Baixe Cálculo de Integrais de Funções Trigonométricas Usando Relações e Métodos de Resolução e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
II-2. Integração de Funções Trigonométricas
Integração de Funções Trigonométricas
Nesta aula são apresentadas as integrais de funções trigonométricas que se resolve através das relações trigonométricas bem como pelos métodos de resolução de integrais já apresentados. Desta forma, inicialmente serão apresentadas integrais que envolvem uma única função trigonométrica, dando sequência para algumas relações trigonométricas, finalizando com funções que envolvem estas relações trigonométricas.
1. Integrais fundamentais
Estas integrais indefinidas são tabeladas como:
e
.
Lembrando que c é constante.
Exemplo 1.1 :
Fazendo a substituição
Portanto:
Desta forma a integral fica:
Exemplo 1.2 :
Chamando-se:
Portanto:
Fazendo a substituição na integral, temos:
Observe que no momento da substituição de por os limites de integração não foram
colocados. Apenas quando se substituiu por é que se recolocaram os limites de
integração. Uma maneira mais elegante de se apresentar o cálculo é fazê-lo como se segue.
Chamando-se:
Portanto:
Substituindo-se os limites de integração.
Dessa forma:
Exemplo 2.1 : Calcule a Integral:
Como já há resultados das integrais de tangente e cotangente. Basta fazer as substituições
adequadas.
Portanto:
Para a integral que envolve cotangente:
Fazendo a substituição nas integrais:
3. Integrais do Tipo
Utilizam-se respectivamente os seguintes artifícios para solução:
Multiplicar os integrados por:
Resolvendo:
Substitui-se:
Portanto:
Resolvendo a integral da cossecante.
Substituindo:
Portanto:
Integrais que envolvem relações trigonométricas
Antes da aplicação das integrais serão apresentadas algumas relações trigonométricas que
serão aplicadas no cálculo.
I. Relação trigonométrica fundamental
II. Produto de senos e cossenos
III. Utilização das relações (2) e (3)
Somando-se as expressões acima temos:
IV. Utilizando as relações (4) e (5)
Somando-as
Subtraindo-se:
V. Do item II, relação 4, considerando obtemos:
Aplicando-se 1 substituindo
Aplicando-se 1 substituindo-se
VI. Relações que envolve tg x e cotg x
Estas relações serão utilizadas para aplicações nas integrações que envolvem as funções trigonométricas.
- Produto do tipo senos e cossenos.
Exemplo 4.1 : Calcule a integral:
Aplicando-se a relação 6.
Ambas as relações se resolvem por substituição:
Reescreva a integral como
Aplique a identidade da expressão (1):
E faça a substituição
c) Se m e n são pares use a identidade 9 e 10 para reduzir as potências senx e cox.
Exemplo 5.
Calcule:
Aplicando as instruções do item a.
Fazendo a substituição:
Exemplo 5.
Calcule:
Resolvendo para n impar:
Exemplo 5.
Calcule:
Aplicando-se as instruções do item c:
6. Integrais do Tipo
Podem ser substituídos pelas relações 11 e 12 respectivamente.
Exemplo 6.1: Calcule a integral abaixo:
Fazendo a substituição da relação 11.
Resolvendo ]
Resolvendo
Daí, I 2 fica:
Substituindo os resultados na integral I.
Exemplo 6.
Aplicando-se a relação 12.
Resolvendo e
Substituindo:
A outra integral é tabelada.
