do lucro sobre 330,00:
330 ,00 x 0, 35 = 115, então o custo do casaco é de: 330 – 115,50 = 214 , Quando o casaco é vendido a 410,00, o lucro é de: 410,00 – 214,50 = 195, Que porcentagem 195,50 representa sobre 214,50?
Regra de três:
195 , 50 x %
91 , 14 % 214 , 50
- 550 x%
Em casacos vendidos a varejo o lucro líquido é de 91,14%.
E sobre as 10 peças? Não interferem na solução, são apenas uma imposição do comerciante.
- Para a opção 10% mais 5%:
820 (1-0,1).(1-0,05) = 701, Para a opção 15%: 820 (1-0,15) = 697,
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MOMENTO DA VERDADE - Matemática Financeira
UA2 – JUROS SIMPLES
Agora vamos reforçar o conceito de juros simples. As respostas se
encontram abaixo, assim você pode conferir seu conhecimento
imediatamente. Se houver dúvidas, seus professores ficarão felizes em
ajudar. Você pode utilizar sua calculadora científica ou financeira.
- Determine os juros simples correspondentes ao empréstimo de R$ 100.000,00 por 15 meses com taxa de 3%a.m.
- Um capital de R$ 25.000,00 aplicado por 10 meses rende juros simples de R$ 5.000,00. Determinar a taxa anual desta transação.
- Sabendo-se que juros simples de R$ 12.000,00 foram obtidos na aplicação de R$ 150.000,00 à taxa de 4% ao trimestre, calcular o prazo do investimento.
- Uma aplicação a juros simples por 3 anos obteve rendimento de R$ 180. 00 0,00 com taxa de 0,8% a.m.. Qual foi o capital investido?
- Determine o montante da aplicação a juros simples de R$ 10.000,00 por um ano à taxa de 0,9% a.m.
- Certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% a.a. rendeu R$ 72.000,00 de juros simples. Determinar o montante obtido.
- Obtém-se R$ 40.000,00 emprestados de um “mui amigo”, entregando-lhe uma nota promissória de R$ 80.000,00 com vencimento para 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas pelo “amigo”.
- Em que prazo um capital triplica se for aplicado a juros simples de 4 0% a.a.?
- Calcular o valor dos juros simples referentes às aplicações de R$ 20.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 40.000,00, pelos prazos de 65 dias, 72 dias e 20 dias respectivamente, sabendo-se que a taxa é de 25,2% a.a.
- O Bancobom credita, ao final de cada ano, juros (simples) sobre saldos positivos diários à razão de 10% a.a.. Com o extrato do movimento de uma microempresa no Bancobom, apresentada abaixo, determine o total de juros recebido no ano 2016. Considere ano de 36 6 dias pois 2016 foi ano bissexto.
Data Histórico D/C Saldo Dias Dias X Saldo 01/01/16 saldo^ 2.000,00+ 10 /01/16 depósito^10 0.000,00+ 26/01/16 impostos^ 30.000,00- 15 /02/ 16 aviso de^ débito^4 5.000,00- 29 /02/16 pgto.fornecedor^22 .000,00- 10 /03/16 depósito^65 .000,00+ 22 /04/16 cheque emitido^ 28.000,00- 01 /05/16 depósito^7 2.000,00+ 05/05/16 pgto.fornecedor^22 .000,00- 30 /06/16 retirada pró- labore
25 .000,00- 02/08/16 aviso de débito^ 8.000,00- 20/08/16 cheque emitido^ 3.000,00- 15/09/16 depósito^ 80.000,00+ 05/10/16 depósito^ 55.000,00+ 01/11/16 pgto.fornecedor^22 .000,00- 21/11/16 depósito^ 12.000,00+ 07/12/16 retirada pró- labore
25 .000,00-
Respostas:
1. J = R$ 45.000,
- im = 2% a.m. e ia = 24% a.a.
- t = 6 meses
- C = R$ 625.000,
- M = R$ 11.080,
- M = 112.000,
- im = 8,33% a.m. e ia = 100% a.a.
- t = 5 anos
- J = R$ 1.974,
- J = R$ 9.601,
- Os cálculos foram efetuados pelo Excel. Você pode, inclusive,
calcular rapidamente as diferenças entre as datas com o Excel. São apresentadas as duas planilhas, a primeira com os valores e a segunda com as fórmulas. Não esqueça de inserir a data de 31 de dezembro para a contagem dos dias pelo software.
Tabela com os valores :
Data D/C Saldo Dias Dias X Saldo 01/01/2016 2000 2000 9 18000 10/01/2016 100000 102000 16 1632000 26/01/2016 30000 72000 20 1440000 15/02/2016 45000 27000 14 378000 29/02/2016 22000 5000 10 50000 10/03/2016 65000 70000 43 3010000 22/04/2016 28000 42000 9 378000 01/05/2016 72000 114000 4 456000 05/05/2016 22000 92000 56 5152000 30/06/2016 25000 67000 33 2211000 02/08/2016 8000 59000 18 1062000 20/08/2016 3000 56000 26 1456000 15/09/2016 80000 136000 20 2720000 05/10/2016 55000 191000 27 5157000 01/11/2016 22000 169000 20 3380000 21/11/2016 12000 181000 16 2896000 07/12/2016 25000 156000 24 3744000 31/12/2016 35140000
i diário 0, juro 9601,
Então, Bancobom pagará ao cliente R$ 9.601,09 à titulo de juros no ano de 2016.
Tabela com as fórmulas:
- 01/01/2016 2000 =B2 =A3-A2 =C2*D Data D/C Saldo Dias Dias X Saldo
- 10/01/2016 100000 =C2+B3 =A4-A3 =C3*D
- 26/01/2016 30000 =C3-B4 =A5-A4 =C4*D
- 15/02/2016 45000 =C4-B5 =A6-A5 =C5*D
- 29/02/2016 22000 =C5-B6 =A7-A6 =C6*D
- 10/03/2016 65000 =C6+B7 =A8-A7 =C7*D
- 22/04/2016 28000 =C7-B8 =A9-A8 =C8*D
- 01/05/2016 72000 =C8+B9 =A10-A9 =C9*D
- 05/05/2016 22000 =C9-B10 =A11-A10 =C10*D
- 30/06/2016 25000 =C10-B11 =A12-A11 =C11*D
- 02/08/2016 8000 =C11-B12 =A13-A12 =C12*D
- 20/08/2016 3000 =C12-B13 =A14-A13 =C13*D
- 15/09/2016 80000 =C13+B14 =A15-A14 =C14*D
- 05/10/2016 55000 =C14+B15 =A16-A15 =C15*D
- 01/11/2016 22000 =C15-B16 =A17-A16 =C16*D
- 21/11/2016 12000 =C16+B17 =A18-A17 =C17*D
- 07/12/2016 25000 =C17-B18 =A19-A18 =C18*D
- i diário =0,1/ 31/12/2016 =SOMA(E2:E18)
- juro =E19*E
- Em que prazo um capital triplica se for aplicado a juros compostos
de 40% a.a.?
- Hélio Antônio aplicou suas economias em um investimento a juros
compostos com remuneração de 0,9% a.m.. Depois de 2 anos resgatou 50% dos juros desta aplicação. O saldo foi reaplicado a taxa de juros simples de 1,5% a.m. por mais três anos, quando o montante perfazia R$ 138.000,00. A quanto se referiam as economias de Hélio Antônio?
- Vendo meu Jeep 66 por R$ 15.000,00, pois preciso imediatamente
de 30% deste valor. O restante aceito que seja pago com uma parcela de R$ 13.000,00 daqui a 4 meses. Que taxa mensal de juros compostos estou considerando? E se considerar juros simples, qual é a taxa?
- Uma empresa de terraplanagem necessita comprar um trator no
valor de R$ 195.000,00 e, para tal, conta com três investimentos de R$ 60.000,00, R$ 45.000,00 e R$ 70.000,00 aplicados, respectivamente, há 6, 4 e 3 meses à taxa de juros compostos de 1% a.m. Verifique se o montante destes investimentos é suficiente para a compra do trator.
Respostas:
1. J = R$ 55.796,
- im = 1, 84 % a.m.
- n =1,96 trimestres
- FV = R$ 541.793,
- FV = R$ 11.135,
- FV = R$ 91.712,
- n = 3 anos e 3 meses
- PV = R$ 80.012,
- Composto: im = 5,48% a.m. e simples: im = 5,95% a.m.
- O valor não é suficiente.
1
Gabarito - MOMENTO DA VERDADE UA
Profª. Silvia Wapke Graf
- J = 100.000. [(1 + 0,03)^15 – 1] = 55.796,74, perceba que o juro composto é maior que no regime de juros simples.
- 5.000 = 25.000 .[(1+ im)^10 - 1]
(1 +im)^10 = 1
- 000
10 1 im 1 , 2
im = 0,01 8399376 ou, aproximadamente 1, 84 % a.m. a taxa a juros compostos é menor que a aplicada a juros simples.
- 12.000 = 150.000. [(1+ 0,04)n^ - 1]
1 , 96 trimestres ln 1 , 04
ln 1 , 08 n ln 1 , 08
1
000
000 1 , 04
1 , 04
n
o prazo é pouco menor que a juros simples. Se você efetuar o cálculo através das funções da calculadora financeira, obterá n = 2 trimestres, exatamente o mesmo prazo que a juros simples. Mas tal fato se deve às aproximações efetuadas pela calculadora. Tente aumentar os juros (para R$ 60.000,00 por exemplo) e você verificará que há sim diferença entre os prazos.
- Atenção: são 3 anos, portanto 36 meses 180.000 = PV [( 1+ 0,008)^36 – 1] PV = 541.793,60, isto é, a juros compostos você precisa de menor capital para obter o mesmo rendimento.
3
Calculando juro simples: 13.000 = 10.500 (1 + im. 4)
0 , 0595 ou 5 , 95 %a.m. 4
im
10. FV = 60.000(1+0,01)^6 + 45.000(1+0,01)^4 + 70.
(1+0,01)^3
FV = 182.639,
Portanto, o valor não será suficiente para a compra do trator.
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MOMENTO DA VERDADE - Matemática Financeira
UA 4 – DESCONTOS
Resolver as questões abaixo reforçará seu aprendizado sobre descontos. Como o
desconto comercial simples é o mais aplicado no mercado, há maior quantidade de
exercícios nesta modalidade. As respostas se encontram abaixo, assim você pode
conferir seu conhecimento imediatamente. Se houver dúvidas, seus professores
ficarão felizes em ajudar. Você pode utilizar sua calculadora científica ou financeira.
- Oduvaldo procurou uma instituição financeira para descontar um título com valor
nominal de R$ 8.500, que venceria em 132 dias. O desconto comercial simples
cobrado foi de R$1.243,13. Determine a taxa diária aplicada na transação.
- Um empresário aplicou R$ 150 .000,00 em letras de câmbio por dez meses, mas
precisou resgatar o dinheiro em uma empresa de factoring quatro meses após a
aplicação por meio de uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de
2,5% a.m. Determine quanto o empresário recebeu e calcule os juros cobrados.
- Miguel tem oportunidade de descontar um título com valor nominal de R$ 1 11. 000 ,
em uma operação de desconto racional simples, à taxa de 3,5% a.m.. Outra
instituição propõe a Miguel desconto comercial simples, à taxa de 36,8%a.a. O
vencimento do título será em 4 meses. Decida que modalidade Miguel deve preferir.
- O desconto comercial simples de um título com vencimento para 5 meses à taxa de
4,5% a.m. gerou um desconto de R$ 2.100,00. Se fosse praticado desconto racional
simples, de quanto seria o valor recebido?
3
dias de hoje. Se a taxa de desconto simples bancário praticado pela financeira é de
24% a.a., que valor o empresário disporá para comprar a máquina?.
Respostas:
- id 0,11% a.d.
- VA = R$ 127.500,00 e DC = R$ 22.500,
- Deve preferir o desconto simples comercial pois o desconto é menor.
- VA = R$ 7.619,
- Aceitar até 6,087% a.m.
- DC = R$ 5.733,
- ief = 4,75 % a.m.
- Será melhor não vender a nota promissória pois ainda faltarão R$ 1.705,00 para seu objetivo.
- VA = R$ 4.550,00 e DC = R$ 450,
- VN = R$ 3.429,
- R$ 167.400,
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Gabarito - MOMENTO DA VERDADE UA0 4
Profª. Silvia Wapke Graf
1. VN = 8.500,
t = 132 dias DC = 1243, (João comeu isto tudo) 1243,13 = 8500,00. i. 132 i 0,0011 a.d. ou i 0,11% a.d.
t = 10 – 4 = 6 meses (faltam para o vencimento) VN = 150.000, i = 2,5% a.m. DC = 150.000 (0,025) 6 = 22. VA = 1 5 0.000 – 22.500 = 127. Logo, recebe R$ 127.500,00 e paga juros de R$ 22.500,.
Cálculo do desconto na modalidade racional simples:
631 , 58 1 0 , 035. 4
DR 111. 000.
Cálculo do desconto na modalidade comercial simples: Cuidado! A taxa dada é anual.
DC 111. 000.
Portanto, Miguel deve preferir o desconto comercial simples pois o desconto aplicado é menor.
- Calculando o valor de face do título: 2.100 = VN. 0,045. 5 VN = 9.333, Calculando o desconto racional simples com o valor de face (nominal) encontrado:
